第四節(jié)函數的單調性與曲線的凹凸性ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié)一、函數單調性的判定法一、函數單調性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點函數的單調性與函數的單調性與 曲線的凹凸性曲線的凹凸性函數的單調性函數的單調性.I)(, )()(,I2121的的上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱恒恒有有上上任任意意兩兩點點對對于于區(qū)區(qū)間間xfxfxfxx 單調增加單調增加.I)(, )()(,I2121的的上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱恒恒有有上上任任意意兩兩點點對對于于區(qū)區(qū)間間xfxfxfxx 單調減少單調減少IyxO)(xfy 2x1xyxOI)(xfy 1x2x一、一、 函數單調性的判定法函數單調性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy a

2、bAB0)( xf0)( xfabBA, ,2121xxbaxx 且且:Lagrange,21中中值值定定理理得得上上應應用用在在xx)()()()()(211212xxxxfxfxf ,0)(,0)(),( fxfba內內如如果果在在.,)(,0)()(12上上單單調調增增加加在在則則baxfyxfxf ,0)(,0)(),( fxfba內內如如果果在在.,)(,0)()(12上上單單調調減減少少在在則則baxfyxfxf .1定定理理.),(,)(內內可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在函函數數設設babaxfy ,0)(),()1( xfba內內如如果果在在;,)(上上單單調調增增加加在在那那么

3、么函函數數baxfy ,0)(),()2( xfba內內如如果果在在.,)(上單調減少上單調減少在在那么函數那么函數baxfy 歸納以上結論，可得歸納以上結論，可得 該定理的條件是充分條件而非必要條件；嚴格單該定理的條件是充分條件而非必要條件；嚴格單增或單減時未必有增或單減時未必有 在在a,b內內點點成立點點成立 .)0(0)( 或或xf注：注：.1的單調性的單調性討論函數討論函數 xeyx),(:. D函數的定義域函數的定義域解解.1xey,0,)0,( y內內在在.,0,(函函數數單單調調減減少少內內在在 ,0,),0( y內內在在.,),0函函數數單單調調增增加加內內在在 ,間間上上的的

4、性性質質函函數數的的單單調調性性是是一一個個區(qū)區(qū)用導數在這用導數在這而不能由一點的導數來而不能由一點的導數來#,一區(qū)間上的符號來判定一區(qū)間上的符號來判定.判定函數的單調性判定函數的單調性例例1注意注意導數為零的點稱為駐點；駐點處單調性發(fā)生了變化導數為零的點稱為駐點；駐點處單調性發(fā)生了變化例例2.32的的單單調調性性討討論論函函數數xy yxo32xy ),(:. D函數的定義域函數的定義域解解).0(323 xxy處處不不可可導導函函數數在在0 x.), 0,0,),0(內內函函數數單單調調增增加加在在內內在在 y內內函函數數單單調調減減少少；在在內內在在0 ,(,0,)0,( y導數不存在的

5、點處單調性發(fā)生了變化導數不存在的點處單調性發(fā)生了變化說明說明: 駐點和導數不存在的點成為函數單調性可能改變的點駐點和導數不存在的點成為函數單調性可能改變的點. 2) 如果函數在某駐點兩邊導數同號如果函數在某駐點兩邊導數同號, 則不改變函數的單調性則不改變函數的單調性 .例如例如,),(,3 xxy23xy 00 xyyox3xy ,0數為數為區(qū)間內若干孤立點的導區(qū)間內若干孤立點的導不影響我們用上述不影響我們用上述.方法判別函數的單調性方法判別函數的單調性:例如例如,),(5sin)(連連續(xù)續(xù)在在 xxxfxxfcos)(1),(,21020kkx kx20.),()(單調增加單調增加在在所以所

6、以 xf,0)(的的點點都都是是孤孤立立點點 xf:分區(qū)間討論分區(qū)間討論,0)(,)2,0( xf內內在在 ;2,0)(單調增加單調增加在在 xf,0)(,)4,2( xf內內在在 ,4,2)(單單調調增增加加在在 xf,4,0)(單單調調增增加加在在從從而而 xf.),()(,單調增加單調增加在在可得到可得到以此類推以此類推 xf注意：注意：確定函數單調區(qū)間的步驟：確定函數單調區(qū)間的步驟：1.確定函數定義域；確定函數定義域；2.求出駐點及導數不存在的點，并以這些點為分求出駐點及導數不存在的點，并以這些點為分界點，將定義域分成若干個區(qū)間；界點，將定義域分成若干個區(qū)間；3.列表判定各個子區(qū)間內列

7、表判定各個子區(qū)間內 的符號，得單調性的符號，得單調性結論結論.)(xf例例3. 確定函數確定函數31292)(23 xxxxf的單調區(qū)間的單調區(qū)間.12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx令令,0)( xf得得2,1 xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的單調增區(qū)間為的單調增區(qū)間為, 1,( );,2 )(xf的單調減區(qū)間為的單調減區(qū)間為.2,112xoy12),(:. D函數的定義域函數的定義域解解. )1ln(,0 xxx 試試證證時時當當. )1ln()(.xxxf 設設證證. ),(,)(00111xxxf,0)(),0( xf內內在在,

