湖南省永州市2017-2018學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)Word版含解析

1、湖南省永州市2017-2018學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） （解 析版） 、選擇題 l B. 1. 已知全集 U=1，2，3, 4，集合 A=1, 2 , B=2, 3，則(？UA)U B=( 2 B. 3 C. 2, 3 D. 2, 3, 4 2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i則 z 的虛部為（ 3. F 列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)且是增函數(shù)的是（ x y=2 B . 4.袋中有大小完全相同的 2 個紅球和 3 個黑球，不放回地摸出兩球, 設(shè) 第一次摸出紅球” 為事件 A ,摸得的兩球同色 ”為事件 B,則概率 P （ B| A）為（ 5. 等差數(shù)列 an中， a3=2, a6=5，則數(shù)列 :的前 5

2、 項和等于（ 15 B. 31 C. 63 D. 127 6.若函數(shù) f (x) =si n (3X + TT )(3 ，且函數(shù)在0，羋上 有且只有一個零點(diǎn)，則 f （ x）的最小正周期為（ A. B. n C. 7.當(dāng)實數(shù) x, y 滿足不等式組1 0）中，若過雙曲線左頂點(diǎn) A 斜率為 1 的直線交右支于點(diǎn) B，點(diǎn) B 在 x軸上的射影恰好為雙曲線的右焦點(diǎn) F，則該雙曲線的離心率為 n _ 1 16.已知數(shù)列an的前 n項和 Sn= （_ 1） n,若對任意的正整數(shù) 門，有（sn+1 _ p）（ an _ p）v 0 恒成立，則實數(shù) p 的取值范圍是 三、解答題 17. (12 分) （20

3、18 永州三模）如圖，已知/ BAC ，正 PMN 的頂點(diǎn) M、N 分別在 射線 AB、AC 上運(yùn)動，P(1) 求 AM （用B表示） ； (2) 當(dāng)B為何值時 PA 最大，并求出最大值. 18. AB , 且 DE 丄平面 ABE , ED=AE=1 . (1) 求證：平面 ABCD 丄平面 ADE ; (2) 求平面 CEB 與平面 ADE 所成銳二面角的余弦值. (2 )(1)試估計該地愿意生育二孩的已婚男性人數(shù); 2 (n)由直方圖可以認(rèn)為，愿意生育二孩的已婚男性的年齡 E服從正態(tài)分布 N(卩，s), 其中卩近似樣本的平均值-,s近似為樣本的方差 S2,試問：該地愿意生育二孩且處于較佳

4、 的生育年齡E(&( 26, 31)的總?cè)藬?shù)約為多少？(結(jié)果精確到個位) 附：若 N (仏 82)，貝V P (卩-Sv W 卩+=0.6826 , P ( 2Sv M 財 23) =0.9544 . (x - 4)，切點(diǎn)分別為 A、B,且切線與 x軸的交點(diǎn)為 T. (1) 求 a 的值; (2)過 T 的直線 I與橢圓 C 交于 M , N 兩點(diǎn)，與 AB 交于點(diǎn) D，求證: 值. 21. ( 12 分)(2018 永州三模)已知函數(shù) f (x) = - Inx (az 0, a R). a (1) 求函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間； (2) 若存在兩個不相等的正數(shù) X1, X2，滿足

5、f (X1)=f (X2)，求證：X1+X2 2a. 選修 4-1 :幾何證明選講 22. ( 10 分)(2018 永州三模)如圖， AB 是O O 的直徑，C 是O O 上一點(diǎn)，AC / BP, BM 切O O 于 B , BM 交 CP 于 M，且 CM=MP . (1) 求證：CP 與O O 相切； (2) 已知 CP 與 AB 交于 N , AB=2 , CN=二，求 AC 的長.20.（ 12 分） (2018 永州三模)已知橢圓 C： +=1 ( a0)的兩條切線方程y= 7 選修 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 賢二 （7； r）3 d 23. （2018 永州三模）在平面直角

6、坐標(biāo)系 xOy 中，圓 Ci的參數(shù)方程為：* （ a |y=2+2sina 為參數(shù)），M 是圓 Ci上得動點(diǎn)，MN 丄 x軸，垂足為 N, P 是線段 MN 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 的軌跡 為曲線 C2. （1 ）求 C2的參數(shù)方程； 1T （2）在以 O 為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線 匸 與 Ci的異于極點(diǎn)的交 6 點(diǎn)為 A，與 C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B，求 CiAB 的面積. 選修 4-5 :不等式選講 24. ( 2018 永州三模)已知 x y 0. (1 )若 xy=1 , |x - 1|+| y- 1| 1,求 x 的取值范圍. 卄 1 1 (2 )若 x+y=1，證明：

