平面直角坐標系中的距離公式和中點公式

1、平面直角坐標系中的距離公式和中點公式【教學(xué)目標】1. 了解平面直角坐標系中的距離公式和中點公式的推導(dǎo)過程.2. 掌握平面直角坐標系中的距離公式和中點公式，并能熟練應(yīng)用這兩個公式解決有關(guān) 問題.3. 培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索的精神以及合作交流等良好品質(zhì).【教學(xué)重點】平面直角坐標系中的距離公式、中點公式.【教學(xué)難點】距離公式與中點公式的應(yīng)用.【教學(xué)方法】這節(jié)課主要采用問題解決法和分組教學(xué)法.本節(jié)教學(xué)中，將平面(二維)的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為軸(一維)上的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵.先從復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容入手，通過構(gòu)建直角三角形，將兩 點間的距離轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊長，從而利用勾股定理求出兩點間的距離.最后討論了平面直角

2、坐標系中的中點公式. 教學(xué)過程中，通過分組搶答的形式， 充分調(diào)動學(xué)生的積極性.【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖1.一般地，如果A(xi), B(X2),則這兩點的師：上節(jié)我們學(xué)習(xí)了數(shù)提出問距離為軸上兩點的距離公式與中題，激發(fā)學(xué)生引|AB|= |X2- Xi|.點公式.那么在平面直角坐的學(xué)生興趣.引 入2 .一般地，在數(shù)軸上，A(xi), B(X2)的中點坐標系內(nèi)，已知兩點Agy”,標X滿足關(guān)系式B(X2, y2)，如何求這兩點的X1 + X2距離？如何計算這兩點的X= 2 .對稱中心的坐標？1.距離公式教師提出探究問題，學(xué)探究一生根據(jù)已有的知識探究問將探究如圖，設(shè) A(X1, y”，B

3、(X2, y2).題的解：問題細化為5y |(1)以上四個垂足的個小問題，層B坐標分別是多少？層遞進，降低(2) |AC|與 A1B1I關(guān)系了問題的難/ 如何？如何求 A1B1I?度，從而有利AC(3) |BC|等于多少？于學(xué)生解答.I A2嚴(4 )在直角三角形新A1OB1xABC中，如何求|AB|？為了學(xué)課過A, B分別向x軸、y軸作垂線 AA1, AA?(5)你能表示出|AB|生便于理解，和BB1, BB2，垂足分別為 A1, A2, B1, B2，其中嗎？課件中將過直線BB1和AA2相交于點C.教師在學(xué)生探究的基A, B兩點向x兩點的距離公式礎(chǔ)上，投影距離公式，并讓軸和y軸做垂|AB|

4、 = Q (X2 - X1)2 + (y2 - y1)2.學(xué)生記憶.線的過程，分解為分別向X探究二軸做垂線和求兩點之間的距離的計算步驟：師：你能說出求平面上向y軸做垂線S1給兩點的坐標賦值兩點間距離的步驟嗎？兩步.xi = ?,yi = ?,X2=?,y2=?S2計算兩個坐標的差，并賦值給另外兩個教師引導(dǎo)學(xué)生探究依變量，即據(jù)公式求兩點距離的步驟.在探究dx= X2-Xi, dy= y2-yi；過程中，進一J*2步深化對公S3 計算 d = dx+ dy ;式的理解與S4給出兩點的距離d.掌握.例 1 已知 A(2, - 4), B(-2, 3)，求 |AB|.通過例解因為 Xi= 2, X2=

5、 2, yi=- 4, y2= 3,教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合求題的解答，使所以平面上兩點間的距離的步學(xué)生明確求dX= X2 Xi=- 2 2 = - 4,驟解答.兩點間距離dy= y2 yi= 3 ( 4) = 7.的步驟.因此|AB|=P dX+ d：=寸(-4)2+ 72= 65 .檢驗學(xué)練習(xí)一學(xué)生練習(xí)，教師巡視指生對公式掌求兩點之間的距離：導(dǎo).握情況.(i) A(6, 2), B(-2, 5)；新(2) C(2, - 4), D(7, 2).課教師提出要探究的問將問題2.中點公式題，學(xué)生解答以下問題：細化為4問，探究三(I)你能說出垂足Ai,降低難度，學(xué)如圖所示，若已知 A(Xi, yi), B

