小學(xué)奧數(shù)——三角形的等積變形(附答案)

1、小學(xué)奧數(shù)三角形的等積變形我們已經(jīng)掌握了三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底乂高十2這個公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變， 高越大（?。切蚊娣e也就越大（?。?同樣若三角形的高不變，底越大（?。切蚊娣e 也就越大（?。┻@說明；當(dāng)三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化但是， 當(dāng)三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼呢怳三角形面積與原來的jf羊.這就是說土 一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同時也告訴我們： 一個三角形在面積不改變的情況下，可以

2、有無數(shù)多個不同的形狀本講即研究面積相同的三角形的 各種形狀以及它們之間的關(guān)系.為便于實(shí)際問題的研究，我們還會常常用到以下結(jié)論： 等底等高的兩個三角形面積相等. 底在同一條直線上并且相等，該底所對的角的頂點(diǎn)是同一個點(diǎn)或在與底平行的直線上，這兩 個三角形面積相等. 若兩個三角形的高（或底）相等，其中一個三角形的底（或高）是另一個三角形的幾倍，那 么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍.例如在右圖中，若ZYABD與/XAEC的底邊相等（BD二DE = EG二;EC）-，它們所對的頂點(diǎn)同為A點(diǎn)，（也就是它們的高相等）那么這兩個三角形的面積相等.同時也可以知道厶 ABC的面積是厶ABD或 AEC面

3、積的3倍.例如在右圖中， ABC與 DBC的底相同（它們的底都是 BC，它所對的兩個頂點(diǎn) A D在與底 BC平行的直線上，（也就是它們的高相等），那么這兩個三角形的面積相等.例如右圖中， ABC與 DBO的底相同（它們的底都是BC , ABC的高是 DBC高的2倍（D是AB中點(diǎn)，AB=2BD有AH=2DE，則 ABC的面積是厶DBCW積的2倍.上述結(jié)論，是我們研究三角形等積變形的重要依據(jù).例1用三種不同的方法，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形.方法1；如右圖，將BC邊四等分(BD = DE = EF=FC=BC),連結(jié) AD, AE. AK 則 AAKD、A ADE. AEF, 肛勞積

4、.方法2:如右圖，先將 BC二等分，分點(diǎn) D、連結(jié)AD,得到兩個等積三角形，即 ABDM ADC 等積.然后取 AC AB中點(diǎn)E、F,并連結(jié)DE DF.以而得到四個等積三角形，即 ADF BDF DCE ADE等 積.方法3；如右圖，先將EC四等分，即ED二扌BG連結(jié)AD,再將AD三 等分，即AE = EF = FD=|aD,連結(jié)CR CF,從而得到四個等積的三角形 ,即ZiABD、CDF* CEE ZiACE等積.c例2用三種不同的方法將任意一個三角形分成三個小三角形，使它們的面積比為及1 : 3: 4.方法1 :如下左圖，將 BC邊八等分，取1 : 3： 4的分點(diǎn)D E,連結(jié)AD AE,從

5、而得到厶ABD ADE AEC的面積比為 1 : 3 : 4.方法2：如上右圖，先取BC中點(diǎn)D,再取AB的土分點(diǎn)E,連結(jié)AIXDE 從而得到三個三角形： ADE BDE ACD其面積比為 1 : 3 : 4.方法3：如右圏，先取AB中點(diǎn)D,連結(jié)CD,再取d上扌分點(diǎn)E.連結(jié)AE,從而得到三個三角形；AACE. A ADE. BCD,其面積比為1 ： 3：4.A當(dāng)然本題還有許多種其他分法，同學(xué)們可以自己尋找解決.例3如右圖，在梯形 ABCD中，AC與BD是對角線，其交點(diǎn) 0,求證：COD面積相等.證明：DBC等底等高， SA ABC=S DBC又 S AOB=S ABC-SA BOCS DOC=

6、DBC- SA BOC SA AOB=S COD例4如右圖，把四邊形 ABCD改成一個等積的三角形.分析本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相 等我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，TI把頂點(diǎn)A移到CB的延長線上的 A'處， A' BD與 ABD面積相等，從而 A DC面積與原四邊 形ABCD面積也相等這樣就把四邊形 ABCD等積地改成了三角形 A' DC問題是A'位置的選擇是 依據(jù)三角形等積變形原則過 A作一條和DB平行的直線與 CB的延長線交于 A'點(diǎn).解：連結(jié)BD 過A作BD的平行線，與 CB的延長線交于

7、 A'. 連結(jié)A'。，則厶A CD與四邊形ABCD等積.例5如右圖，已知在厶 ABC中，BE=3AE CD=2AD若厶ADE的面積為1平方厘米.求三角形 ABC的面 積.ED解法1 :連結(jié)BD在厶ABD中/ BE=3AE, S ABD=4SX ADE=4 （平方厘米）.在厶 ABC中，T CD=2AD S ABC=3SX ABD=3X 4=12 （平方厘米）.解法2:連結(jié)CE如右圖所示，在 ACE中,/ CD=2AD S ACE=3SX ADE=3（平方厘米） 在厶 ABC中，T BE=3AE S ABC=4SX ACE=4 X 3=12 （平方厘米）.例 6 如下頁圖，在 A

8、BC中，BD=2AD AG=2CG BE=EF=FC=|bC3求陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾?2AG = 2CG,1 2 2c = _ X Q S ADG+S BDE+S CFG辰 21、嚴(yán)§ +了+§）§在此cA ABC陰影部分面積二Ip) =例7如右圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC,如果 ADE的面積為4平方厘米.求三角形CDF的面 積.E B解：連結(jié) AF、CE 二 SAADE=SACE § CDF=SACF 又：AC與 EF平行，二 SAACE=SACF; S ADE=S CDF=4（平方厘米）.例8如右圖，四邊形 ABCD面積為1,且AB=AE BC=BF DC=CG AD=DH求四邊形 EFGH的面積.v解：連結(jié)BD,將四邊形 ABCD分成兩個部分 S1與S2.連結(jié)FD有SA FBD=SX DBC=S1所以SA CGF=S DFC=2S1同理 S AEH=2S2因此 SAAEH+SCGF=2S1+2S2=2(S1+S2) =2X 1=2.同理，連結(jié)AC之后，可求出SA HGD+徑 EBF=2所以四邊形 EFGH的面積為2+2+仁5 (平方單位). 例9如右圖，在平行四邊形 ABCD中,直線CF交AB于E,交DA延長線于F