7、(r- 1 )(r- 1 ) 9. x y 20仃-2018學(xué)年湖南省永州市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1 已知全集 U=1 , 2, 3, 4，集合 A=1, 2 , B=2, 3，則（？uA）U B=（ ） A. 2 B. 3 C. 2, 3 D. 2, 3, 4 【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算. 【分析】根據(jù)集合的定義與運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行化簡與運(yùn)算即可. 【解答】解：全集 U=1 , 2, 3, 4, A=1 , 2, 二 CuA= 3, 4, 又 B=2, 3, （ CuA ）U B=2, 3 , 4. 故選：D. 【點(diǎn)評】 本題考查了集合的定義與運(yùn)算問題，是

8、基礎(chǔ)題目. 2 設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足亠二=i,則 z 的虛部為（ ） 1 _ Z A . - i B. i C. 1 D . - 1 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算. 【分析】把已知的等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得 z,則答案可求. 【解答】解：由_ 一 =i,得 1+z=i - iz, 1 _ z 即（1+i） z= - 1+i, -1+i 2i 丨；., z 的虛部為 1 . 故選：C. 【點(diǎn)評】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題. 3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)且是增函數(shù)的是（ x |x| - x x A. y=2 B . y=2 C.

9、y=2 - 2 【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明. 【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義，對選項中的函數(shù)進(jìn)行判斷即可. 【解答】 解：對于 A，指數(shù)函數(shù) y=2x在其定義域上是非奇非偶函數(shù)，不符合題意; 對于 B，函數(shù) y=2|x 1在其定義域是偶函數(shù)，不符合題意； 對于 C,函數(shù) y=2 -x-2x是定義域上的奇函數(shù)，且是減函數(shù)，不符合題意； 對于 D，函數(shù) y=2x-2-x是定義域上的奇函數(shù)，且是增函數(shù)，符合題意. 故選：D. 【點(diǎn)評】本題考查了基本初等函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷問題，是基礎(chǔ)題目. 4袋中有大小完全相同的 2 個紅球和 3 個黑球，不放回地摸出兩球，設(shè) 第一次摸出紅球 為事

10、件 A ,摸得的兩球同色”為事件 B,則概率 P ( B|A)為( 【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件. 【分析】求出事件 A 發(fā)生的概率，事件 AB 同時發(fā)生的概率，利用條件概率公式求得 P( B| A). 0 9 1 1 【解答】解：由 P (A) = , P (AB )= =亠, 5 5 4 20 由條件概率 P ( B| A) = _ =, F 4 故答案為：A . 【點(diǎn)評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用， 體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基 礎(chǔ)題. 5.等差數(shù)列an中，03=2, a6=5，則數(shù)列 ：的前 5 項和等于( ) A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 【考點(diǎn)】數(shù)

11、列的求和. 【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可得 an,再利用等比數(shù)列的前 n項和公式即可得出. 【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,v 03=2, 06=5, x -x D. y=2 - 2 丄 uu，解得 d=1，a1=0 . m+5dF5 ：=2n 1 1 -護(hù) 則數(shù)列 :的前 5 項和 S5= =31. 2 算能力，屬于中檔題. B. n C. 【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、 等比數(shù)列的前 n項和公式，考查了推理能力與計 6.若函數(shù) f (x) =sin (3X + )(3 0)，滿足 f (0) 6 兀 7T =f (.),且函數(shù)在0,.上 有且只有一個零點(diǎn)，則 f ( x

12、)的最小正周期為( 【考正弦函數(shù)的圖象. 【分JT 根據(jù)f ( 0) =f (),得出函數(shù)f (x)的一條對稱軸 x=;再根據(jù)題意得出 r n IT 0m，結(jié)合題目中的選項求出f (x)的最小正周期. 【解答】解：函數(shù) f (x) =sin ( wx+ ) ( 3 0)，滿足 f (0) =f (. O 0 ), 7T x= .：=是函數(shù) f ( x)的一條對稱軸; 丁 6 又函數(shù) f ( x)在0, 一上有且只有一個零點(diǎn), 7T T IT H 0 w w - , 6 4 2 6， 271 4 兀 即 w T w , 結(jié)合題目中的選項，得: f (x)的最小正周期為 T= n. 故選：B. 【