6、(x2, 丫2),那A2, Bi , B；, Mi , M；的坐生容易在解么怎么求它們的對稱中心的坐標？標嗎？答過程中得y |(2)點M是AB中點到公式.嗎？ Mi是Ai , Bi的中點B27B嗎？它們的坐標有怎樣的M27M關(guān)系？A /(3) M；是 A；, B；的中i點嗎？它們的坐標有怎樣Ai0 MiBiX的關(guān)系？(4)你能寫出點M的設(shè)M(x, y)是A, B的對稱中心，即線段 AB坐標嗎？的中點.過A, B, M分別向x軸，y軸作垂線，AAi, AA；, BBi, BB2, MMi, MM 2,垂足分別是Ai , A2, Bi,B2, Mi, M2.在平面直角坐標系內(nèi)，兩點A(xi, yi

7、), B(x2,y2)的中點M(x, y)的坐標滿足X1+X2yi+y2教師投影結(jié)論，學(xué)生理 解掌握.X-2? , y 2 .例2 求證：任意一點 P(x, y)與點P*(- x,師：例2中，點F與F '將問題y)關(guān)于坐標原點成中心對稱.的對稱中心是F與P'的中點化歸為求點F證明設(shè)P與F 的對稱中心為(xo, yo),則嗎？坐標怎么求？是多與F*的中點x+( x)少？坐標.X0-20 ,y +( y)教師強調(diào)本例題的結(jié)yo20.論.所以坐標原點為 P與P的對稱中心.練習(xí)二學(xué)生搶答，教師點評.檢驗對求下列各點關(guān)于坐標原點的對稱點：例2所得結(jié)論A(2, 3)B( 3, 5), C(

8、 2, 4), D(3,的掌握.5).師：(1)如果點F與P關(guān)于x軸對稱，PP與x軸例3已知坐標平面內(nèi)的任意一點P(a, b),垂直嗎？ P的橫坐標是多分別求它關(guān)于x軸的對稱點P',關(guān)于y軸的對稱少？點P '的坐標.(2) PP與x軸的交點y i1M是線段PP的中點嗎？ M P(a, b)點的縱坐標是多少？p屮(3)你能求出 P'的縱坐標嗎？怎么求的？新O<M»kx(4)由以上分析，點F '課的坐標是多少？F(5)你能求出F '的坐標嗎？教師在學(xué)生探究的基練習(xí)三礎(chǔ)上進行總結(jié).求下列點關(guān)于x軸和y軸的對稱點坐標：A(2, 3)B( 3, 5

9、), C( 2, 4), D(3,學(xué)生搶答，教師點評.檢驗例35).的掌握情況.例4 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A( 3, 0), B(2,-2) , C(5 , 2),求頂點D的坐教師引導(dǎo)學(xué)生解答，強標.調(diào)AC的中點與BD的中點利用中解 因為平行四邊形的兩條對角線的中點相相同.點公式解決同，所以它們的坐標也相同.設(shè)點D的坐標為(x,實際問題，進y)，則教師規(guī)范解題步驟.一步強化對公式的理解和掌握.新 課fX+2 3+52 - 2 - 1y 20 + 21 2 - 2 -1解得嚴0y= 4所以頂點D的坐標為（0, 4）.練習(xí)四已知平行四邊形 ABCD的三個頂點 A（0，0）,B（2， 4），C（6，2），求頂點D的坐標.學(xué)生練習(xí)，教師巡視.強化訓(xùn)練.小結(jié)1 .直角坐標系中兩點間的