3隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量

1、隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量圖圖2.5 2.5 離散事件系統(tǒng)仿真變步長時(shí)間推進(jìn)法的控制流離散事件系統(tǒng)仿真變步長時(shí)間推進(jìn)法的控制流開始開始(0)激活初始化程序激活初始化程序(1)激活時(shí)間推進(jìn)程序激活時(shí)間推進(jìn)程序(2)激活事件發(fā)生程序激活事件發(fā)生程序i重復(fù)重復(fù)主程序主程序設(shè)置仿真鐘設(shè)置仿真鐘=0初始化系統(tǒng)狀態(tài)與統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)器初始化系統(tǒng)狀態(tài)與統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)器初始化事件列表初始化事件列表(1)更新系統(tǒng)狀態(tài)更新系統(tǒng)狀態(tài)(2)更新統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)器更新統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)器(3)產(chǎn)生將來事件并添加到事件列表中產(chǎn)生將來事件并添加到事件列表中確定下一事件類型，如確定下一事件類型，如i推進(jìn)仿真鐘推進(jìn)仿真鐘生成隨機(jī)變量生成隨機(jī)變量仿真結(jié)束

2、？仿真結(jié)束？(1)計(jì)算有關(guān)評價(jià)指標(biāo)計(jì)算有關(guān)評價(jià)指標(biāo)(2)寫仿真報(bào)告寫仿真報(bào)告報(bào)告生成器報(bào)告生成器終止終止YN(1)i(0)3.1 隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)v隨機(jī)變量：隨機(jī)變量：Xv離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量只能在有限或：若隨機(jī)變量只能在有限或可列無窮多個(gè)可列無窮多個(gè)(實(shí)數(shù)實(shí)數(shù))點(diǎn)上取值，則稱該隨機(jī)點(diǎn)上取值，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。概率分布三種表示變量為離散型隨機(jī)變量。概率分布三種表示方式：方式：公式法：如泊松分布公式法：如泊松分布列表法：列表法：圖示法：圖示法：x012P0.20.30.5ekkxPk!)(210 x-10.50.30.2P3.1 隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)

3、隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)v連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X在一個(gè)或多個(gè)在一個(gè)或多個(gè)非退化的實(shí)數(shù)區(qū)間連續(xù)取值，且存在非負(fù)實(shí)非退化的實(shí)數(shù)區(qū)間連續(xù)取值，且存在非負(fù)實(shí)函數(shù)函數(shù)f(x)，使得對任意，使得對任意x有有 。 v概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)： f(x)v隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)：設(shè)：設(shè)X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 ,則則X為為0,1上的均勻分布函數(shù)。在計(jì)算機(jī)上上的均勻分布函數(shù)。在計(jì)算機(jī)上可產(chǎn)生可產(chǎn)生X的抽樣序列的抽樣序列 xn ，通常稱，通常稱 xn 為為0,1上均勻分布隨機(jī)變量上均勻分布隨機(jī)變量X的隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)數(shù)。1 , 0, 01 , 0, 1)(xxxfbadxxfbaxP)(),(3.

4、2 常用分布常用分布v分布函數(shù)：分布函數(shù)：F(x)=P(Xx)，概率累積函數(shù)，概率累積函數(shù)/累積分布函數(shù)累積分布函數(shù)v泊松分布泊松分布：P()或或(), 是是X的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。如單位時(shí)間內(nèi)放射型物質(zhì)放射出如單位時(shí)間內(nèi)放射型物質(zhì)放射出粒子的數(shù)目；粒子的數(shù)目；單位長度的布匹上的疵點(diǎn)數(shù)單位長度的布匹上的疵點(diǎn)數(shù)v指數(shù)分布指數(shù)分布：XEXPO（ ）在間隔時(shí)間在間隔時(shí)間t內(nèi)放射出內(nèi)放射出粒子的數(shù)目粒子的數(shù)目v均勻分布均勻分布：XU（a，b）拋硬幣正反面出現(xiàn)的次數(shù)拋硬幣正反面出現(xiàn)的次數(shù)v正態(tài)分布正態(tài)分布：XN（，2 ）某地區(qū)男某地區(qū)男(女女)性成人的身高性成人的身高v威布爾分布，復(fù)合泊松分布威布爾分