13、點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題， 也考查了函數(shù)的零點(diǎn)、對稱軸與周 期的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目. p+yl 7.當(dāng)實數(shù) x, y 滿足不等式組 J yCl ，恒有 ax+yw 3,則實數(shù) a 的取值范圍是( ) L-yb, c=34, a=85, b=34 m=MOD (85, 34) =17, a=34, b=17 不滿足條件 m=0, m=MOD (34, 17) =0, a=17, b=0, 滿足條件 m=0，退出循環(huán)，輸出 a 的值為 17. 故選：B. 【點(diǎn)評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確依次寫出每次循環(huán)得到的 a, b, m 的 值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14、9 .已知三棱柱 ABO - DCE 的頂點(diǎn) A、B、C、D、E 均在以頂點(diǎn) O 為球心、半徑為 2 的球 面上，其中 AB=2，則三棱柱的側(cè)面積為( ) A. 2+2 B . 2+4 二 C. 4+4 0,解得：x- 1,令 g (x)v 0,解得：xv- 1, g (x)在(-g,- 1)遞減，在(-1, 0),( 0, +g)遞增, g (x)的最小值為 g (- 1) =-k0,解得：kw- e e 又 k=0 時，f (x) =_- , f (x) =上二_ 令 f (x) 0,解得：x 1,令 f(x) v 0，解得：xv 1, f (x)在(-g, 1)遞減，在(1, +g)遞增

15、， x=1 是函的 f (x)的唯一一個極值點(diǎn)，符合題意， 綜上所述，k (- g,- U 0. e 故選：C. 【點(diǎn)評】 本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問題.對參數(shù)需要進(jìn)行討論. 、填空題 13. 二項式(2x2- ) 6展開式中，x3項的系數(shù)為 -12 . X 【考點(diǎn)】二項式系數(shù)的性質(zhì). 12.已知函數(shù) f (x)=二-k 數(shù) k 的取值范圍為( ) (-)若X=1是函的f( x)的唯 個極值點(diǎn), 則實 A ( C - (- m, U0, e 【考利用導(dǎo)【分由 f (X)的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對 k 進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為 0 時的 根. 【解解：T函數(shù) f (X) =-k ( -

16、 ), x 豐 0, X 2x2 (-,)= /x=1 是函數(shù) f (x)的唯 個極值點(diǎn) 【分析】利用二項式展開式的通項公式，令展開式中含 x 項的系數(shù)等于-3 求出 r 的值，由 此求出結(jié)果. 【解答】解：二項式(2x2- ) 6展開式中， 通項公式為 Tr+i=C6r ( 2x2) 6-r (- ) r=26- r (- 1) rC6rx12- 3r, 令 12 - 3r= - 3,解得 r=5 , 所以 T5+1=2 (- 1) 5X C65x-3= - 12x-3, 所以含 x-3項的系數(shù)為-12. 故答案為：-12. 【點(diǎn)評】 本題考查了二項式定理與通項公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

17、T T J L 1 1 J T T 14. 已知向量 與的夾角為 ，且|；|=1 , | - . -|=1，則| I = 1或 2 . 6 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 【分析】由條件可以得到才，J :，從而對 Il-V3b|=i 兩邊平方即可得出 2 ，這樣解該方程即可求出 |7 |的值. 【解答】解：根據(jù)條件，.-. :； 6 2 I - - . h - - L I-.-窕廣 =1, G ；嘰-2 0 解得 J-I. -:. 故答案為：1 或 2. 【點(diǎn)評】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式， 對等式 兩邊平方從而求I;I的 方法，以及一元二次方程的解法. 15在雙曲線上一-=1 (a, b

18、 0)中，若過雙曲線左頂點(diǎn) A 斜率為 1 的直線交右支于點(diǎn) $ b2 B，點(diǎn) B 在 x軸上的射影恰好為雙曲線的右焦點(diǎn) F，則該雙曲線的離心率為 2 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì). (c, 0),令 x=c,代入雙曲線的方程，可得 B 的坐 a, b, c 的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求 值. (c,), a 由直線 AB 的斜率為 1,可得: bi =1, c+a 即有 b2=a (c+a), 2 2 2 又 b =c a = (c a)( c+a), 即有 c a=a,即卩 c=2a, e= =2 a 故答案為：2 考查運(yùn)算能力，屬于中檔題. n 1 16. 已知數(shù)列an的前 n項和

