專題圓周運動問題分析

1、專題二 圓周運動問題分析【專題分析】圓周運動問題是高考中頻繁考查的一種題型，這種運動形式涉及到了受力分析、牛頓運動定律、天體運動、能量關(guān)系、電場、磁場等知識，甚至連原子核的衰變也可以與圓周運動 結(jié)合（衰變后在磁場中做圓周運動）?？梢?，圓周運動一直受到命題人員的厚愛是有一定原因的。不論圓周運動題目到底和什么知識相聯(lián)系，我們都可以把它們分為勻速圓周運動和變速圓周運動兩種。同時，也可以把常用的解題方法歸結(jié)為兩條。1勻速圓周運動勻速圓周運動的規(guī)律非常簡單，就是物體受到的合外力提供向心力。只要受力分析找 到合外力，再寫出向心力的表達式就可解決問題。2、豎直面內(nèi)的非勻速圓周運動物理情景：在重力作用下做變速

2、運動，最高點速度最小，最低點速度最大，所以最高 點不容易通過。特點：在最高點和最低點都滿足“合外力等于向心力”，其他位置滿足“半徑方向的合外力等于向心力”，整個過程中機械能守恒。注意：上面所述“半徑方向的合外力等于向心力”實際上適用于一切情況。另外，涉及的題目可能不僅僅是重力改變速率，可能還有電場力作用，此時，應(yīng)能找 出轉(zhuǎn)動過程中的速率最大的位置和速率最小的位置?；窘忸}方法：1涉及受力，使用向心力方程；2、涉及速度，使用機械能守恒定律或動能定理?！绢}型講解】題型一勻速圓周運動問題例題1:如圖所示，兩小球 A、B在一漏斗形的光滑容器的內(nèi)壁做勻速 圓周運動，容器的中軸豎直，小球的運動平面為水平面

3、，若兩小球的質(zhì)量相 同，圓周半徑關(guān)系為 ab，則兩小球運動過程中的線速度、角速度、周期 以及向心力、支持力的關(guān)系如何？（只比較大?。?解析：題目中兩個小球都在做勻速圓周運動，其向心力由合外力提供，由 受力分析可知，重力與支持力的合力提供向心力，如圖3-2-2所示，由幾何關(guān)系，兩小球運動的向心力相等，所受支持力相等。兩小球圓周運動的向心力相等，半徑關(guān)系為ab，2由公式F向=m，可得vavb；r由公式F向=mr 2，可得3 aTb ；變式訓(xùn)練如圖3-3-3所示，三條長度不同的輕繩 分別懸掛三個小球 A、B、C,輕繩的另一端都固定于天 花板上的P點。令三個小球以懸點下方的 0點為圓心, 在水平面內(nèi)做

4、勻速圓周運動。 則三個小球擺動周期的關(guān)系 如何？（答案：Ta 二 Tb 二 Tc）思考與總結(jié)題型二 重力作用下的豎直面內(nèi)的圓周運動例題2 :用一根長為L的輕繩將質(zhì)量為 m的小球懸掛在 0點，使小球處于靜止?fàn)顟B(tài)， 現(xiàn)在最低點給小球一個水平向右的沖量10，使小球能在豎直平面內(nèi)運動， 若小球在運動的過程中始終對細繩有力的作用，則沖量I。應(yīng)滿足什么條件？解析：小球受到水平?jīng)_量后，獲得水平向右的速度，之后小球在豎直面內(nèi)運動，且繩 上始終有拉力，包括兩種情況。在最高點，由向心力方程mg Ft第一種情況：小球做完整的圓周運動，即小球可以通過最高點?？芍?V gL小球由最低點運動到最高點的過程中，由動能定理-

5、mg2L Jm/mv。22 2在小球受到瞬時沖量時，由動量定理I。=mv。由以上三式可得I。m._5gL第二種情況：小球做不完整的圓周運動，由于繩子不能松弛，所以只能在O點下方來回擺動，其最高點不能超過 O點，并且不能包括 O點，因為剛好擺到 O點時，小球速率為2零，由向心力方程 Ft二罟可知，拉力為零。小球在O點下方擺動。剛好能擺到與O點等高時，由動能定理1 “-mgL 二。 mv。在小球受到瞬時沖量時，由動量定理I。= mv0由以上兩式可得I。：:： m 2gL因此，沖量I。應(yīng)滿足的條件為|0 . m.、5gL或10 ： m 2gL 。變式訓(xùn)練內(nèi)側(cè)光滑的3/4圓弧軌道AB豎直放置，半徑為