5、布，復(fù)合泊松分布3.3 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器隨機(jī)數(shù)發(fā)生器v對不同的系統(tǒng)或者過程進(jìn)行仿真時(shí)，如果系對不同的系統(tǒng)或者過程進(jìn)行仿真時(shí)，如果系統(tǒng)或過程本身包含固有的隨機(jī)組成成分，就統(tǒng)或過程本身包含固有的隨機(jī)組成成分，就需要一定的方法來生成或者獲得隨機(jī)的數(shù)值。需要一定的方法來生成或者獲得隨機(jī)的數(shù)值。例如，排隊(duì)系統(tǒng)中的時(shí)間間隔，服務(wù)時(shí)間，例如，排隊(duì)系統(tǒng)中的時(shí)間間隔，服務(wù)時(shí)間，庫存系統(tǒng)中的需求量等。庫存系統(tǒng)中的需求量等。在計(jì)算機(jī)仿真中，在計(jì)算機(jī)仿真中，能否產(chǎn)生具有一定性能要求的隨機(jī)數(shù)是決定能否產(chǎn)生具有一定性能要求的隨機(jī)數(shù)是決定仿真是否可信的重要因素之一。仿真是否可信的重要因素之一。3.3 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器隨機(jī)數(shù)發(fā)生器v

6、按照某種概率分布要求產(chǎn)生一系列的隨機(jī)數(shù)。按照某種概率分布要求產(chǎn)生一系列的隨機(jī)數(shù)。v偽隨機(jī)數(shù)偽隨機(jī)數(shù)：按照一定的計(jì)算方法產(chǎn)生的一列：按照一定的計(jì)算方法產(chǎn)生的一列數(shù)，使它們具有類似于數(shù)，使它們具有類似于均勻隨機(jī)變量均勻隨機(jī)變量的性質(zhì)，的性質(zhì)，稱這樣產(chǎn)生的一系列數(shù)值為偽隨機(jī)數(shù)。稱這樣產(chǎn)生的一系列數(shù)值為偽隨機(jī)數(shù)。v一一.線性同余法線性同余法(線性同余發(fā)生器線性同余發(fā)生器LCG)：*Ui為第為第i個(gè)隨機(jī)數(shù)，個(gè)隨機(jī)數(shù)，Z0稱為隨機(jī)數(shù)源或種子值；稱為隨機(jī)數(shù)源或種子值；a為乘子；為乘子；c為增量；為增量；m為模數(shù)；為模數(shù)；參數(shù)均為非負(fù)整數(shù)，應(yīng)滿足參數(shù)均為非負(fù)整數(shù)，應(yīng)滿足am,cm,Z0m。v將種子值將種子值Z

7、0代入，得到一個(gè)代入，得到一個(gè)Z0，Z1，Zi，Zn序列值。序列值。v再令再令 ，則可得到均勻分布隨機(jī)，則可得到均勻分布隨機(jī)數(shù)數(shù)U(0,1)。1Z( Z) mod1,2,.iiacmiZUU0,1iiimZUU0,1iiim*例：例：令令Z0 =27， a=17，c=43，m=100，確定確定i=1,2,3的隨機(jī)數(shù)。的隨機(jī)數(shù)。解：產(chǎn)生的整數(shù)值將總是在解：產(chǎn)生的整數(shù)值將總是在0-99之間，之間， Z0 =27， U0 =2/100=0.02 Z1 = (1727+43) mod 100=2， U1 =2/100=0.02 Z2 = (172+43) mod 100=77， U2 =77/100=

