杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析2006--2020年考研真題匯編

1、杭州師范學(xué)院2006年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試題學(xué)科專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方向：考試科目：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：1、命題時(shí)請(qǐng)按有關(guān)說(shuō)明填寫(xiě)清楚、完整；2、命題時(shí)試題不得超過(guò)周圍邊框；3、考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)；4、5、計(jì)算下列各題：(每小題10分，共40分)1設(shè)函數(shù)f(x)在a可導(dǎo)，求下面的極限:1 lim n n2.lim0f(a 2t) f (a t)2t3.x2 .tan ,1 x dx1 x24.|x y |dxdy ,其中 D (x, y) |D1 x 1, 1 y 1解答下列各題:(每小題8分，共32分)1.一. ， 2求曲線積分l (xy2 z2)ds的值，

2、其中曲線l是圓螺旋線：x a cost , y asint,z bt (0 t 22.利用Gauss公式計(jì)算曲面積分:：二 x2 dydzSy2dzdx z2dxdy ,其中S是立方體:22uy ,求ix0 x, y, z a的外表面.123.設(shè)u -ln x24.計(jì)算無(wú)窮積分dxx2 x 2三、(10分)證明函數(shù)2xy.，、2f(x, y)xy022 ,x0分別對(duì)每一個(gè)變量 x和y是連續(xù)的,0但非關(guān)于二個(gè)變?cè)?x, y)的連續(xù)函數(shù).四、(12分)證明：如果級(jí)數(shù)息收斂, n 1 n則當(dāng)X0時(shí)，級(jí)數(shù)丸也收斂.xn 1 n五、(12分)設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，則f(x)在I上一致連續(xù)的充分必要

3、條件是：對(duì)區(qū)間I上任意兩個(gè)數(shù)列xn與yn,當(dāng)lim xn Vn。時(shí)，有 g f (% ) f (Yn)。.nn六、(12分)設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且xa, b,有 f (x) a,b.試證存在 x0 a,b,使得 f ( % )x0 .七、(12分)求函數(shù)f(x)n 1n 1 3nx2n的導(dǎo)數(shù)fx(x)與定積分° f(t)dt ,并給出收斂區(qū)間.八、(10分)個(gè)常數(shù),an0且級(jí)數(shù)an收斂.證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nan sin nx)上一致收斂.九、(10分)證明：若函數(shù) f1(x)f(x) T 二 , 1 x2n N ,定義 fn 1(x)f fn(x),則函數(shù)列fn(x)在)上一致

4、收斂于0.杭州師范學(xué)院2007年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼:714考試科目名稱:數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：1、命題時(shí)請(qǐng)按有關(guān)說(shuō)明填寫(xiě)清楚、完整；2、命題時(shí)試題不得超過(guò)周圍邊框；3、考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù);4、5、計(jì)算下列各題：（每小題8分，共40分）x bx a(x a) (x b)2x a b(x a b)f （x）在X 12的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且網(wǎng)2 f (X)limx 12f (x) 1004.試求極限:Xim12x 1212 tt f (u)dU 出(12 x)33.求不定積分1 cosx , 2-dx1 sin x4.設(shè)區(qū)域D = ( x, y) | a x b,

5、c y d,求二重積分2 X xye2y dxdy ds ,其中l(wèi)是螺線l : xyacost ,y asint , z at (0 t 2 )解答下列各題:（每小題8分，共40分）1.試證明:( |xy| | xy |)dxdy 3|x| |y| 12四、五、x2.設(shè)z f(u),而u (u) P(t)dt確定u是x,y的隱函數(shù).其中y(u) 1.試求 P(y)-z P(x) 3.討論廣義積分4.證明積分5.設(shè) f(x)(12 分)存在c(12 分)七、f(u),(u)可微，P(t)連續(xù)且dx0 h(p q 0)的斂散性.cos xy ,斗十-2- dx關(guān)于x xa(1 cos x)2x0x

