管理運籌學-第14章排隊論ppt課件

1、管管 理理 運運 籌籌 學學第十四章排隊論第十四章排隊論1排隊過程的組成部分排隊過程的組成部分2單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型3多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型4排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析5單服務(wù)臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊模型6單服務(wù)臺泊松到達、定長服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、定長服務(wù)時間的排隊模型7多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊模型8顧客來源有限制排隊模型顧客來源有

2、限制排隊模型9單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型*11生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)管管 理理 運運 籌籌 學學一、基本概念一、基本概念一些排隊系統(tǒng)的例子一些排隊系統(tǒng)的例子排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) 顧顧 客客 服務(wù)臺服務(wù)臺 服服 務(wù)務(wù)電話系統(tǒng)電話系統(tǒng) 電話呼叫電話呼叫 電話總機電話總機 接通呼叫或取消呼叫接通呼叫或取消呼叫售票系統(tǒng)售票系統(tǒng) 購票旅客購票旅客 售票窗口售票窗口 收款、

3、售票收款、售票設(shè)備維修設(shè)備維修 出故障的設(shè)備出故障的設(shè)備 修理工修理工 排除設(shè)備故障排除設(shè)備故障防空系統(tǒng)防空系統(tǒng) 進入陣地的敵機進入陣地的敵機 高射炮高射炮 瞄準、射擊，敵機被擊落或離開瞄準、射擊，敵機被擊落或離開排隊的過程可表示為：排隊的過程可表示為： 排隊排隊服務(wù)機構(gòu)服務(wù)服務(wù)機構(gòu)服務(wù)服務(wù)后顧客離去服務(wù)后顧客離去排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)顧客到達顧客到達1排隊過程的組成部分排隊過程的組成部分管管 理理 運運 籌籌 學學考慮要點：考慮要點：1、服務(wù)臺或通道數(shù)目：單服務(wù)臺單通道）、多服務(wù)臺多通道）。、服務(wù)臺或通道數(shù)目：單服務(wù)臺單通道）、多服務(wù)臺多通道）。2、顧客到達過程：本教材主要考慮顧客的泊松到達情況。

4、、顧客到達過程：本教材主要考慮顧客的泊松到達情況。 滿足以下四個條件的輸入流稱為泊松流泊松過程）。滿足以下四個條件的輸入流稱為泊松流泊松過程）。 *平穩(wěn)性：在時間區(qū)間平穩(wěn)性：在時間區(qū)間 t, t+t) 內(nèi)到達內(nèi)到達k個顧客的概率與個顧客的概率與t無關(guān)，只與無關(guān)，只與 t 有關(guān)，記為有關(guān)，記為 pk(t）；）； *無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)互相獨立；無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)互相獨立； *普通性：在足夠短的時間內(nèi)到達多于一個顧客的概率可以忽略；普通性：在足夠短的時間內(nèi)到達多于一個顧客的概率可以忽略； *有限性：任意有限個區(qū)間內(nèi)到達有限個顧客的概率等于有限性：任意有限個

5、區(qū)間內(nèi)到達有限個顧客的概率等于1。 泊松分布泊松分布 為單位時間平均到達的顧客數(shù)為單位時間平均到達的顧客數(shù) P (x) = x e- / x! (x = 0, 1, 2,)1排隊過程的組成部分排隊過程的組成部分管管 理理 運運 籌籌 學學1排隊過程的組成部分排隊過程的組成部分3、服務(wù)時間分布：、服務(wù)時間分布： 服從負指數(shù)分布，服從負指數(shù)分布， 為平均服務(wù)率，即單位時間服為平均服務(wù)率，即單位時間服務(wù)的顧客數(shù)，務(wù)的顧客數(shù)， P服務(wù)時間服務(wù)時間 t ) = 1- e- t 。4、排隊規(guī)則分類、排隊規(guī)則分類 (1) 等待制：等待制： 顧客到達后，一直等到服務(wù)完畢以后才離去，顧客到達后，一直等到服務(wù)完畢