6、R,如 圖3-2-4所示。一小球自A點正上方由靜止釋放。為使小球由 A點進入軌 道后能到達B點，小球下落的高度 h至少為多少？（答案：h=1.5R）思考與總結(jié)題型三天體的圓周運動例題3:（ 06廣東）宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。（2）假設(shè)兩種形式星體的

7、運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？ 解析：（1）第一種形式下，三星共線，中央星不動，邊緣星受到其它兩星的萬有引力 做圓周運動。由萬有引力定律和牛頓第二定律，得：2 2 2mmvG z G 2 二 mR2(2R)2Rl2cos300圖 3-2-5（2）第二種形式下，三顆星組成等邊三角形，轉(zhuǎn)動的圓心在三角形的中心，向心力由其它兩星對其的合力提供，如圖3-2-5所示。設(shè)三角形的邊長為I，由萬有引力定律和牛頓第二定律，得：22G m cos30星體之間的距離為:I2變式訓(xùn)練我國將要發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”。設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形1的，且貼近月球表面。已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)

8、量的，月球的半徑約為地球半徑的811 一-，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約為A . 0.4km/sB . 1.8km/sC. 11km/sD. 36km/s(答案：B)思考與總結(jié)題型四電場中的圓周運動/XR、E工圖 3-2-6V _JF_ /、厶圖 3-2-7例題4:豎直面內(nèi)有一光滑圓環(huán)軌道，軌道半徑為R,處于水平向右的勻強電場中。一質(zhì)量為 m帶+q電量的小球以初速度 v0由圓環(huán)最低 點開始運動，如圖所示。若小球所受電場力為重力的0.75倍。求：若令小球能做完整的圓周運動，則小球的初速度Vo的最小值為多少？運動過程中速度的最小值為多少？解析： 小球在運動過

9、程中，同時受到重力和電場力作用，當(dāng)兩力 的合力與小球所在位置對應(yīng)的半徑共線時，其運動的速度為最大值或最小值，如圖3-2-7所示，小球在B點速度最小。所以小球能做完整的圓 周運動，需要能夠過 B點。電場力為重力的 0.75倍，由幾何關(guān)系可知 0 =37 。當(dāng)小球剛好能經(jīng)過 B點時，環(huán)對小球的彈力為零，有2mg cost Eq sin ： - m-B-B點應(yīng)用動能定理此時小球在最低點所需的速度V0為最小值，對小球從最低點運動到1 2 1 2-mg(R Rcos J -EqRsinmvBmv02 2兩式聯(lián)立可得V0 =m的小球，將小球拉至輕圖 3-2-8變式訓(xùn)練如圖3-2-8所示，由長度為L的輕繩系

10、一質(zhì)量為 繩處于水平位置 A時釋放，整個裝置處于水平向右的勻強電場，小球能擺到豎直方向左側(cè)且輕繩與豎直方向夾角為0的B點，則當(dāng)小球從B擺到C點時，繩上的拉力大小為多少？丄2 cos(答案：Ft = mg(3)1+s in 廿思考與總結(jié)題型五 正交的電磁場中的圓周運動xBxx例題5 :如圖所示是勻強電場和勻強磁場組成的復(fù)合場，電 場方向豎直向下，場強為 E，磁場的方向水平指向紙內(nèi)、磁感應(yīng) 強度為B。在該復(fù)合場中有兩個帶電小球A和B都能在垂直于磁場方向的同一豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動(兩個小球間的庫侖力 可以忽略)，運動軌跡如圖。已知兩個帶電小球A和B的質(zhì)量關(guān)系為mA =2mB，運動軌跡半徑的關(guān)系為

11、 Ra = 2Rb =10cm。(1)試說明小球 A和B分別帶那種電荷？它們所帶的電荷量之比等于多少?(2)設(shè)帶電小球A和B在軌道最低點P相碰撞，若碰撞后，原在小圓軌道上運動的帶電小球B恰好能沿大圓軌道運動，求帶電小球A碰撞后的軌道半徑(設(shè)碰撞過程中電量不發(fā)生轉(zhuǎn)移)。解析：(1)帶點小球受到恒定的電場力和重力作用，同時受到洛倫茲力，只有在重力 與電場力等大反向時， 才能做勻速圓周運動。 由圖電場方向向下，可知，兩小球一定帶負電。Eq = mg所以 qA ： qB = mA : m 2 ：1(2)小球在P點所受洛倫茲力向上，由左手定則可判斷小球的運動均為順時針方向, 即兩小球在P點相撞前，速度方

