《簡單的線性規(guī)劃問題》(人教)教案

1、簡單的線性規(guī)劃問題一教學目標1、知識與技能(1) 了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；(2) 了解線性規(guī)劃的圖解法，并會用圖解法求線性目標函數的最大(小)值。2、過程與方法本節(jié)課是以二元一次不等式表示的平面區(qū)域的知識為基礎，將實際生活問題通過數學中的線性規(guī)劃問題來解決?？紤]到學生的知識水平和消化能力，教師可通過激勵學生探究入手，講練結合，真正體現數學的工具性。同時，可借助計算機的直觀演示可使教學更富趣味性和生動性。3、情感態(tài)度與價值觀滲透集合、數形結合、化歸的數學思想，培養(yǎng)學生“數形結合”的應用數學的意識；激發(fā)學生的學習興趣。教學重難點,)【教學重點

2、】線性規(guī)劃的圖解法?！窘虒W難點】尋求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。教學過程(一)新課導入某工廠用A,B兩種配件生產甲，乙兩種產品，每生產一件甲種產品使用4個A配件耗時1h,每生產一件乙種產品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什么？若生產1件甲種產品獲利2萬元，生產1件乙種產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤最大？把問題1的有關數據列表表示如下：資源中產品（1件）乙產強件）筋源限額4016n日料配件0412128n23設甲，乙兩種產品分別生產x,y件，由己知條件可得到哪些不等式呢?（二）新課講授設甲，乙兩種產品分別

3、生產x,y件，由己知條件可得：x+2y<8,4x<16,44y<i2,x>0,ly>0,P（x, y）,安排生產任務將上面不等式組表示成平面上的區(qū)域，區(qū)域內所有坐標為整數的點x,y都是有意義的。問題：求禾1J潤2x+3y的最大值。若設利潤為z,則z=2x+3y,這樣上述問題轉化為：當x,y在滿足上述約束條件時，z的最大值為多少？把z=2x+3y變形為y=a+a在y軸上的截距為z,當點P在可允許的取值范圍變化時,333求截距Z的最值，即可得z的最值。3如圖：由圖可以看出,當直線y=|x+z經過直線x=4與直線x+2y8=0的交點M（4,2）時，截距（的值最大,333

4、此時2x+3y=14ox+2y<8,4xwi6,在上述問題中，44ywi2,不等式組是一組對變量x、y的約束條件，這組x>0,'y>0,約束條件都是關于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件。Z=2x+3y稱為目標函數，（因這里目標函數為關于x,y的一次式，又稱為線性目標函數）。一般地，在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題，統稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解。由所有可行解組成的集合叫做可行域。其中，使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。在上述問題的圖中，陰影部分叫可行域，陰影區(qū)域中的每一個點對應的坐標都是一個

5、可行解，其中能使式取最大值的可行解稱為最優(yōu)解。（三）例題探究例1設變量x,y滿足約束條件彳2x+3y6>0,求目標函數z=2x+5y的最小值。,3x+2y-9<0,解析由約束條件作出可行域如圖所示，目標函數可化為y=-|x+z,在圖中畫552出直線y=-x,平移該直線，易知經過點A時Z最小。又知點A的坐標為（3,0）,，Zmin5=2X3+5X0=6。注：圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，基本步驟：確定線性約束條件，線性目標函數；作圖一一畫出可行域；平移一一平移目標函數對應的直線z=ax+by,看它經過哪個點（或哪些點）時最先接觸可行域或最后離開可行域，確定最優(yōu)解所對應的點的位置

6、；求值一一解有關的方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值。跟蹤訓練1已知1wx+yW5,-Kx-y<3,求2x3y的取值范圍。Kx+y<5,解：作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖）即為可行域。、一1wx一yW3設z=2x3y,變形得y=2x1z33則得到斜率為2,且隨z變化的一組平行直線。-1z是直線在y軸上的截距,33當直線截距最大時，z的值最小,由圖可知，當直線z=2x3y經過可行域上的點A時，截距最大，即z最小。解方程組x-y=- 1,X+y= 5,得A的坐標為（2 , 3）,，zmin=2x3y=2X23X3=5。當直線z=2x3y經過可行域上的

7、點B時，截距最小，即z最大。解方程組-y=3,x+y= 1,得B的坐標為（2 , 1）。.zmax=2x3y=2X23X(1)=7。5W2x3y<7,即2x3y的取值范圍是5,7。px-y>0,例2已知x,y滿足約束條件Jx+y<2,若目標函數z=ax+y的最大值有無數個最y>0,優(yōu)解，求實數a的值。解：約束條件所表示的平面區(qū)域如圖:由z=ax+y,得y=ax+z。當a=0時，最優(yōu)解只有一個，過A（1,1）時取得最大值；當a>0時，當y=ax+z與x+y=2重合時，最優(yōu)解有無數個，此時a=1;當a<0時，當y=ax+z與xy=0重合時，最優(yōu)解有無數個，此時a