6、以后才離去， 先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，隨機服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)；先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，隨機服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)； (2) 損失制：損失制： 到達的顧客有一部分未接受服務(wù)就離去。到達的顧客有一部分未接受服務(wù)就離去。5、平穩(wěn)狀態(tài)：、平穩(wěn)狀態(tài)： 業(yè)務(wù)活動與時間無關(guān)。業(yè)務(wù)活動與時間無關(guān)。管管 理理 運運 籌籌 學學排隊系統(tǒng)的符號表示排隊系統(tǒng)的符號表示: 一個排隊系統(tǒng)的特征可以用五個參數(shù)表示，形式為：一個排隊系統(tǒng)的特征可以用五個參數(shù)表示，形式為：ABCDE其中其中A 顧客到達的概率分布，可取顧客到達的概率分布，可取M、 D、G 、Ek等；等；B 服務(wù)時間的概率分布，可取服務(wù)時間的概率分布，可取M、D、

7、 G 、 Ek等；等；C 服務(wù)臺個數(shù)，取正整數(shù)；服務(wù)臺個數(shù)，取正整數(shù)；D 排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或；E 顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或。 例如例如 M / M / 1 / / 表示顧客到達過程服從泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分表示顧客到達過程服從泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，一個服務(wù)臺，排隊的長度無限制和顧客的來源無限制。布，一個服務(wù)臺，排隊的長度無限制和顧客的來源無限制。1排隊過程的組成部分排隊過程的組成部分管管 理理 運運 籌籌 學學M / M / 1 / / 單位時間顧客平均到達數(shù)單位時間顧客平均到達數(shù) ，單位平均

8、服務(wù)顧客數(shù)，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ( )數(shù)量指標公式數(shù)量指標公式: 1. 系統(tǒng)中無顧客的概率系統(tǒng)中無顧客的概率 P0 =1 / 2. 平均排隊的顧客數(shù)平均排隊的顧客數(shù) Lq =2/( ) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + / 4. 顧客花在排隊上的平均等待時間顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq = Lq / 5. 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/ 6. 顧客得不到及時服務(wù)必須排隊等待的概率顧客得不到及時服務(wù)必須排隊等待的概率 Pw = / 7. 系統(tǒng)中恰好有系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率個顧客的概率 Pn =( /)n P

9、01 排隊過程的組成部分排隊過程的組成部分2單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學 2單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型 在上面的公式中，我們都認定在上面的公式中，我們都認定 , ,即到達率小于服務(wù)即到達率小于服務(wù)率，如果沒有這個條件，則排隊的長度將無限制地增加，服務(wù)率，如果沒有這個條件，則排隊的長度將無限制地增加，服務(wù)機構(gòu)根本沒有能力處理所有到達的顧客，機構(gòu)根本沒有能力處理所有到達的顧客， 也就是也就是 / / 1,c時時3多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型多服

10、務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學 例例 在前例的儲蓄所里多設(shè)一個服務(wù)窗口，即儲蓄所開設(shè)兩個服務(wù)窗在前例的儲蓄所里多設(shè)一個服務(wù)窗口，即儲蓄所開設(shè)兩個服務(wù)窗口。顧客的到達過程仍服從泊松分布，平均每小時到達顧客仍是口。顧客的到達過程仍服從泊松分布，平均每小時到達顧客仍是36人；儲人；儲蓄所的服務(wù)時間仍服從負指數(shù)分布，平均每小時仍能處理蓄所的服務(wù)時間仍服從負指數(shù)分布，平均每小時仍能處理48位顧客的業(yè)務(wù)，位顧客的業(yè)務(wù)，其排隊規(guī)則為只排一個隊，先到先服務(wù)。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。其排隊規(guī)則為只排一個隊，先到先服務(wù)。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。 解解 C = 2， 平均