8、0.77 Z3 = (1777+43) mod 100=52， U3 =52/100=0.521Z( Z) mod1,2,.iiacmiZUU0,1iiimv線性同余發(fā)生器的缺點(diǎn)線性同余發(fā)生器的缺點(diǎn)1.由公式計(jì)算得到的隨機(jī)數(shù)序列并不是真由公式計(jì)算得到的隨機(jī)數(shù)序列并不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，其取決于參數(shù)正意義上的隨機(jī)數(shù)，其取決于參數(shù)a，c，m，Z0。為使利用。為使利用LCG產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)在產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)在0,1區(qū)間上表現(xiàn)出均勻分布的特性，必須區(qū)間上表現(xiàn)出均勻分布的特性，必須適當(dāng)選擇參數(shù)。所以產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是否滿適當(dāng)選擇參數(shù)。所以產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是否滿足需求，要對隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的均勻性、獨(dú)足需求，要對隨機(jī)數(shù)發(fā)生

9、器的均勻性、獨(dú)立性和相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)和評價(jià)。立性和相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)和評價(jià)。v線性同余發(fā)生器的缺點(diǎn)線性同余發(fā)生器的缺點(diǎn)2.所得到的所得到的Ui序列只能取有理數(shù)值序列只能取有理數(shù)值0,1/m,2/m，m-1/m，或其中的一部分，或其中的一部分，這取決于這取決于a，c，m，Z0。只有當(dāng)。只有當(dāng)m足夠大足夠大時(shí)，在時(shí)，在0,1區(qū)間內(nèi)的取點(diǎn)才足夠密集。這區(qū)間內(nèi)的取點(diǎn)才足夠密集。這可以保證在大多數(shù)情況下，獲得與真實(shí)的可以保證在大多數(shù)情況下，獲得與真實(shí)的在在0,1區(qū)間上的均勻分布足夠接近的隨機(jī)區(qū)間上的均勻分布足夠接近的隨機(jī)數(shù)。數(shù)。3.循環(huán)，即產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)具有周期性。當(dāng)循環(huán)，即產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)具有周期性。當(dāng)Zi所取的

10、值與以前的某次取值相同時(shí)，就所取的值與以前的某次取值相同時(shí)，就會產(chǎn)生相同的序列取值，并無窮重復(fù)下去。會產(chǎn)生相同的序列取值，并無窮重復(fù)下去。這個(gè)周期的長短稱為發(fā)生器的周期。顯然這個(gè)周期的長短稱為發(fā)生器的周期。顯然周期最大周期最大=m，稱為全周期。，稱為全周期。LCG具有全周具有全周期的充要條件為：期的充要條件為：vm和和c互為質(zhì)數(shù)，即唯一的公約數(shù)是互為質(zhì)數(shù)，即唯一的公約數(shù)是1；v如果如果q是一個(gè)能整除是一個(gè)能整除m的質(zhì)數(shù)的質(zhì)數(shù),則則q能整除能整除a-1；v如果如果m能被能被4整除，則整除，則a-1也能被也能被4整除。整除。v二二.中值平分法中值平分法首先給出一個(gè)初值種子首先給出一個(gè)初值種子X0，

11、對該數(shù)的平，對該數(shù)的平方取中間值的位數(shù)，將小數(shù)點(diǎn)放在數(shù)的最方取中間值的位數(shù)，將小數(shù)點(diǎn)放在數(shù)的最前方就得到一個(gè)隨機(jī)數(shù)。前方就得到一個(gè)隨機(jī)數(shù)。中間位數(shù)中間位數(shù)X1平方，按照同樣方法產(chǎn)生第平方，按照同樣方法產(chǎn)生第二個(gè)隨機(jī)數(shù)。二個(gè)隨機(jī)數(shù)。缺點(diǎn)：重復(fù)、退化缺點(diǎn)：重復(fù)、退化v二二.中值平分法中值平分法X0=6541，U0=0.6541X02=42784681，中間位數(shù)中間位數(shù)X1=7846，U2=0.7846若出現(xiàn)奇位數(shù)若出現(xiàn)奇位數(shù)則在平方數(shù)前補(bǔ)齊零則在平方數(shù)前補(bǔ)齊零v三三.加同余法加同余法只需要只需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)的序列個(gè)隨機(jī)數(shù)的序列x1，xn，然后然后隨機(jī)發(fā)生器把序列擴(kuò)充為隨機(jī)發(fā)生器把序列擴(kuò)充為xn+1，