19、Sn= ( 1) n,若對任意的正整數(shù) 門，有(an+1 P)(如- P)v 0 恒成立，則實數(shù) P 的取值范圍是 (-3, 1) _ 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和. n 1 n 1 【分析】Sn= ( 1) n,可得：a1=S1 = 1 .當(dāng) nA 2 時，an=Sn Sn-1，可得 an= ( 1) (2n 1)，對 n分類討論，利用(an+1 P)( ap p )v 0 恒成立，即可解出. 【解答】解： Sn= ( 1) n 1 n, a1=S 1=1 . 當(dāng) n2 時，an=Sn Sn1= (- 1) n 1n - (- 1) n 2 (n - 1) = (- 1) n 1 (2n - 1),當(dāng)

20、 n=1 時也成立， 【分析】由題意可得 A (- a, 0), F 標(biāo)，由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡整理，結(jié)合 【解解：由題意可得 A (- a, 0) F (c, 0), 令 x=c, k -1 = , a a 即有 B 【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率的求注意運(yùn)可得 y= 土 b 二 an= (- 1) n 1 (2n - 1), 當(dāng) n 為偶數(shù)時，(an+1- p)( an- p)v 0 化為：(2n+1) - p -( 2n- 1) - p v 0,- (2n - 1)v pv 2n+1,可得-3v pv 5. 當(dāng) n 為奇數(shù)時，(an+1- p)( an- p)v 0 化為：-(2n+1)

21、- p (2n- 1) - p v 0,- (2n+1 )v pv 2n - 1,可得-3v pv 1. r-3p5 -1 解得-3v pv 1. 故答案為：(-3, 1). 【點(diǎn)評】本題考查了遞推公式、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力， 屬于中檔題. 三、解答題 n 17. ( 12 分)(2018 永州三模)如圖，已知/ BAC= ，正 PMN 的頂點(diǎn) M、N 分別在 射線 AB、AC 上運(yùn)動，P 在/ BAC 的內(nèi)部，MN=2 , M、P、N 按逆時針方向排列，設(shè)/ AMN= 0. (1 )求 AM (用0表示)； (2 )當(dāng)0為何值時 PA 最大，并求出最大值. 【

22、考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理. All 【分析】(1 )在厶 AMN 中，由正弦定理可得： - - = “，代入化簡即 “ 口 丿 sirr- 可得出. (II )在厶 AMP 中，由余弦定理可得： AP2=AM 2+22- 4AMC0S / AMP，代入化簡整理即可 得出. 【解答】 解：(1 )在厶 AMN 中，由正弦定理可得： sin( AM= X 沁十，守-門=： (II )在厶 AMP 中，由余弦定理可得： AP2=AM2+22 - 4AMCOS / AMP=上門 J 丄- +4-丄二川 一一 : =#：丄二二匚心干+4 - 匚二. _2 0 16 f 口 口 丄 5 兀、 仆(門 Z

23、2J 當(dāng)且僅當(dāng) 2 1 - . =、_,，即 0= 時，|AP|max=2 _. 【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理余弦定理、 三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于 中檔題. 18. ( 12 分)(2018 永州三模)正方形 ABCD 所在的平面與三角形 ABE 所在的平面交于 AB，且 DE 丄平面 ABE , ED=AE=1 . (1) 求證：平面 ABCD 丄平面 ADE ; (2) 求平面 CEB 與平面 ADE 所成銳二面角的余弦值. 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定. 【分析】(1)推導(dǎo)出 DE 丄 AB , AD 丄 AB，從而 AB 丄平面 ADE，由此能證

24、明平面 ABCD 丄平面ADE . (2 )以 A 為原點(diǎn)，AB 為 x軸，AE 為 y 軸，以過 A 點(diǎn)垂直平面 ABE 的直線為 z 軸，建立 空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面 CEB 與平面 ADE 成銳二面角的余弦值. 【解答】 證明：(1)v DE 丄平面 ABE , AB?平面 ABE DE 丄 AB , 又四邊形 ABCD 是正方形， AD 丄 AB , MI M CO-3 / DE 與 AD 相交， AB 丄平面 ADE , /AB?平面 ABCD ,平面 ABCD 丄平面 ADE . 解：（2）由（1）知 AB 丄 AE,以 A 為原點(diǎn)，AB 為 x軸，AE 為 y 軸,