11、到達率平均到達率 = 36/60 = 0.6， 平均服務(wù)率平均服務(wù)率 = 48/60 = 0.8。P0 =0.4545, Lq = 0.1227 (個顧客個顧客),Ls = Lq + / = 0.8727 (個顧客個顧客), Wq = Lq / = 0.2045分鐘）分鐘）,Ws = Wq+ 1/ = 1.4545 （分鐘）（分鐘）,Pw = 0.2045,P1 = 0.3409, P2 = 0.1278, P3 = 0.0479, P4 = 0.0180, P5 = 0.0067。系統(tǒng)里有系統(tǒng)里有6個人的概率或多于個人的概率或多于6個人的概率為個人的概率為0.0040。3多服務(wù)臺泊松到達、負

12、指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學 在儲蓄所里使用在儲蓄所里使用M / M / 2模型與使用兩個模型與使用兩個M / M / 1模型，它們的服務(wù)臺模型，它們的服務(wù)臺數(shù)都是數(shù)都是2，服務(wù)率和顧客到達率都一樣，只是在，服務(wù)率和顧客到達率都一樣，只是在M / M / 2中只排一隊，在中只排一隊，在2個個M / M / 1中排兩個隊，結(jié)果卻不一中排兩個隊，結(jié)果卻不一 樣。樣。 M / M / 2使得服務(wù)水平有了很大的提使得服務(wù)水平有了很大的提高，每個顧客的平均排隊時間從高，每個顧客的平均排隊時間從0.75分鐘減少到分鐘減少到0.2045分鐘，每

13、個顧客在系統(tǒng)分鐘，每個顧客在系統(tǒng)里逗留時間從里逗留時間從2分鐘減少到分鐘減少到1.4545分鐘，平均排隊的人數(shù)也從分鐘，平均排隊的人數(shù)也從0.2250人減少到人減少到0.1227人，系統(tǒng)里平均顧客數(shù)也從人，系統(tǒng)里平均顧客數(shù)也從0.6*2=1.2人減少到人減少到0.8727人。如果把人。如果把M / M / 2與原先一個與原先一個M / M / 1比較，那么服務(wù)水平之間的差別就更大了。比較，那么服務(wù)水平之間的差別就更大了。 當然在多服務(wù)臺的當然在多服務(wù)臺的M/M/C模型中，計算求得這些數(shù)量指標是很繁瑣的。模型中，計算求得這些數(shù)量指標是很繁瑣的。管理運籌學軟件有排隊論的程序，可以由它來計算。管理運

14、籌學軟件有排隊論的程序，可以由它來計算。 我們在第二節(jié)與第三節(jié)發(fā)現(xiàn)公式有三個公式是完全相同的，實際上這三我們在第二節(jié)與第三節(jié)發(fā)現(xiàn)公式有三個公式是完全相同的，實際上這三個公式表示了任一個排隊模型不僅僅是個公式表示了任一個排隊模型不僅僅是M/M/1或或M/M/2中，中，Ls,Lq,Ws,Wq之間的關(guān)系，也就是說：之間的關(guān)系，也就是說：3多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學 ,(1 4 .5 ),(1 4 .6 )1,(1 4 .7 )sqqqsqLLLWWW3多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間的排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、負指

15、數(shù)服務(wù)時間的排隊模型對任一個排隊模型成立，這里對任一個排隊模型成立，這里Ls,Lq,Ws,的定義如上所述，而的定義如上所述，而 應(yīng)為實應(yīng)為實際進入系統(tǒng)平均到達率，對于排隊長度有限制的模型，我們設(shè)因排隊長度際進入系統(tǒng)平均到達率，對于排隊長度有限制的模型，我們設(shè)因排隊長度的限制顧客被拒絕的概率為的限制顧客被拒絕的概率為PN，則實際進入系統(tǒng)平均到達率應(yīng)為，則實際進入系統(tǒng)平均到達率應(yīng)為 這時，原來公式中的這時，原來公式中的 應(yīng)改為應(yīng)改為 。1NP1NP管管 理理 運運 籌籌 學學 我們把一個排隊系統(tǒng)的單位時間的總費用我們把一個排隊系統(tǒng)的單位時間的總費用TC定義為服務(wù)機構(gòu)定義為服務(wù)機構(gòu)的單位時間的費用和