12、xn+2,即可即可公式公式其中其中m為模。為模。mxxxniiimod)(1mxUii/v四四.組合發(fā)生器組合發(fā)生器為了產(chǎn)生具有更長周期和更好統(tǒng)計(jì)性能為了產(chǎn)生具有更長周期和更好統(tǒng)計(jì)性能的隨機(jī)數(shù)，人們研究了采用兩個(gè)或者更多的隨機(jī)數(shù)，人們研究了采用兩個(gè)或者更多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，將它們組合到一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，將它們組合到一起，來生成最后的隨機(jī)數(shù)，而使最后的隨起，來生成最后的隨機(jī)數(shù)，而使最后的隨機(jī)數(shù)的周期長度和性能比其中某個(gè)單獨(dú)的機(jī)數(shù)的周期長度和性能比其中某個(gè)單獨(dú)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都更好。隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都更好。v四四.組合發(fā)生器組合發(fā)生器n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)

13、發(fā)生器組合發(fā)生器組合發(fā)生器3.4 隨機(jī)變量的產(chǎn)生方法隨機(jī)變量的產(chǎn)生方法v隨機(jī)系統(tǒng)中的不確定性事件的相關(guān)變量，如隨機(jī)系統(tǒng)中的不確定性事件的相關(guān)變量，如到達(dá)間隔時(shí)間、服務(wù)時(shí)間等，是用具有某種到達(dá)間隔時(shí)間、服務(wù)時(shí)間等，是用具有某種統(tǒng)計(jì)分布的隨機(jī)變量來進(jìn)行建模的。統(tǒng)計(jì)分布的隨機(jī)變量來進(jìn)行建模的。v計(jì)算機(jī)仿真模型產(chǎn)生隨機(jī)變量的方法計(jì)算機(jī)仿真模型產(chǎn)生隨機(jī)變量的方法一般是一般是首先通過某種算法產(chǎn)生一個(gè)首先通過某種算法產(chǎn)生一個(gè)0,1區(qū)間均勻分布區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，然后采用逆變法或其他方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，然后采用逆變法或其他方法產(chǎn)生服從某分布的隨機(jī)變量。服從某分布的隨機(jī)變量。3.4 隨機(jī)變量的產(chǎn)生方法隨機(jī)變量的

14、產(chǎn)生方法v本節(jié)假定一個(gè)本節(jié)假定一個(gè)已經(jīng)完全確定的分布已經(jīng)完全確定的分布，來尋，來尋找方法生成這個(gè)分布的隨機(jī)數(shù)樣本，以輸找方法生成這個(gè)分布的隨機(jī)數(shù)樣本，以輸入仿真模型使用。入仿真模型使用。v本節(jié)所有方法均本節(jié)所有方法均假設(shè)隨機(jī)數(shù)假設(shè)隨機(jī)數(shù)u1，u2，為均為均勻分布勻分布U(0,1)。v1.逆變換法逆變換法(反函數(shù)法反函數(shù)法)*逆變換法也稱逆變換法也稱反函數(shù)法反函數(shù)法，若，若UU(0,1)，而，而F-1(U) 是分布函數(shù)是分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)，則的反函數(shù)，則X= F-1(U) F(x)。由隨機(jī)數(shù)由隨機(jī)數(shù)U(0,1)可直接生成規(guī)定分布可直接生成規(guī)定分布F(x)的隨機(jī)的隨機(jī)變量變量 xi 。算法步

