第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性.I)(, )()(,I2121的的上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱恒恒有有上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xfxfxfxx 單調(diào)增加單調(diào)增加.I)(, )()(,I2121的的上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱恒恒有有上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xfxfxfxx 單調(diào)減少單調(diào)減少IyxO)(xfy 2x1xyxOI)(xfy 1x2x一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy a

2、bAB0)( xf0)( xfabBA, ,2121xxbaxx 且且:Lagrange,21中中值值定定理理得得上上應(yīng)應(yīng)用用在在xx)()()()()(211212xxxxfxfxf ,0)(,0)(),( fxfba內(nèi)內(nèi)如如果果在在.,)(,0)()(12上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在則則baxfyxfxf ,0)(,0)(),( fxfba內(nèi)內(nèi)如如果果在在.,)(,0)()(12上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在則則baxfyxfxf .1定定理理.),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)babaxfy ,0)(),()1( xfba內(nèi)內(nèi)如如果果在在;,)(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在那那么

3、么函函數(shù)數(shù)baxfy ,0)(),()2( xfba內(nèi)內(nèi)如如果果在在.,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那么函數(shù)那么函數(shù)baxfy 歸納以上結(jié)論，可得歸納以上結(jié)論，可得 該定理的條件是充分條件而非必要條件；嚴(yán)格單該定理的條件是充分條件而非必要條件；嚴(yán)格單增或單減時(shí)未必有增或單減時(shí)未必有 在在a,b內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)成立點(diǎn)點(diǎn)成立 .)0(0)( 或或xf注：注：.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx),(:. D函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域解解.1xey,0,)0,( y內(nèi)內(nèi)在在.,0,(函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)減減少少內(nèi)內(nèi)在在 ,0,),0( y內(nèi)內(nèi)在在.,),0函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加內(nèi)內(nèi)在在 ,間間上上的的

4、性性質(zhì)質(zhì)函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性是是一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)用導(dǎo)數(shù)在這用導(dǎo)數(shù)在這而不能由一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)來(lái)而不能由一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)來(lái)#,一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定.判定函數(shù)的單調(diào)性判定函數(shù)的單調(diào)性例例1注意注意導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)；駐點(diǎn)處單調(diào)性發(fā)生了變化導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)；駐點(diǎn)處單調(diào)性發(fā)生了變化例例2.32的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù)xy yxo32xy ),(:. D函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域解解).0(323 xxy處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)在在0 x.), 0,0,),0(內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加在在內(nèi)內(nèi)在在 y內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)減減少少；在在內(nèi)內(nèi)在在0 ,(,0,)0,( y導(dǎo)數(shù)不存在的

5、點(diǎn)處單調(diào)性發(fā)生了變化導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處單調(diào)性發(fā)生了變化說(shuō)明說(shuō)明: 駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)成為函數(shù)單調(diào)性可能改變的點(diǎn)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)成為函數(shù)單調(diào)性可能改變的點(diǎn). 2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如例如,),(,3 xxy23xy 00 xyyox3xy ,0數(shù)為數(shù)為區(qū)間內(nèi)若干孤立點(diǎn)的導(dǎo)區(qū)間內(nèi)若干孤立點(diǎn)的導(dǎo)不影響我們用上述不影響我們用上述.方法判別函數(shù)的單調(diào)性方法判別函數(shù)的單調(diào)性:例如例如,),(5sin)(連連續(xù)續(xù)在在 xxxfxxfcos)(1),(,21020kkx kx20.),()(單調(diào)增加單調(diào)增加在在所以所

6、以 xf,0)(的的點(diǎn)點(diǎn)都都是是孤孤立立點(diǎn)點(diǎn) xf:分區(qū)間討論分區(qū)間討論,0)(,)2,0( xf內(nèi)內(nèi)在在 ;2,0)(單調(diào)增加單調(diào)增加在在 xf,0)(,)4,2( xf內(nèi)內(nèi)在在 ,4,2)(單單調(diào)調(diào)增增加加在在 xf,4,0)(單單調(diào)調(diào)增增加加在在從從而而 xf.),()(,單調(diào)增加單調(diào)增加在在可得到可得到以此類推以此類推 xf注意：注意：確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：1.確定函數(shù)定義域；確定函數(shù)定義域；2.求出駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分求出駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干個(gè)區(qū)間；界點(diǎn)，將定義域分成若干個(gè)區(qū)間；3.列表判定各個(gè)子區(qū)間內(nèi)列

7、表判定各個(gè)子區(qū)間內(nèi) 的符號(hào)，得單調(diào)性的符號(hào)，得單調(diào)性結(jié)論結(jié)論.)(xf例例3. 確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23 xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx令令,0)( xf得得2,1 xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為, 1,( );,2 )(xf的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為.2,112xoy12),(:. D函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域解解. )1ln(,0 xxx 試試證證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). )1ln()(.xxxf 設(shè)設(shè)證證. ),(,)(00111xxxf,0)(),0( xf內(nèi)內(nèi)在在,