16、顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間的費用之和。的單位時間的費用和顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間的費用之和。即即TC = cw Ls + cs c其中其中 cw為一個顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間付出的費用；為一個顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間付出的費用；Ls為在排隊系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)；為在排隊系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)；cs為每個服務(wù)臺單位時間的費用；為每個服務(wù)臺單位時間的費用；c為服務(wù)臺的數(shù)目。為服務(wù)臺的數(shù)目。 例例 在前兩例中，設(shè)儲蓄所的每個服務(wù)臺的費用在前兩例中，設(shè)儲蓄所的每個服務(wù)臺的費用cs=18，顧，顧客在儲蓄所中逗留一小時的成本客在儲蓄所中逗留一小時的成本cw =10。這樣，對儲蓄所。這樣，對儲蓄所M

17、 / M / 1 模型可知模型可知 Ls =3， c=1，得，得TC = cw Ls + cs c=48 元元/每小時。每小時。 對儲蓄所對儲蓄所 M / M / 2 模型可知模型可知 Ls =0.8727， c=2，得，得TC = cw Ls + cs c=44.73 元元/每小時。每小時。4排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析管管 理理 運運 籌籌 學學 M / G / 1 / / 單位時間顧客平均到達數(shù)單位時間顧客平均到達數(shù) ，單位平均服務(wù)顧客數(shù)，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ， 一個顧客的平均服務(wù)時間一個顧客的平均服務(wù)時間 1 / ，服務(wù)時間的均方差，服務(wù)時間的均方差。數(shù)量指標公式數(shù)量指標公式:

18、1. 系統(tǒng)中無顧客的概率系統(tǒng)中無顧客的概率 P0=1 /2. 平均排隊的顧客數(shù)平均排隊的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + /4. 顧客花在排隊上的平均等待時間顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq = Lq / 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率 Pw = /7. 系統(tǒng)中恰好有系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率個顧客的概率 Pn)/1 (2)/(222qL5單服務(wù)臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊模型管管 理理 運運

19、籌籌 學學 例例1 某雜貨店只有一名售貨員，已知顧客的到達過程服從泊某雜貨店只有一名售貨員，已知顧客的到達過程服從泊松分布，平均到達率為每小時松分布，平均到達率為每小時20人；不清楚這個系統(tǒng)的服務(wù)時間服人；不清楚這個系統(tǒng)的服務(wù)時間服從什么分布，但從統(tǒng)計分析知道售貨員平均服務(wù)一名顧客的時間為從什么分布，但從統(tǒng)計分析知道售貨員平均服務(wù)一名顧客的時間為2分鐘，服務(wù)時間的均方差為分鐘，服務(wù)時間的均方差為1.5分鐘。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指分鐘。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。標。 解：這是一個解：這是一個 M / G / 1 的排隊系統(tǒng)，其中的排隊系統(tǒng)，其中 = 20/60 = 0.3333 人人/分鐘，

20、分鐘，1/ = 2分鐘，分鐘， = =0.5 人人/分鐘，分鐘， =1.5。P0 =1 / = 0.33334,Lq =1.0412 (人人),Ls = Lq + / = 1. 7078 (人人), Wq = Lq / = 2.25/0.6 = 3.1241分鐘）分鐘）,Ws = Wq+ 1/ =5.1241分鐘）分鐘）,Pw = / = 0.6666。5單服務(wù)臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、任意服務(wù)時間的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學6單服務(wù)臺泊松到達、定長服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、定長服務(wù)時間的排隊模型 M / D / 1 / / 注：它是注：它是 M

21、/ G / 1 / / 的特殊情況的特殊情況 = 0。1. 系統(tǒng)中無顧客的概率系統(tǒng)中無顧客的概率 P0=1 /2. 平均排隊的顧客數(shù)平均排隊的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + /4. 顧客花在排隊上的平均等待時間顧客花在排隊上的平均等待時間 Wq = Lq / 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率 Pw = /7. 系統(tǒng)中恰好有系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率個顧客的概率 Pn)/1(2)/(222qL管管 理理 運運 籌籌 學學 例例2 某汽車沖洗