6、 tbsin x e dt0xy 在a,)(a 0)內(nèi)一致收斂.0是連續(xù)函數(shù)，試確定常a與b的值.f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1),使得 f (c)設(shè)級(jí)數(shù) an收斂,n 1n(an an 1)= an.n 1n 1(12分)設(shè)1口Ly3dx(1) R為何值時(shí)I 0?cf (c) 0.(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0) 1, flim nan 0 ,證明級(jí)數(shù)n(3x x3) dy ,(2) R為何值時(shí)I(12分)設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)中具有有界導(dǎo)數(shù),數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一致連續(xù).0 .證明:n(an an 1)也收斂，并且有 n 1其中L為曲線x22_2_y R (R 0),方向

7、取L的正向.求:的值最大，最大值即存在常數(shù)M(12分)證明 ne nx在區(qū)間(0,)內(nèi)連續(xù). n 1(10 分)設(shè) Ui(x)在a,b上可積，un 1 ( x )xu n ( t ) dt aI max是多少?0使得 | f (x)| Mx (a,b).試證明函a,b.證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)Un(x)在a,b上一致收斂.杭州師范大學(xué)2008年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼:714考試科目名稱:數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：1、命題時(shí)請(qǐng)按有關(guān)說(shuō)明填寫(xiě)清楚、完整；2、命題時(shí)試題不得超過(guò)周圍邊框；3、考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù);4、5、計(jì)算下列各題：（每小題8分,40分)1tan x xy2 4

8、 2lim 一x 0 x2.ln( x 1 x2)1 X2dx3.limn1p 2pnp14.(x2 y2)e dxdy5.e a|*dx(a 0)四、解答下列各題：（每小題40分)x0設(shè) Xo1,Xi 1 -01 Xo,xn 11Xn,證明數(shù)列Xn的極限存在，并求xnlim xn的值.n杭州師范大學(xué)2009年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼：714考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：1、命題時(shí)請(qǐng)按有關(guān)說(shuō)明填寫(xiě)清楚、完整；2、命題時(shí)試題不得超過(guò)周圍邊框；3、考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)；4、5、選擇題：(每小題6分，共30分)1、lim(1 x)sin，Sn2)( x 1x 1

9、1 xA、0 ; B、1 ;C、1 ;D、2 ;E、22、已知 f (x) 1, f (0) 0,則f (x)dxA、2B、二 C; C、x2;2D、 x2 C3、函數(shù)z f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)fx及fy在點(diǎn)(x, y)存在且連續(xù)是f (x, y)在該點(diǎn)可微的( )A、充分非必要條件；B、必要非充分條件； C、充分必要條件；D、無(wú)關(guān)條件4、曲面zarctany在點(diǎn)1,1, 一 處的切平面方程為(x4A、2x y z ； B、x y 2z ；5、下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是(),八 n 1 1sin nxA、( 1) 一； B、； C、n 1nn 1 n!nC x y 2z ；D> x y 2

10、z n 1 nJ" TV" n1(1)二、計(jì)算下列各題：（每小題6分,共30分）1、2lim x x ln 1x2、C(1 sin y)dxCxcos ydy ,其中C為曲線t t2'0t 1 從(0,0)到(1,1)3、1一2 arcsin x ,2 3 2dx0 (1 x2)4、x2ds ,其中L為圓周L5、arcsin . xdx三、（10分）設(shè)f（x）在a,b連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，且f(a)f（b） 0,證明：對(duì)任意R ,存在 (a,b),使得 f ( ) f ( ) 0.四、(10 分)已知 lim f (x) Ax Xolim g(x) Bx Xo且存

11、在 0當(dāng) 0 |x xo | 時(shí)，有 f(x) g(x),證明 A B.五、（10分）證明函數(shù)f （x）sin nx一3-在(n 1 n）上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).六、（10分） h 1 22求由錐面 z -qx y ,平面zR.20及圓枉面x2 R所圍成的立體體積.七、（12分）討論廣義積分arctanxdx的斂散性.八、（12分）求和函數(shù)S(x) 12x2 3x2n(n1)xn九、（12分）0,十、（14分）設(shè)函數(shù)列fn(x)xne1 n x(n（1）證明函數(shù)列anann 1,2,3,.證明：數(shù)列an收斂，且其1,2,3, fn（x）在0,1上一致收斂;1(2)求 lim fn(x)dx 的值.n

