一階線性微分方程.(3)ppt課件

1、第七章第七章 常微分方程常微分方程 第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 第三節(jié)第三節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程 第五節(jié)第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方二階常系數(shù)線性微分方程程 線性微分方程線性微分方程 伯努利方程伯努利方程第三節(jié) 一階線性微分方程 xQyxPdxdy 形如：形如：、1一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程 齊次微分方程。齊次微分方程。時(shí)，方程為一階線性時(shí)，方程為一階線性當(dāng)當(dāng)0 xQ 非齊次微分方程。非齊次微分方程。時(shí)，方程為一階線性時(shí)，方程為一階線性當(dāng)當(dāng)0 xQ 02 yxPdxdy齊次微分方程的通解

2、：齊次微分方程的通解：、 dxxPdyy 1分離變量分離變量步驟：步驟： dxxPdyy1兩邊積分兩邊積分 cdxxPylnln dxxPecy 含有任意常數(shù)。含有任意常數(shù)。中不再中不再不定積分不定積分 dxxP02 xydxdy例如例如注注意意 dxxecy2代入通解代入通解2xec 利用常系數(shù)變易法利用常系數(shù)變易法解：解：、非齊次微分方程的通、非齊次微分方程的通3步驟：步驟： dxxPecy齊次通解為齊次通解為）1 dxxPexcy非齊次通解為非齊次通解為）2 cdxexQxcdxxP 代入方程求出代入方程求出）3 cdxexQeydxxPdxxP 通解為通解為）41通解中的不定積分不再含

3、有任意常數(shù)。通解中的不定積分不再含有任意常數(shù)。說說 明明2可直接用公式求通解，要牢記?？芍苯佑霉角笸ń?，要牢記。3也可以按常系數(shù)變易法求通解。也可以按常系數(shù)變易法求通解。()的通解。的通解。求微分方程求微分方程例例2 25 51 11 12 2- -1 1+=+xxydxdy0 01 12 2- -1 1=+xydxdy齊次方程齊次方程解法解法1 12 2+=xdxydy分分離離變變量量dxxdyy1 12 21 1+=兩兩邊邊積積分分()cxyln+ln=ln1 12 2()2 21 1+=xcy( )()2 21 1+=xxcy非齊次通解為非齊次通解為( )()( )()1 12 21

4、12 2+=xxcxxcdxdy()中中得得代代入入方方程程2 25 51 11 12 2+=+xxydxdy-( )()( )()( )()()2 25 51 11 11 12 2- -1 12 21 12 22 2+=+xxxcxxxcxxc( )()()2 25 51 11 12 2+=+xxxc得得( )()2 21 11 1+=xxc dxxxc211()cx+=2 23 31 13 32 2 cxxy2313212通解為通解為 25112 xxydxdy 251122 xxQxxP解法解法 cdxexecdxexQeydxdxdxxPdxxPxx1225121通解為通解為 cdxe

5、xexx1ln21ln2251 cdxxx21112 cxx2313212 cdxxxx2211125NeNeNN1)1lnln 注注 意意位置不定積分。位置不定積分。求指數(shù)求指數(shù)在使用公式過程中，先在使用公式過程中，先)2 xexQxxPsincos 解解 cdxeeecdxexQeyxdxxxdxdxxPdxxP cossincos通解為通解為的通解。的通解。求微分方程求微分方程例例xexydxdysincos2 cdxeeexxx sinsinsin cdxex sin cxex sin 的特解。的特解。求微分方程求微分方程例例 10cos21302xyxxyyx1cos1222 xxy

6、xxdxdy方程為方程為解解 1cos1222 xxxQxxxP cdxexxecdxexQeydxdxdxxPdxxPxxxx1221221cos2通解為通解為 cdxexxexx1ln21ln221cos cdxxx cos112 cxx sin112110 cyx代入得代入得、將將 1sin112 xxy則特解為則特解為 xQyxPdxdy 分方程。分方程。時(shí)，方程為一階線性微時(shí)，方程為一階線性微當(dāng)當(dāng)0 01 yxQxPdxdy微分方程。微分方程。時(shí)，方程也為一階線性時(shí)，方程也為一階線性當(dāng)當(dāng)方程。方程。時(shí)，方程為非線性微分時(shí)，方程為非線性微分、當(dāng)當(dāng)10 為伯努利方程。為伯努利方程。形如：

7、形如：定義定義,1 , 0 yxQyxPdxdy二、伯努利方程二、伯努利方程解法：解法： xQyxPdxdyyy 11，則，則兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以），作變換作變換） 1:2yz xQzxPdxdz 113程程化簡為一階線性微分方化簡為一階線性微分方）。換成換成解，再把解，再把解線性微分方程，求通解線性微分方程，求通） 14yz dxdyydxdz 1則則的通解。的通解。求微分方程求微分方程例例2ln4yxaxydxdy xayxdxdyyyln11122 方程兩邊同除方程兩邊同除解解dxdyydxdzyz 211，作變換作變換xazxdxdzln1 得得 xaxQxxPln1 cdxexaecdxexQezdxdxdxxPdxxPxx11ln cdxexaexx lnlnln cdxxxax1ln cxax2ln21 cxax2ln21ln2ln2122 cxaxycxaxy即即則所求通解為則所求通解為 的通解。的通解。求微分方程求微分方程例例yxydxdyx2115 yxyxdxdyx 1111，方程兩邊同除方程兩邊同除解解xyxdxdyyy 11121方程兩邊同除方程兩邊同除dxdyydxdzyz 22作變換作變換 xzxdxdz 1212得得 xxQ