22、服務(wù)營業(yè)部，有一套自動沖洗設(shè)備，沖洗某汽車沖洗服務(wù)營業(yè)部，有一套自動沖洗設(shè)備，沖洗每輛車需要每輛車需要6分鐘，到此營業(yè)部來沖洗的汽車到達過程服從泊分鐘，到此營業(yè)部來沖洗的汽車到達過程服從泊松分布，每小時平均到達松分布，每小時平均到達6輛，試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。輛，試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。 解：這是一個解：這是一個 M / D / 1 排隊模型，其中排隊模型，其中 = 6輛輛/小時，小時， = 60/6 =10輛輛/小時，得小時，得P0 =1 / = 0.4,Lq =0.45,Ls = Lq + / = 1.05, Wq = Lq / = 0.0750，Ws = Wq+ 1/ =0.1

23、750,Pw = / = 0.6。6單服務(wù)臺泊松到達、定長服務(wù)時間的排隊模型單服務(wù)臺泊松到達、定長服務(wù)時間的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學 M / G / C / C / 注：不存在平均排隊的顧客數(shù)注：不存在平均排隊的顧客數(shù) Lq 和顧客平均的排隊等和顧客平均的排隊等待時間待時間 Wq。數(shù)量指標公式。數(shù)量指標公式: 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = / (1 Pc ) 其中其中Pc 是系統(tǒng)中恰好有是系統(tǒng)中恰好有 c 個顧客的概率，也就是系統(tǒng)里個顧客的概率，也就是系統(tǒng)里c 個服務(wù)臺都被顧客占滿的概率。個服務(wù)臺都被顧客占滿的概率。 系統(tǒng)中恰好有系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率個顧

24、客的概率 eiinninp0!/)/(!/)/(7多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學例例3. 某電視商場專營店開展了電話訂貨業(yè)務(wù)，到達過程服從泊松分布，平某電視商場專營店開展了電話訂貨業(yè)務(wù)，到達過程服從泊松分布，平均到達率為每小時均到達率為每小時16個，而一個接話員處理訂貨事宜的時間是隨著訂貨的個，而一個接話員處理訂貨事宜的時間是隨著訂貨的產(chǎn)品、規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個人每小時可以處理產(chǎn)品、規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個人每小時可以處理8個訂貨電話，在此電視商場專營店里安裝了

25、一臺電話自動交換臺，它接個訂貨電話，在此電視商場專營店里安裝了一臺電話自動交換臺，它接到電話后可以接到任一個空閑的接話員的電話上，試問該公司應(yīng)安裝多少到電話后可以接到任一個空閑的接話員的電話上，試問該公司應(yīng)安裝多少臺接話員的電話，使得訂貨電話因電話占線而損失的概率不超過臺接話員的電話，使得訂貨電話因電話占線而損失的概率不超過10%。 解：這是一個解：這是一個 M / G / C / C / 模型。當模型。當c=3時，即正好有時，即正好有3位顧客的位顧客的情況，情況，30333!3/)/(!3/)/(ip2105. 06/)8/16(2/)8/16(1/)8/16(1/)8/16(6/)8/16

26、(321037多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學0.21050.1,所以不符合要求。所以不符合要求。當當c=4時，時，因而，設(shè)置四個電話很合適。因而，設(shè)置四個電話很合適。40444!4/)/(!4/)/(ip1 . 00952. 00952. 024/)8/16(6/)8/16(2/)8/16(1/)8/16(1/)8/16(24/)8/16(43210481. 1)0952. 01 (8/16)1 (/4pLs7多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊模型多服務(wù)臺泊松到達、任意的服務(wù)時間、損失制排隊

27、模型管管 理理 運運 籌籌 學學 M / M / 1 / / m條件：單位時間顧客平均到達數(shù)條件：單位時間顧客平均到達數(shù) 單位平均服務(wù)顧客數(shù)單位平均服務(wù)顧客數(shù) 關(guān)心的項目關(guān)心的項目: 1. 系統(tǒng)中無顧客的概率系統(tǒng)中無顧客的概率 P0 2. 系統(tǒng)中平均排隊的顧客數(shù)系統(tǒng)中平均排隊的顧客數(shù) Lq 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls 4. 系統(tǒng)中顧客平均的排隊等待時間系統(tǒng)中顧客平均的排隊等待時間 Wq 5. 系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間 Ws 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率 Pw 7. 系統(tǒng)中恰好有系統(tǒng)中恰好有 n 個顧客的概率個顧客的