15、驟：算法步驟：v設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x) ；v在區(qū)間在區(qū)間0,1上取均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量上取均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量u= F(x) ；v由分布函數(shù)的反函數(shù)由分布函數(shù)的反函數(shù)F-1(u) 得到的值即為所需要的隨得到的值即為所需要的隨機(jī)變量機(jī)變量x ；vx= F-1(u) 即為所需要的隨機(jī)變量。即為所需要的隨機(jī)變量。v逆變換法生成指數(shù)分布的隨機(jī)變量逆變換法生成指數(shù)分布的隨機(jī)變量概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)指數(shù)分布隨機(jī)變量生成器指數(shù)分布隨機(jī)變量生成器簡化式簡化式0,00,)(xxexfx1,0( )0,0 xxexF xf(t)dtx 1ln(1)xu 1l

16、niixu v逆變換法生成均勻分布的隨機(jī)變量逆變換法生成均勻分布的隨機(jī)變量概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)累積分布函數(shù)累積分布函數(shù)均勻分布隨機(jī)變量生成器均勻分布隨機(jī)變量生成器其他,0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF,1,0)(uabax)( 2.卷積法卷積法 由兩個(gè)或更多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和形成的概率分布稱為原由兩個(gè)或更多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和形成的概率分布稱為原始變量的卷積分布。卷積法就是通過兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量始變量的卷積分布。卷積法就是通過兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的相加來得到新的具有某種所希望的分布的隨機(jī)變量。假的相加來得到新的具有某種所希望的分布的隨機(jī)變量。假設(shè)具有獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量設(shè)具有

17、獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 , , ，令，令12mYXXX 則則 的分布函數(shù)與的分布函數(shù)與 的分布函數(shù)相同，此時(shí)稱的分布函數(shù)相同，此時(shí)稱 的的 分布為分布為 的的 折卷積。折卷積。為了生成為了生成 ，可先獨(dú)立地，可先獨(dú)立地從相應(yīng)分布函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)變量從相應(yīng)分布函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)變量 , , ，然后，然后利用上式得到利用上式得到 ，這就是卷積法。，這就是卷積法。1X2XmXY1miiXYiXmY1X2XmXY3.合成法合成法若若x的密度函數(shù)可寫成的密度函數(shù)可寫成 且且 。合成法步驟如下：合成法步驟如下：(1) 產(chǎn)生一個(gè)正隨機(jī)變量產(chǎn)生一個(gè)正隨機(jī)變量 ，滿足，滿足 =0,1,2,(2) 根據(jù)根據(jù) 取不同的取不同的

18、 值，產(chǎn)生服從分布函值，產(chǎn)生服從分布函數(shù)數(shù) (與與 相對應(yīng)相對應(yīng))的的 ，然后返回。，然后返回。JjP JjpjJj( )jF x( )jfxX)()(1xfpxfjjj1,01jjjpp例題例題 雙指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為雙指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為 密度分布如圖所示。試生成服從該分布的隨機(jī)變量。密度分布如圖所示。試生成服從該分布的隨機(jī)變量。xexf-5 . 0)(圖圖 雙指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線雙指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線例題例題 解：該分布的概率密度函數(shù)，可以由以下兩個(gè)函數(shù)解：該分布的概率密度函數(shù)，可以由以下兩個(gè)函數(shù)組合起來表示組合起來表示 式中式中 可以看出，函數(shù)可以看出，函數(shù) 是兩個(gè)函數(shù)是兩個(gè)函數(shù) 和和 之和，并且之和，并且 。對于。對于 和和 可以應(yīng)用逆變換法，從而利用合成法生成可以應(yīng)用逆變換法，從而利用合成法生成隨機(jī)變量的過程如下。隨機(jī)變量的過程如下。)(5 . 0)(5 . 0)(), 0(-)0 ,(xIexIexfxxAxAxxIA01)( )f x1(,0)( )e( )xf xIx)()(), 0(-2xIexfx120.5pp1( )f x2( )fx例題例題 (1) 在在 區(qū)間上生成兩個(gè)相互獨(dú)立的均勻區(qū)間上生成兩個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)分布隨機(jī)數(shù) ， 。 (2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則 從從 生成，利用生成，利用逆變換法可以