25、 ED=AE=1， AD= -，E（ 0,1，0），B（二 0，0），D（ 0，1，1）， 一：=（ 7, 0，0），C（ 7，1，1 ），： =（電遷、】），：= （ ）， 設(shè)面 BEC 的法向量 =（x，y，z）， 則 J 丁呼，即便 C，令 x= ，得；=（屈 2, -2）， m-EC=0 W2 時滬 0 面 ADE 的一個法向量為=（1，0，0）， COSV 【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法， 是中檔題， 解題時要認(rèn)真 審題，注意向量法的合理運(yùn)用. 19. （ 12 分）（2018 永州三模）2017-2018 學(xué)年 1 月 1 日，我國實施 全面二孩”政策，中

26、國 社會科學(xué)院在某地（已婚男性約 15000 人）隨機(jī)抽取了 150 名已婚男性，其中愿意生育二孩 的有 100 名，經(jīng)統(tǒng)計，該 100 名男性的年齡情況對應(yīng)的頻率分布直方圖如下； （1）求這 100 名已婚男性的年齡平均值 和樣本方差 s2 （同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替， 結(jié)果精確到個位）； （2 ）（1）試估計該地愿意生育二孩的已婚男性人數(shù);(n)由直方圖可以認(rèn)為，愿意生育二孩的已婚男性的年齡 胡服從正態(tài)分布 N(y, s2), 以過 A 點(diǎn)垂直平面 ABE 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系, 平面 CEB 與平面 ADE 成銳二面角的余弦值為 V5 2 其中卩近似樣本的平均值7, S

27、近似為樣本的方差 s2,試問：該地愿意生育二孩且處于較佳 的生育年齡E(&( 26, 31)的總?cè)藬?shù)約為多少？(結(jié)果精確到個位) 附：若 汁 N (仏 82)，貝 V P (卩-S & i+ S) =0.6826 , P (卩-2 S M p+2 S) =0.9544 . 【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；簡單隨機(jī)抽樣. 【分析】(1)由頻率分布直方圖能求出這 100 名已婚男性的年齡平均值 和樣本方差 s2. (2)(1)該地愿意生育二孩的已婚男性人數(shù)為 15000 X I，. =10000 人 150 (n)由(1)知，且 匕 N (36, 25),即可求出 P

28、 (26v M 31) = . P (26 M 46)- P (31 41) =0.1359，問題得以解決. 【解答】解：(1) 100 名已婚男性的年齡平均值 和樣本方差 s2分別為 7=24 X 0.04+28 X 0.08+32 X 0.16+36 X 0.44+40 X 0.16+44 X 0.1+48 X 0.02=35.92 36, s2= (- 12 ) 2 X 0.04+ (- 8) 2 X 0.08+ (- 4 ) 2 X 0.16+02 X 0.44 +42 X 0.16 +82 X 0.1 + 122 X 0.02 25, (2)(1),該地愿意生育二孩的已婚男性人數(shù)為

29、15000X T 一 =10000 人， Ibu (n)由(1 )知，標(biāo)準(zhǔn)差 s=5,且汁 N ( 36, 25), P ( 31 41) =0.6826 , P (26 46) =0.9544 , P (26 31) = . P (26 46)- P ( 31 0)的兩條切線方程 y= ,3 2 (x - 4)，切點(diǎn)分別為 A、B,且切線與 x軸的交點(diǎn)為 T. (1) 求 a 的值; (2)過 T 的直線 I與橢圓 C 交于 M , N 兩點(diǎn)，與 AB 交于點(diǎn) D，求證: 值. 【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì). 利用的判別式能求出 a. 定值. 、尸土石4) 、“/ / 2 2 2 聯(lián)立 ，消去 y

30、 并化簡，得(3+ ) x - 2a x+a =0, |3Aa2y2-3a2=0 直線與橢圓相切， 2 =4a 4 ( 3+ ) a?=3a 12a?=0, 由 a 0，解得 a=2. 證明：(2)由(1 )得 T (4, 0), 20.( 12 分) (2018 永州三模)已知橢圓 【分(1)聯(lián)立心護(hù) 7 3x2 + a2y2 - 3a2=0 得(3+)x2-2a2x+a2=0，直線與橢圓相切, (2) T (4, 0),設(shè)直線 I的方程為 x=my+4,聯(lián)立: 3x2+4y2 12=0 ,消去 x,得(3m2+4) y2+24my+4m2+36=0,由此利用韋達(dá)定理、 相似形性質(zhì)，結(jié)合已知