8、=1。綜上，a=1或a=1o跟蹤訓練2給出平面可行域（如圖），若使目標函數z=ax+y取最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a等于（）Ao1B。3C。4Do-5453答案：B.一5-2解析：由題息知，當直線y=ax+z與直線AC重合時，取優(yōu)解有無否多個，則a=;）-=1633即a=-,故選區(qū)552x+y2>0,Iy+1例3已知實數x,y滿足約束條件,x2y+4>0,試求z=*；的最大值和最小值。x十13x-y-3<0.解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,由于z =y+1 y- -1x+1 x -1故z的幾何意義是點（x, y）與點M 1, 1）連線的斜率,y+1因此Mr的

9、最值是點（x,y）與點M1,1）連線的斜率的最值,xi1由圖可知，直線MB勺斜率最大，直線MC勺斜率最小,又.R0,2),Q1,0), Zmax= kMB= 3 ,Zmin =1 kMA 二 o21.z的最大值為3,最小值為20x+y-2>0,跟蹤訓練3已知實數x,y滿足約束條件Jx-2y+4>0,設z=|yM,求z的取值13xy3W0.范圍。+1解：由于z=|,1,其中k=1的幾何意義為點（x,y）與點N12,3連線的斜率。x+2x+2'由圖易知,r 214即k< ,93z的取值范圍是1, 7。3x y + 5> 0,y滿足條件，x+yR0,求u= x?+y2

10、的最大值與最小值。、xw3.解：畫出滿足條件的可行域如圖所示。x2+y2=u表示一組同心圓（圓心為原點 Q,且對同一圓上的點 x2+y2的值都相等,kNC< k< kNB,1 3 六-k<73 2例4設x,由圖可知：當(X,y)在可行域內取值時，當且僅當圓O過C點時，u最大，過(0,0)時,u最小。又C(3,8),所以u最大值=73,u最小值=0。px-4y+3<0,跟蹤訓練4變量X、y滿足約束條件3x+5y25W0,設z=x2+y2+6x4y+13,求x>1.z的取值范圍。解：作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示。由z=x2+y2+6x4y+13=(x+3)2+

11、(y2)2的幾何意義是可行域上的點到點(一3,2)的距離的平方。結合圖形可知，可行域上的點到點(一3,2)的距離中，最小值是與直線AC相切x4y+3=0,時取得，最大值是與點B的距離，由解得B(5,2)。px+5y-25=0,所以dmin=1_(_3)=4,dmax=yj-3J+工-金=8o所以16<z<64o例5某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C三種主要原料。生產1車皮甲種肥料和生產1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數如下表所示：現有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸。在此基礎上生產甲、乙兩種肥料。已知生產1車皮甲種肥料，產生的利潤為2萬元；生產1車皮乙

12、種肥料，產生的利潤為3萬元。分別用x,y表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數。(1)用x,y列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2)問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？并求出此最大利潤。原料肥料ABC甲483乙5510解：(1)由已知，x,y滿足的數學關系式為錯誤!該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分。(2)設利潤為z萬元，則目標函數為z=2x+3y?？紤]z=2x+3y,將它變形為y=2x+z,它的圖象是斜率為一隨z變化的一族平333行直線，z為直線在y軸上的截距，當z取最大值時，z的值最大。根據x,y滿足的約束條33件，由圖可知，當直線z=2

13、x+3y經過可行域上的點M時，截距z最大，即z最大。34x+5y=200,解方程組3x+10y=300,得點M的坐標為（20,24）,所以zmax=2X20+3X24=112。答：生產甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元。（四）課堂檢測尸2x,則x + 2y的最大值是（）1、若變量x,y滿足約束條件x+yw1,J一1,5A、-2B、0C答案：C解析：畫出可行域如圖陰影部分（含邊界）。111 一，一 八設z=x+ 2y,即y= - 2x+2z,平行移動直線y= 2x + 1z,當直線 y= 2x + ：過點 B。2iA - 3 B 、3答案：A12-11解析：一一

14、= =一,a= a 413， a3、某電腦用戶計劃使用不超過裝磁盤。根據需要，軟件至少買時，z取最大值、，所以（x+2y）max=|。332、在如圖所示的坐標平面的可行域內（陰影部分且包括邊界），目標函數z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數個，則a的值為（）C、一1D、13。500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有（）A5種B、6種C、7種D、8種答案：C解析：設購買軟件x片，磁盤y盒。'60x+70yW500,則,x>3,xCN*,畫出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示。：y*yCN*,落在陰影部分(

15、含邊界)區(qū)域的整點有(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2)共7個整點。即有7種選購方式。<x+y<4,4、已知點Rx,y)的坐標滿足條件y>x,點O為坐標原點，那么|PO的最小值等7>1,于,最大值等于。解析：點Rx,y)滿足的可行域為ABCK域，A(1,1),C(1,3)。由圖可得，|PO最小值=|AO=5；|PO最大值=|C(P=Vl0°(五)課堂總結1、用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：(1)尋找線性約束條件，線性目標函數；(2)作圖一一畫出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平行直線系中的任意一條直線l;(3)平移一一將直線l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的