28、概率 Pn8顧客來源有限制的排隊模型顧客來源有限制的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學 M /M / 1 / /m數(shù)量指標公式數(shù)量指標公式:1. 系統(tǒng)中無顧客的概率系統(tǒng)中無顧客的概率 2. 平均排隊的顧客數(shù)平均排隊的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + (1-p0)4. 顧客在排隊上的平均花費等待時間顧客在排隊上的平均花費等待時間 Wq = Lq /（m-Ls) 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有 n 個顧客的概率個顧客的概率mnnnmmp00)()!(!1)1(0pmLq0)()!(!

29、pnmmpnn, n=0,1,2,m8顧客來源有限制的排隊模型顧客來源有限制的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學例例4. 某車間有某車間有5臺機器，每臺機器連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指數(shù)分布，臺機器，每臺機器連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指數(shù)分布，平均連續(xù)運轉(zhuǎn)時間為平均連續(xù)運轉(zhuǎn)時間為15分鐘，有一個修理工，每次修理時間服從負分鐘，有一個修理工，每次修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次指數(shù)分布，平均每次12分鐘，求該排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標分鐘，求該排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標P0,Lq,Ls,Wq,Ws,以及以及P5。解：這是一個解：這是一個M/M/1/ /5系統(tǒng)。其中，系統(tǒng)。其中，m=5, =1/15, =1/12,/ =0.8

30、。Lq=2.766 ; Ls=3.759Wq=33.43 ; Ws=45.43P5=0.287015432100)8 . 0(! 0! 5)8 . 0(! 1! 5)8 . 0(! 2! 5)8 . 0(! 3! 5)8 . 0(! 4! 5)8 . 0(! 5! 5p=0.00738顧客來源有限制的排隊模型顧客來源有限制的排隊模型管管 理理 運運 籌籌 學學9單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有量有限制的排隊模型限制的排隊模型 KnKnn, 01,.2 , 1 , 0, 這種模型我們記為這種模型我們記為M/M/1/K/，這個記法中的第四位字母，

31、這個記法中的第四位字母K表示這個表示這個系統(tǒng)的最大容量為系統(tǒng)的最大容量為N，因為這是一個單服務(wù)臺的情況，所以排隊的顧客服，因為這是一個單服務(wù)臺的情況，所以排隊的顧客服務(wù)最多為務(wù)最多為K-1，在某時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有，在某時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有N個顧客，那么這個個顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)。顧客就被拒絕進入系統(tǒng)。 這個模型可簡寫為這個模型可簡寫為M/M/1/K。 由于所考慮的排隊子系統(tǒng)中最多只能容納由于所考慮的排隊子系統(tǒng)中最多只能容納K個顧客等待位置只有個顧客等待位置只有K-1個），因而有個），因而有:令令 ， 有：有：1,111,1110KPK1,21,1) 1(11

32、1KKLKks1,) 1(2) 1(1,1)1 (11KKKKLKKq1.1.系統(tǒng)里沒有顧客的概率系統(tǒng)里沒有顧客的概率2.2.在系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)在系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)3. 3. 平均的排隊顧客數(shù)平均的排隊顧客數(shù)管管 理理 運運 籌籌 學學9單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有量有限制的排隊模型限制的排隊模型 4.4.有效顧客到達率有效顧客到達率5.5.一位顧客花在排隊上的平均時間一位顧客花在排隊上的平均時間)1 (0)1 (KKKePPPeqKqqLPLw)1(6.6.一位顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間一位顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間esKssLPLw