8、),0)(連續(xù)連續(xù)在在 xf.),0)(單單調(diào)調(diào)增增加加在在所所以以 xf,0)0()(,0 fxfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0)1ln( xx即即.)1ln(xx 例例4函數(shù)單調(diào)性可以用來(lái)證明不等式函數(shù)單調(diào)性可以用來(lái)證明不等式函數(shù)單調(diào)性可以用來(lái)判別方程根的情況函數(shù)單調(diào)性可以用來(lái)判別方程根的情況例例5.ln)(點(diǎn)點(diǎn)在其定義域內(nèi)有唯一零在其定義域內(nèi)有唯一零證明證明xxxf ），的的定定義義域域?yàn)闉椋ㄗC證明明： 0ln)(xxxf011)( xxf，且在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)且在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)因而因而 f(x) 在在0,+)內(nèi)嚴(yán)格單增內(nèi)嚴(yán)格單增. 另外另外上上連連續(xù)續(xù)在在且且1 ,1)(, 01)1(, 011)1

9、(exffeef .1 ,1)(）上至少有一個(gè)零點(diǎn)）上至少有一個(gè)零點(diǎn)在（在（故由零點(diǎn)定理知故由零點(diǎn)定理知exf.0ln)(）內(nèi)內(nèi)有有唯唯一一零零點(diǎn)點(diǎn)，在在定定義義域域（因因此此 xxxf二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)觀察以下曲線觀察以下曲線 AByxO各曲線有什么不同？各曲線有什么不同？彎曲方向不同彎曲方向不同問題問題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 任意弧位于弦上方任意弧位于弦上方xyo)(xfy 1x2x任意弧位于弦下方任意弧位于弦下方ABC,2)()()2(2121xfxfxxf,2)()()2(2121xfxfxxf2

10、21xx 221xx 定義定義 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱則稱的)(xf圖形是凹的圖形是凹的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱則稱的)(xf圖形是凸的圖形是凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xxyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y,),(,)(內(nèi)二階可導(dǎo)內(nèi)二階可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在babaxf,0)(,),(. )1恒恒成成立立內(nèi)內(nèi)在在 xfba.,)(上上是是凹凹弧

11、弧的的圖圖像像在在baxf,0)(,),(. )1恒恒成成立立內(nèi)內(nèi)在在 xfba.,)(上上是是凸凸弧弧的的圖圖像像在在baxf定理定理 證明略證明略.arctan的增減性和凹凸性的增減性和凹凸性研究函數(shù)研究函數(shù)xy ,),(arctan.連連續(xù)續(xù)在在解解 xy,0112xy.),(arctan單調(diào)增加單調(diào)增加在在 xy,)(2212xxy ,0,)0,( yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0,),0( yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ;arctan,0,的的圖圖像像是是凹凹弧弧內(nèi)內(nèi)在在xy .arctan,0的的圖圖像像是是凸凸弧弧內(nèi)內(nèi)在在xy 例例6例例7. 求曲線求曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn). 解解:,3231xy3592 x

12、yxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此點(diǎn)因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線為曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) .oxy凹凹凸凸.點(diǎn)點(diǎn)的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為曲曲線線的的拐拐連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹弧弧與與凸凸弧弧.arctan)0,0(的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)為為中的中的上例上例xy 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)當(dāng)然當(dāng)然y ,.0,必必為為如如果果存存在在拐拐點(diǎn)點(diǎn)處處 y 也可能是拐點(diǎn)也可能是拐點(diǎn):尋找拐點(diǎn)的步驟尋找拐點(diǎn)的步驟,. )1y 求求,0. )2不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的點(diǎn)和的點(diǎn)和列出列出yy . )3判定判定) !(異異號(hào)號(hào)拐拐點(diǎn)點(diǎn)兩兩側(cè)側(cè) y .,求求其其拐拐點(diǎn)點(diǎn)和和凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間xxey , )1(

13、.xeyx 解解, )(2 xeyx.0,2 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .,2,函函數(shù)數(shù)圖圖象象是是凸凸弧弧上上在在 ,0,2 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .,2函函數(shù)數(shù)圖圖象象是是凹凹弧弧上上在在 ,0,2 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).)2,2(,2是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)所所以以 e例例8( (例例7).7).xxy24362 )(3632xx例例9. 求曲線求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得,03221xx對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3) 列表判別列表判別271121,1yy32) 1 , 0(),(271132x)0 ,(),3

14、2()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(例例10. 證明證明)1, 0, 0(22 nyxyxyxyxnnn解：設(shè)解：設(shè)nttf )(2) 1()( ntnntf時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0, 0 t上是凹函數(shù)上是凹函數(shù)在在), 0()( nttf0, 0, yx且且由凹函數(shù)定義知由凹函數(shù)定義知.22nnnyxyx 函數(shù)凹凸性可以用來(lái)證明不等式函數(shù)凹凸性可以用來(lái)證明不等式內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減,)(0)(不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)或或使使xfxf -單調(diào)區(qū)間的分隔點(diǎn)單調(diào)區(qū)間的分隔點(diǎn)-可能是駐點(diǎn)，可能是駐點(diǎn)，可能還是無(wú)定義點(diǎn)可能還是無(wú)定義點(diǎn)2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,0)(上上向向上上凹凹在在曲曲線線Ixfy)( Ixxf ,0)(+上上向向上上凸凸在在曲曲線線Ixfy)( -拐點(diǎn)拐點(diǎn).)( 0