12、向相同。對小球，洛倫茲力提供向心力qvB =m v R =qB半徑關(guān)系RA =2RB =10cm可得 Va：Vb=2:1mAmB碰撞后，原在小圓軌道上運動的帶電小球B恰好能沿大圓軌道運動，即其運動半徑加F倍，可得B碰后其速度加倍，vB =2vb碰撞過程中，由動量守恒定律FFEaVa EbVb 二 mAVA mBVB十曰*3可得V a . V a43所以A球碰后運動半徑 Ra = Ra = 7.5cm4b圖 3-2-10xXX變式訓(xùn)練如圖3-2-10所示，MN為相距30cm的 光滑平行金屬導(dǎo)軌，ab為電阻r等于0.3Q的金屬棒，且 可以緊貼平行導(dǎo)軌運動，相距為 27cm的水平放置的金 屬板A、B

13、與導(dǎo)軌相連，圖中 R為0.1 Q的定值電阻，導(dǎo) 軌的電阻忽略不計，整個裝置處于方向垂直紙面向里的 勻強磁場中，當(dāng)ab桿沿導(dǎo)軌向右勻速運動時，一帶電粒 子剛好能在 AB板間以與 ab桿相同的速率做半徑為 11.1cm的勻速圓周運動，試求金屬桿向右勻速運動的速 度（取整數(shù)答案）.(答案：v = 2m/s ) 思考與總結(jié)【強化訓(xùn)練】1、如圖3-2-11所示，將完全相同的兩小球 A、B,用長L=0.8 mAB O圖 3-2-11A卩Q一 圖 3-2-12的細繩懸于以v = 4 m/s向右勻速運動的小車頂部，兩球與小車前后壁接觸，由于某種原因，小車突然停止運動，此時懸線的拉力之比Fb : Fa 為（取

14、g=10 m/s2）（）A . 1 : 1B. 1 : 2C. 1 : 3D. 1 : 42、 如圖3-2-12所示，在光滑的水平面上釘相距40cm的兩個釘子A和B,長1m的細繩一端系著質(zhì)量為0.4kg的小球，另一端固定在釘子A上開始時，小球和釘子A、B在同一直線上，小球始終以2m/s的速率在水平面上做勻速圓周運動.若細繩能承受的最大拉力是4N，那么，從開始到細繩斷開所經(jīng)歷的時間是（）A . 0.9 二 sB . 1.8 二 sC. 1.6 二 sD . 0.8 二 s3. 用m表示地球通信衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）的質(zhì)量， h表示它離地面的高度，R0表示地球的半徑，g表示地球表面處的重力加速度，3 0

15、表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則通信衛(wèi)星所受的地球?qū)λ娜f有引力的大小等于（）2mR) g(R h)2C. m3 R2g0 04D.以上都不正確4、如圖3-2-13所示，質(zhì)量為 m,帶電量為q （q 0）的小球，用一長為L的絕緣細線系于一勻強電場中的O點，電場方向豎直向上，電場強度為 E,試討論小球在最低點要以多大的水平速度V。運1JE1JOL2,V0m圖 3-2-13動，才能使帶電小球在豎直平面內(nèi)繞O點做完整的圓周運動？5、如圖3-2-14所示，兩個質(zhì)量均為 0.1kg的小球用長為1m的不可伸長的輕線相連，將輕線水平拉直，并讓兩球靜止開始同時 自由下落，下落h高度后，線的中點碰到水平的釘子O上，如果

16、輕線能承受的最大拉力為 19N，要使輕線能被拉斷，h至少應(yīng)為多大？(g=10m/s2)O圖 3-2-146、在質(zhì)量為M的電動機上，裝有質(zhì)量為 m的偏心輪，其示意圖 如圖3-2-15所示。偏心輪轉(zhuǎn)動的角速度為3,當(dāng)偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸的正上方時，電動機對地面的壓力剛好為零；則偏心輪重心離轉(zhuǎn)軸的距 離r多大？在轉(zhuǎn)動過程中，電動機對地面的最大壓力多大？7、北京時間11月5日上午11時37分，嫦娥一號在月球捕獲點實施首次關(guān)鍵的近月點減速，衛(wèi)星成功進入繞月軌道，成為中國首顆繞月衛(wèi)星。設(shè)嫦娥一號在距月球表面280km的軌道上做勻速圓周運動，月球的半徑為3470km，月球表面的重力加速度約為地球表面的重力加速度的1。求嫦娥一號在此軌道上運行的速度。(地球表面處g取10m/s2)圖 3-2-1668、如圖3-2