33、)1(7.7.在系統(tǒng)里正好有在系統(tǒng)里正好有n n個顧客的概率個顧客的概率KnPPnn,.,2 , 1,0管管 理理 運運 籌籌 學學9單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有量有限制的排隊模型限制的排隊模型 例例5 5 某理發(fā)店只有一個理發(fā)師，且店里最多可容納某理發(fā)店只有一個理發(fā)師，且店里最多可容納4 4名顧客，名顧客，設(shè)顧客按泊松流到達，平均每小時設(shè)顧客按泊松流到達，平均每小時5 5人，理發(fā)時間服從負指數(shù)人，理發(fā)時間服從負指數(shù)分布，平均每分布，平均每1515分鐘可為分鐘可為1 1名顧客理發(fā)，試求該系統(tǒng)的有關(guān)指名顧客理發(fā)，試求該系統(tǒng)的有關(guān)指標。標。解

34、：該系統(tǒng)可以看成一個解：該系統(tǒng)可以看成一個M/M/1/4M/M/1/4排隊系統(tǒng)，其中排隊系統(tǒng)，其中)/(5小小時時人人4, 145)/(41560K，小小時時人人122. 0125. 1141)45(1451550P44401.250.1220.298PP顧客損失率為：4(1)5(10.298)3.51/eP有效到達率為：（人 小時）管管 理理 運運 籌籌 學學9單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容單服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有量有限制的排隊模型限制的排隊模型 111) 1(1KKsKL)(44. 225. 1125. 1 ) 14(25. 1125. 155人人)(56.

35、125. 11)25. 141 (25. 125. 1125. 11)1 (1541人人KKqKL)(696. 051. 344. 2小小時時essLw)(44. 051. 356. 1小小時時eqqLw系統(tǒng)里平均顧客數(shù)系統(tǒng)里平均顧客數(shù)=平均的排隊顧客數(shù)平均的排隊顧客數(shù)平均逗留時間平均逗留時間平均排隊時間平均排隊時間管管 理理 運運 籌籌 學學1010多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型容量有限制的排隊模型 這種排隊模型我們記為這種排隊模型我們記為M/M/C/K/M/M/C/K/，這與第九節(jié)單服務(wù)臺模型的，這與第九節(jié)單服務(wù)臺模型的區(qū)別

36、，就在于服務(wù)臺的數(shù)量為區(qū)別，就在于服務(wù)臺的數(shù)量為C C，我們可以把這個模型簡記為，我們可以把這個模型簡記為M/M/C/KM/M/C/K。 在此系統(tǒng)中到達率與服務(wù)率分別為在此系統(tǒng)中到達率與服務(wù)率分別為: :KnKnn, 01,.1 , 0,KnCCCnnn,0 ,0,nnKCCn令，則對任意令有：1,)1(!)(!)(1,1)(!)(11011100CKCCnCCCnCPCCnnKCCCnn00(),1,2,.1!,1,.!nnCnCP nCnPCP nC CKC1.1.系統(tǒng)里沒有顧客的概率系統(tǒng)里沒有顧客的概率 2.2.系統(tǒng)里正好有系統(tǒng)里正好有n n個顧客的概率個顧客的概率管管 理理 運運 籌籌

37、 學學1010多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型容量有限制的排隊模型KCnnqPcnL)(3.3.平均排隊顧客數(shù)平均排隊顧客數(shù)1020()1(1)(1),1!(1)()()(1),12 !CK CK CnCP CKCCPP CKC KCC)1 (kqsPLL4.4.系統(tǒng)里的平均排隊顧客數(shù)系統(tǒng)里的平均排隊顧客數(shù))1 (0)1 (kkkePPP5.5.有效到達率有效到達率eqkqqPLW)1 (6.6.顧客花在排隊上的平均時間顧客花在排隊上的平均時間eskssPLW)1 (7.7.顧客在系統(tǒng)里的平均逗留時間顧客在系統(tǒng)里的平均逗留時間 特