12、0杭州師范大學(xué)2009年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題（參考答案）考試科目代碼:714考試科目名稱:數(shù)學(xué)分析、選擇題：（每小題6分，共30分）1、 （ C ）; 2、（B )； 3、( A ); 4、( D );5、二、計(jì)算下列各題:（每小題6分，共30分)1、lim xxln解：因?yàn)閘n(3分)所以limx2 .x lnln 1limx2、(1 sin y)dxCxcosydy ,其中3、limxC為曲線解：設(shè) P(x, y) 1 sin y , Q(x, y)所以此積分與路徑無(wú)關(guān)，從而有(1 sin y)dx xcos ydyC、10(11一2xtt21/八、一（6 分） 21 從（0,0）

13、到（1,1）Q xcosy,貝U x(3分)1sin 0)dx q1 cos ydy 1sin1(6分)1一2 arcsin x , 2132 dx0 (1 x2)32解：令 t arcsin x ,sint ,dxcostdt ,于是我們有(2分)1.2 arcsin x ,0 2、3 2dx0 (1 x )3 .cos tcostdt04 tsec2 tdt04 td (tan t)4、5、ttantLx2ds ,其中解：由對(duì)稱性,解:04tantdtL為圓周arcsin x dx、xarcsin xdx三、(102 .x dsL_4 d(cost)40 costIn costln西(6分

14、)2z2 dsLds(6分)2 arcsin. xd x2 xarcsin. x2 Jxdarcsin，x(3 分)2人arcsin a 2 ,dx2Jx arcsin dx1 x2 .x arcsin . x 2.1 x Cd(1 x)(6分)分)設(shè)f(x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且f(a) f(b) 0,證明：對(duì)任意 R,存在 (a,b),使得f ( ) f()0.證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x) f(x)ex,則由f(x)所滿足的已知條件意知，有 F(x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且 F(a) F(b)0 ,于是F(x)在a,b上滿足Rolle定理的條件，故存在(a,b)，使得

15、F ( ) 0,f( )0.(10 分)四、(10分)已知limx x0f(x)A,lim g(x) B , x x0且存在0,當(dāng) 0 |x x0|時(shí)，有 f(x) g(x),證明 A B.證明：假設(shè)相反,B.由于網(wǎng)f(x)A ， limx壬g(x) B ,所以對(duì)于0,當(dāng)|x x0 |時(shí)，有|f(x)A|g(x)B|(6分)3A B2f(x)A BF g(x)3B A,從而f (x) g(x).此與已知矛盾2故必有B.(10 分)五、(10分)證明函數(shù)f (x)sin nx一3-在(n 1 n)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).解:cosnx一 1 ，一）,而 一2收斂,n 1 n所以由M -判別法知級(jí)數(shù)cos

16、nx / /在(n）上一致收斂.(6分) cosnx /又 一2(n 1,2,3,n）上連續(xù)，所以f（x）在（）上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).(10 分)六、（10分）求由錐面zh -22 y-vx y ,平面z R_ 一 .220及圓柱面x y_2 , _R2所圍成的立體體積.解：由對(duì)稱性有 Vhq'x2 y2 dxdyhR2（10分）七、（12分）討論廣義積分arctanx .鉆八.丑沖dx的斂散性.0 x arctanx, 解： dx0 x1 arctanx , dxarctanx , dxxI1對(duì)于Ii ,由于lim x x 01 arctanxarctanx /lim 1所以當(dāng)，即 2時(shí)I

