梅涅勞斯定理和塞瓦定理.講義學(xué)生版(共9頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上梅涅勞斯定理和塞瓦定理中考要求知識(shí)點(diǎn)A要求B要求要求比例及定理熟知定理內(nèi)容掌握平行線分線段成比例定理的內(nèi)容以及其推論，同時(shí)會(huì)運(yùn)用定理解決問(wèn)題會(huì)運(yùn)用定理及其推論的內(nèi)容來(lái)解決相似的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛一、比例的基本性質(zhì)1)這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì),由它可推出許多比例形式;2)(反比定理);3)(或)(更比定理);4)(合比定理);5)(分比定理);6)(合分比定理);7)(等比定理).二、平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理如下圖，如果，則， .2. 平行線分線段成比例定理的推論：如圖，在三角形中，如果，則，反之如果有，那么三、梅涅勞斯定理梅內(nèi)勞斯（Menelaus

2、，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理梅涅勞斯定理：、分別是三邊所在直線、上的點(diǎn)則、共線的充分必要條件是：根據(jù)命題的條件可以畫出如圖所示的兩個(gè)圖形：或、三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在三角形邊的延長(zhǎng)線上，而其它兩點(diǎn)在三角形的邊上；或、三點(diǎn)分別都在三角形三邊的延長(zhǎng)線上證明：（1）必要性，即若、三點(diǎn)共線，則設(shè)、到直線的距離分別為、則，、，三式相乘即得（2）充分性，即若，則、三點(diǎn)共線設(shè)直線交于，由已證必要性得：又因?yàn)?，所以因?yàn)楹突蛲诰€段上，或同在邊的延長(zhǎng)線上，并且能分得比值相等，所以和比重合為一點(diǎn)，也就是、三點(diǎn)共線梅涅勞斯定理的應(yīng)用，一是求共線線段的筆，即在、三個(gè)比中，已

3、知其中兩個(gè)可以求得第三個(gè)二是證明三點(diǎn)共線四、塞瓦定理連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形的一條塞瓦線塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來(lái)命名，叫做塞瓦定理塞瓦定理：從的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作一條塞瓦線則共點(diǎn)的充分必要條件是充分性命題：設(shè)的三條塞瓦線共點(diǎn)，則必有必要性命題：設(shè)中，是三條塞瓦線，如果，則三線共點(diǎn)我們先證明充分性命題如圖，設(shè)相交于點(diǎn)，過(guò)作邊的平行線，分別交的延長(zhǎng)線于由平行截割定理，得上面三式兩邊分別相乘得：我們?cè)僮C明必要性命題假設(shè)與這兩條塞瓦線相交于點(diǎn)，連交于則也是一條過(guò)點(diǎn)的的塞瓦線根據(jù)已

4、證充分性命題，可得，由因?yàn)?，進(jìn)而可得所以，因此所以與重合，從而和重合，于是得出共點(diǎn)塞瓦定理在平面幾何證題中有著舉足輕重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可證明三線共點(diǎn)問(wèn)題第二方面，當(dāng)一個(gè)三角形有三條塞瓦線共點(diǎn)時(shí)，依據(jù)塞瓦定理的充分性命題，就可以得出六條線段比例乘積等于1的關(guān)系式利用這個(gè)關(guān)系式可以證明線段之間的比例式或乘積式例題精講一、梅涅勞斯定理【例1】 已知中，是的重點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線交與，交的延長(zhǎng)線于求證：【鞏固】如圖所示，中，=90°，為邊上的中線，于，的延長(zhǎng)線交于求【例2】 如圖所示，設(shè)、分別在的邊、上，與交于，求【鞏固】如圖所示，內(nèi)三個(gè)三角形面積分別為5，8，10四邊形的面積

5、為，求的值【例3】 在的三邊、上分別取點(diǎn)、使若與，與，與的交點(diǎn)分別為、求證：【鞏固】中，分別是，上的點(diǎn)，且與交于，問(wèn)的面積與面積的比值是多少？【例4】 如圖所示，的三條外角平分線、，與對(duì)邊所在直線交于、三點(diǎn)，求證：、三點(diǎn)共線【鞏固】是平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)作的平行線，分別交于，交于；又過(guò)作的平行線，分別交于，交于，又，相交于求證：三點(diǎn)共線二、塞瓦定理【例5】 設(shè)是的三條中線，求證：共點(diǎn)【例6】 若分別為的三條內(nèi)角平分線求證：共點(diǎn)【例7】 若分別為銳角的三角高線，求證：共點(diǎn)【例8】 銳角三角形中，是邊上的高線，是線段內(nèi)任一點(diǎn)，和的延長(zhǎng)線分別交、于、，求證：【鞏固】如圖，在四邊形中，對(duì)角線平分，在上取一點(diǎn)，與相交于，延長(zhǎng)交于求證：課后作業(yè)1. 如圖所示，被通過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的三條直線分為6個(gè)小三角形，其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示