8、),0)(連續(xù)連續(xù)在在 xf.),0)(單單調調增增加加在在所所以以 xf,0)0()(,0 fxfx時時當當,0)1ln( xx即即.)1ln(xx 例例4函數單調性可以用來證明不等式函數單調性可以用來證明不等式函數單調性可以用來判別方程根的情況函數單調性可以用來判別方程根的情況例例5.ln)(點點在其定義域內有唯一零在其定義域內有唯一零證明證明xxxf ），的的定定義義域域為為（證證明明： 0ln)(xxxf011)( xxf，且在定義域內處處可導且在定義域內處處可導因而因而 f(x) 在在0,+)內嚴格單增內嚴格單增. 另外另外上上連連續(xù)續(xù)在在且且1 ,1)(, 01)1(, 011)1

9、(exffeef .1 ,1)(）上至少有一個零點）上至少有一個零點在（在（故由零點定理知故由零點定理知exf.0ln)(）內內有有唯唯一一零零點點，在在定定義義域域（因因此此 xxxf二、曲線的凹凸性與拐點二、曲線的凹凸性與拐點觀察以下曲線觀察以下曲線 AByxO各曲線有什么不同？各曲線有什么不同？彎曲方向不同彎曲方向不同問題問題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 任意弧位于弦上方任意弧位于弦上方xyo)(xfy 1x2x任意弧位于弦下方任意弧位于弦下方ABC,2)()()2(2121xfxfxxf,2)()()2(2121xfxfxxf2

10、21xx 221xx 定義定義 . 設函數設函數)(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱則稱的)(xf圖形是凹的圖形是凹的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱則稱的)(xf圖形是凸的圖形是凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xxyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y,),(,)(內二階可導內二階可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在babaxf,0)(,),(. )1恒恒成成立立內內在在 xfba.,)(上上是是凹凹弧

11、弧的的圖圖像像在在baxf,0)(,),(. )1恒恒成成立立內內在在 xfba.,)(上上是是凸凸弧弧的的圖圖像像在在baxf定理定理 證明略證明略.arctan的增減性和凹凸性的增減性和凹凸性研究函數研究函數xy ,),(arctan.連連續(xù)續(xù)在在解解 xy,0112xy.),(arctan單調增加單調增加在在 xy,)(2212xxy ,0,)0,( yx時時當當,0,),0( yx時時當當 ;arctan,0,的的圖圖像像是是凹凹弧弧內內在在xy .arctan,0的的圖圖像像是是凸凸弧弧內內在在xy 例例6例例7. 求曲線求曲線3xy 的拐點的拐點. 解解:,3231xy3592 x

12、yxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此點因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線為曲線3xy 的拐點的拐點 .oxy凹凹凸凸.點點的的分分界界點點稱稱為為曲曲線線的的拐拐連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹弧弧與與凸凸弧弧.arctan)0,0(的拐點的拐點為為中的中的上例上例xy 不存在的點不存在的點當然當然y ,.0,必必為為如如果果存存在在拐拐點點處處 y 也可能是拐點也可能是拐點:尋找拐點的步驟尋找拐點的步驟,. )1y 求求,0. )2不存在的點不存在的點的點和的點和列出列出yy . )3判定判定) !(異異號號拐拐點點兩兩側側 y .,求求其其拐拐點點和和凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間xxey , )1(

13、.xeyx 解解, )(2 xeyx.0,2 yx時時當當 .,2,函函數數圖圖象象是是凸凸弧弧上上在在 ,0,2 yx時時當當 .,2函函數數圖圖象象是是凹凹弧弧上上在在 ,0,2 yx時時當當.)2,2(,2是是曲曲線線的的拐拐點點點點所所以以 e例例8( (例例7).7).xxy24362 )(3632xx例例9. 求曲線求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點的凹凸區(qū)間及拐點.解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐點可疑點坐標求拐點可疑點坐標令令0 y得得,03221xx對應對應3) 列表判別列表判別271121,1yy32) 1 , 0(),(271132x)0 ,(),3

14、2()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32(例例10. 證明證明)1, 0, 0(22 nyxyxyxyxnnn解：設解：設nttf )(2) 1()( ntnntf時時當當0, 0 t上是凹函數上是凹函數在在), 0()( nttf0, 0, yx且且由凹函數定義知由凹函數定義知.22nnnyxyx 函數凹凸性可以用來證明不等式函數凹凸性可以用來證明不等式內容小結內容小結1. 可導函數單調性判別可導函數單調性判別Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調遞增上單調遞增Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調遞減上單調遞減,)(0)(不不存存在在的的點點或或使使xfxf -單調區(qū)間的分隔點單調區(qū)間的分隔點-可能是駐點，可能是駐點，可能還是無定義點可能還是無定義點2.曲線凹凸與拐點的判別曲線凹凸與拐點的判別Ixxf ,0)(上上向向上上凹凹在在曲曲線線Ixfy)( Ixxf ,0)(+上上向向上上凸凸在在曲曲線線Ixfy)( -拐點拐點.)( 0