常用邏輯用語(命題及其關(guān)系)

1、 常用邏輯用語（命題及其關(guān)系）知識點一、命題定義：一般地，我們用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題；其中判斷為正確的命題，為真命題；判斷為不正確的命題，為假命題。辨析：能夠分辨哪一個是命題及其真假判斷一個語句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假。語句可分為疑問句、祈使句、感嘆句與陳述句。一般的，只有陳述句能分辨真假，其他類型的句子無所謂真假，我們把每個能分辨真假的陳述句作為一個命題。對于一個句子，有時我們可能無法判斷其真假，但對這個句子卻是有真假的，如：“太陽系外存在外星人”，對于這個句子所描述的情形，目前確定其真假，但從事物的本質(zhì)而言，句子本身是可以判斷其真假的。這類語句也

2、稱為命題。語句是不是命題，關(guān)鍵在于能不能判斷其真假，也就是判斷其是否成立。不判斷真假的語句，就不能叫命題。“X<2”。知識點二、四種命題1.原命題與逆命題即在兩個命題中，如果第一個命題的條件（或題設(shè)）是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆命題.例如，如果原命題是：同位角相等，兩直線平行；它的逆命題就是：兩直線平行，同位角相等.2. 否命題與逆否命題即在兩個命題中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題就叫做互否命題，若把其中一個命題叫做原命題，則另一

3、個就叫做原命題的否命題.例如， 同位角不相等，兩直線不平行；兩直線不平行，同位角不相等.3. 原命題與逆否命題即在兩個命題中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題就叫做互為逆否命題，若把其中一個命題叫做原命題，則另一個就叫做原命題的否命題.4.四種命題的形式一般到，我們用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p 和q分別表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若p則q；逆否命題：若q則p.【例1】判斷下列命題的真假。原命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形的三邊對應(yīng)相等。逆命題：若兩個三角形的三邊對應(yīng)相等，則這

4、兩個三角形全等。否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不是三邊對應(yīng)相等 逆否命題：若兩個三角形不是三邊對應(yīng)相等，則這兩個三角形不全等。【例2】寫出給出命題的逆命題，否命題，逆否命題。并判斷其真假。原命題：如果一個四邊形是正方形，那么它的四條邊相等。逆命題：否命題：逆否命題：知識點三、四種命題的相互關(guān)系一般的，四種命題的真假性，有且僅有以下四種情況：（四種命題的真假性之間的關(guān)系）原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.知識點四、反證法欲證“若p則q”為真命題，從否定其結(jié)論即“非q”出發(fā)

5、，經(jīng)過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而“非q”為假，即原命題為真，這樣的證明方法稱為反證法其反證法的步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)從這個假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確【例3】證明知識點五、充分條件與必要條件充分條件的定義 如果p成立時，q必然成立，即pÞq，我們就說，p是q成立的充分條件（即為使q成立，只需條件p就夠了）必要條件的定義 如果B成立時，A必然成立，即qÞp，我們就說，q是p成立的必要條件（即為使q成立，就必須條件p成立）(1)若pÞq，且qÞp，則稱p是q的充

6、分必要條件，簡稱充要條件。P q說明：充要條件是互為的； “p是q的充要條件”也說成“p與q等價” 、 p當(dāng)且僅當(dāng)q”等.pÞq，且qÞp，則p是q的充要條件；pÞq，但qÞp，則p是q的充分而不必要條件；qÞp，但pÞq，則p是q的必要而不充分條件；pÞq，且qÞp，則p是q的既不充分也不必要條件.【例4】從“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：(1) “ a = b ” 是 “ ac = bc ” 的 (2) “ 兩個三角形全等 ” 是 “ 兩個三角形相似 ” 的 (3)