38、別地，當特別地，當k=ck=c時即為第七節(jié)的時即為第七節(jié)的M/M/C/C/M/M/C/C/的模型。的模型。管管 理理 運運 籌籌 學學1010多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)多服務(wù)臺泊松到達、負指數(shù)服務(wù)時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型容量有限制的排隊模型 例例6 6 某公司維修服務(wù)中心有兩名維修工，中心內(nèi)至多可以停放某公司維修服務(wù)中心有兩名維修工，中心內(nèi)至多可以停放6 6臺機臺機器包括正在維修的兩臺機器）。假設(shè)待修機器按泊松分布過程到達此中器包括正在維修的兩臺機器）。假設(shè)待修機器按泊松分布過程到達此中心。平均每小時心。平均每小時3 3臺。維修每臺機器平均需要臺。維修每臺機器平均需要2020

39、分鐘，試求該系統(tǒng)的各項分鐘，試求該系統(tǒng)的各項性能指數(shù)。性能指數(shù)。 解：該子系統(tǒng)可看成一個解：該子系統(tǒng)可看成一個M/M/2/6M/M/2/6排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)1510054204666013/3/2022110.50.34!2!(10.5)0.340.510.5(10.5)50.50.282! (10.5)11(1)0.772220.2616(1)3(1)nqsqssqqPnLLLPLWPLWP其中（臺 小時）（臺 小時），則有：（臺）（臺）（小時）（分鐘）0.096（小時） （分鐘）管管 理理 運運 籌籌 學學11*生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)1. 1. 生滅過程生滅過程

40、 生滅過程是一類非常簡單具有廣泛應(yīng)用的一類隨機生滅過程是一類非常簡單具有廣泛應(yīng)用的一類隨機過程，很多排隊過程，很多排隊模型中都假設(shè)其狀態(tài)過程為生滅過程；這樣的排隊子系統(tǒng)如：模型中都假設(shè)其狀態(tài)過程為生滅過程；這樣的排隊子系統(tǒng)如：M/M/CM/M/C和和M/M/C/RM/M/C/R，我們也可稱之為生滅過程的排隊系統(tǒng)。在這樣的，我們也可稱之為生滅過程的排隊系統(tǒng)。在這樣的排隊系統(tǒng)中，排隊系統(tǒng)中，一個新顧客的到達看作一個新顧客的到達看作“生生”，一個顧客服務(wù)完之后離開系，一個顧客服務(wù)完之后離開系統(tǒng)看作是統(tǒng)看作是“死死”，設(shè)，設(shè)N(t)N(t)的任意時刻的任意時刻t t排隊系統(tǒng)的狀態(tài)即排隊子系排隊系統(tǒng)的狀

41、態(tài)即排隊子系統(tǒng)中的總顧客統(tǒng)中的總顧客數(shù)），則對數(shù)），則對M/M/C/KM/M/C/K系統(tǒng)系統(tǒng)N(t)N(t)具有有限個狀態(tài)具有有限個狀態(tài)0 0，1 1，,k,k,對對M/M/CM/M/C來說來說N(t)N(t)具有可列個狀態(tài)具有可列個狀態(tài)0 0，1 1，22。 一般來說，隨機過程一般來說，隨機過程 滿足以下條件，稱為生滅過滿足以下條件，稱為生滅過程：程： 1) 1) 假設(shè)假設(shè)N(t)=nN(t)=n，則從時刻，則從時刻t t起到下一個顧客到達時刻為起到下一個顧客到達時刻為止的時間服止的時間服從參數(shù)為從參數(shù)為 的負指數(shù)分布，的負指數(shù)分布，n=0,1,2,n=0,1,2, 2) 2) 假設(shè)假設(shè)N(t)=nN(t)=n，則從時刻，則從時刻t t起到下一個顧客離去時刻為起到下一個顧客離去時刻為止的時間服止的時間服從參數(shù)為從參數(shù)為 的負指數(shù)分布，的負指數(shù)分布，n=0,1,2,n=0,1,2, 3) 3) 同一時刻時只有一個顧客到達或離去。同一時刻時只有一個顧客到達或離去。0( )tN tnn管管 理理 運運 籌籌 學學11* 生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)2. 2. 生滅過程穩(wěn)態(tài)方程生滅過程穩(wěn)態(tài)方程 1,)(