31、條件能證明 +匕為 【解答】解: C: =1 (a 0 )的兩條切線方程 y= - (x -4) 不妨設(shè)直線 I的方程為 x=my+4，由題意得 m 0,設(shè) M (x1, y1), N (x2, y2), 2 2 2 ，消去 x，得（3m2+4） y2+24my+4m2+36=0, ,3x +4y - 12=0 24m 36 F , y i yo= 飛 , 3nT+4 3mz+4 又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)滿足方程（3+- ） x2-2a2x+a2=0,即 4x2- 8x+4=0 , 4 即XA=XB=1,.直線 AB 的方程為 3 則點(diǎn) D （1 ,）, II） =M I |TD| =時珥 |yj r

32、 ii lvN - yT 【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)值的求法，考查代數(shù)式和為定值的證明，是中檔題, 題，注意橢圓性質(zhì)、直線與橢圓相切、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用. 21. ( 12 分)(2018 永州三模)已知函數(shù) f(X)=丄-Inx (az 0, a R) a TD _ 1;=_ Q 為定值; -= 忙乃1 I 11 yT |TD| + | TD lvD yi+y21 ITM TN 彳|y2 |y （yi, y2 同號） 聯(lián)立 由根與系數(shù)的關(guān)系，得J,-/ 當(dāng)直線 I與 x 軸重合時，| TD | =3 , | TM | =2 , | TN| =6, 當(dāng)直線 I與 X 軸不重合時，mz 0, 10 3

33、n/+4 3m+4 =2 為定值. TD| +_|TD| nT TTN! 為定值 2. 解題時要認(rèn)真審 根據(jù)相似形，得 (1) 求函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間； (2) 若存在兩個不相等的正數(shù) X1, X2，滿足 f (X1)=f (X2)，求證：X1+X22a. 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值. 【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；( 2)得到 a0 符合題意，不妨設(shè) xi f (2a-)即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào) 性證明即可. 【解答】(1)解：f (x)的定義域是(0, +R), f( x)二 一1 當(dāng) a 0 時，x a,

34、 f (x) 0, 0 x a, f( x) 0, 當(dāng) a0, f (x)0 時：f (x)在(0, a)遞減，在(a, +)遞增； a0 時，f 0)在(0, +s)遞減； (2)證明：由(1)得：a0 時：f (乂)在(0, a)遞減，在(a, 遞增， 若存在兩個不相等的正數(shù) x1, x2，滿足 f (x1) =f (x2), 不妨設(shè) X1 2a,即證 X2 2a- X1，而 X2 a, 2a- X1 a, 故只需證 f (X2) f ( 2a- X1)即可， 函數(shù) F (x) =f (x)- f (2a- x)的定義域是(0, 2a), u 2a x F (x) =f (x) - f (

35、2a- x) = - Inx - +ln (2a- x), a a ( v 希 F (X)= - - -r-w0，當(dāng)且僅當(dāng) X=a =”成立， ai F (x )在(0, 2a)遞減，而 F (a) =0 , x ( 0, a)時，F(xiàn) (x) =f (x)- f (2a- x) 0, x( a, 2a)時，F(xiàn) (x) =f (x) - f (2a- x) 0, 從而 X1+X22a. 【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明， 是一道綜合題. 選修 4-1 :幾何證明選講 22. ( 10 分)(2018 永州三模)如圖， AB 是O O 的直徑，C 是O O 上一點(diǎn)

36、，AC / BP, BM 切O O 于 B , BM 交 CP 于 M，且 CM=MP . (1)求證：CP 與O O 相切； (2)已知 CP 與 AB 交于 N , AB=2 , CN= 一，求 AC 的長. 【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明. 【分析】(1)連接 BC , OC,證明 OCM OBM，可得/ OCM=90 即可證明 CP 與O O 相切； 2 (2)由切割線定理可得： CN =NANB，求出 NA ,禾 1用厶 ACB CBP 求 AC 的長. 【解答】(1)證明：連接 BC, OC, AB 是O O 的直徑， / ACB=90 /AC / BP, / CBP=90 / CM=MP , MC=MB , / OC=OB , OM=OM , OCM BA OBM , / OCM=90 CP 與O O 相切； (2)解：由切割線定理可得： CN2=NANB , / AB