7、 “ a+ 5是無理數(shù)” 是 “ a無理數(shù) ” 的 (4) “ 四邊形的兩條對角線相等 ” 是 “ 四邊形是矩形 ” 知識點六、全稱命題與存在命題全稱量詞、全稱命題定義：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示。（常見的全稱量詞還有“一切” “每一個” “任給” “所有的”等 。 ）含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。如：全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立 ”可用符號簡記為：簡記為讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”。存在量詞、特稱命題定義：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示。(常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“

8、對某個”“有的”等 。) 含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。特稱命題“存在M中的一個x0，使p(x0)成立 ”可用符號簡記為：讀作“存在一個x0屬于M，使p(x0)成立”。同一全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法：【例4】判斷下列全稱、特稱命題的真假：（1）所有的素數(shù)是奇數(shù)； （2） xR，x211；（3）對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)； （4）所有的正方形都是矩形.（5）有一個實數(shù)x0，使x02+2x0+3=0；（6）存在兩個相交平面垂直于同一條直線； （7）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)。知識點七、全稱命題和特稱命題的否定從形式看，全稱命題的否定是特稱命題含有一個量詞的全

9、稱命題的否定,有下面的結(jié)論全稱命題p： 它的否命題 ：從形式看,特稱命題的否定都變成了全稱命題.含有一個量詞的特稱命題的否定,有下面的結(jié)論【例5】寫出下列命題的否定1) p：所有能被3整除的正數(shù)都是奇數(shù)。課堂練習(xí)1.設(shè)原命題是“當(dāng)c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假.分析：“當(dāng)c>0時”是大前提，寫其他命題時應(yīng)該保留，原命題的條件是a>b，結(jié)論是ac>bc.解：逆命題：_否命題：_逆否命題：_2. 寫出下面命題的逆命題、否命題與逆否命題，并判斷其真假。原命題：若兩個三角形全等,則它們的面積相等.3下列各組

10、命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：(1) p：a Q ，q： a R (2) p：a R ，q： a Q (3) p：內(nèi)錯角相等，q：兩直線平行(4) p：兩直線平行，q：內(nèi)錯角相等 4. 下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假.（1）任意實數(shù)的平方都是正數(shù)；（2）0乘以任何數(shù)都等于0； （3）有的老師既能教中學(xué)數(shù)學(xué)，也能 教中學(xué)物理；（4）某些三角形的三內(nèi)角都小于60°； （5）任何一個實數(shù)都有相反數(shù). 5.用符號“ ”與“ ”表達(dá)下列命題：（1）實數(shù)都能寫成小數(shù)形式；（2）存在這樣的實數(shù)它的平方等于它本身。（3）任一個實數(shù)乘以-1都等于它的相反數(shù)；（4）存在實數(shù)x

11、，x3x2；5.寫出下列命題的否定，并判斷其真假1）任意兩個等邊三角形都是相似的課后練習(xí)1.寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題,并判斷真假;(1)若一個整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個整數(shù)能被5整除;(2)若一個三角形的兩條邊相等,則這個三角形的兩個角相等;(3)若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù);2.若命題s的逆命題是t，命題s的逆否命題是r，則t與r的關(guān)系是（ ） A.互為逆命題 B.互為否命題 C.互為逆否命題 D.不能確定3. 從“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”或“既不充分也不必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：(1) “ AB ” 是 “ AB = A ” 的 (2) “ xA ” 是 “ xAB ” 的 (3) “ a=b=0 ” 是 “ ab=0 ” 的 (4) “ 0<x<5 ” 是 “ | x 2| < 5” 的 (5) “ 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a¹0)的圖象過原點 ” 是“ c = 0 ” 的 4.一個命題與它的逆命題，否命題，逆否命題這四個命題中( )（A）真命題的個數(shù)一定是奇數(shù)（B）真命題的個數(shù)一定是偶數(shù)（C）真命題的個數(shù)可能是奇數(shù),也可能是偶數(shù)（D）上述判斷都不正確5.完成表格6.判斷下列命題的真假.（1） xR，x2x； （2） xR，sinxc