17、i收斂，而當(dāng) 1 1,即 2時(shí)Ii發(fā)散.(6分)對(duì)于I2,因?yàn)閘imxarctanx所以當(dāng)I2收斂，而當(dāng)1時(shí)I2發(fā)散.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)12時(shí)廣義積分arctanx , dx收斂.x(12 分)八、（12分）求和函數(shù)S（x）2x 2 3x2n(n 1)xnn(nn 11）xn的收斂半徑R 1收斂區(qū)間是（1,1），當(dāng)|x|1時(shí),x0 S(t)dtx0 n(nn 1nn 11)t dt nxn 1nxn 1 ,令 g(x)1n 1nx1.(4分)x0 g(t)dtntn 1 dt1xn 1n 1n t dt nt0n 1n 111 1(|x| 1)(8分)xS(x) 0 S(t)dt(12 分)九、（

18、12分）設(shè)a 0 ,0 ， a1an 1ann1,2,3,證明：數(shù)列an收斂,且其極限為 b證明： n ,有 an 11 an2ananx1x2所以g(x) 0g出0sdt xg(x)2x3 (|x| 1).(1 x)3e dx ee 1.(14分)1a12a(4分)所以數(shù)列an有下界.可得an2 anan2an(8分)即數(shù)列an單調(diào)下降.由單調(diào)有界原理知,lim an 存在，設(shè) lim anan一兩端令nan得,為 an 0），故 得(12 分)十、（14分）設(shè)函數(shù)列fn(x)xne ,:(n1 n x1,2,3,)limn（1）證明函數(shù)列fn（x）在0,1上一致收斂;1(2)求 Jm &#

19、176; fn(x)dx 的值.(3分)解：(1) f(x) lim fn(x) e 0,1,有nxI ne xfn(x) f (x)| e1 n x(1x)ex1 n x(1 x)exn2e n0(n所以 lim sup fn(x)f (x)n x 0,10,所以函數(shù)列fn（x）在0,1上一致收斂.一（8分）11(2) limfn(x)dxlim fn(x)dxn 00n 01xx0杭州師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試命題紙杭州師范大學(xué)2011年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼：725考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：1、命題時(shí)請(qǐng)按有關(guān)說(shuō)明填寫(xiě)清楚、完整；2、命題時(shí)試題不得超過(guò)周圍邊框；3、考生

20、答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)；4、2011 年 考試科目代碼 725 考試科目名稱數(shù)學(xué)分析（本考試科目共 N 頁(yè) 本頁(yè)第。頁(yè)）杭州師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試命題紙四（滿分15分）設(shè)u（x,y）x ayx ay（t）dt ,其中（t）是一階可導(dǎo)的函數(shù)，a是常數(shù)。2011年 考試科目代碼 725 考試科目名稱數(shù)學(xué)分析（本考試科目共 _5_頁(yè) 本頁(yè)第 頁(yè)）杭州師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試命題紙22求 u(x, y)1u(x, y)4222xa y五（滿分15分）設(shè)0 xi x2,證明也x 求 lim (1 jx1 Jx)"x x一 23 求 lim x一x 0 x4求1(x y)

21、ds其中l(wèi)是以O(shè)(0,0), A(1,0), B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形。5 求 口 y x2 dxdy 其中 D(x, y)|0 x 1,0 y 14o. 1 八x sin x 0二(滿分 15 分)設(shè) f(x) xsinx,x 0,求 f (0)0,x 0, 皿 (1)n * 1 2 1 j三(滿分15分)求級(jí)數(shù)1的和n 1 n 2也x x2xi六（滿分10分）證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)x2e nx在0,一致收斂。n 1七 （滿分10分）設(shè)函數(shù)f（x）在a,b上連續(xù)，若對(duì)任意的,a,b有f（x）dx 0。證明 f （x） 0, x a,b八（滿分10分）證明函數(shù)f（x） x2在R, R上一致連續(xù)，在

22、， 上不一致連續(xù)。杭州師范大學(xué)2011年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題（參考答案）考試科目代碼:725考試科目名稱:數(shù)學(xué)分析一計(jì)算題（每小題12分，共2ln（1 x） x 一1 求 lim2-x 0 x sinx60分)解：網(wǎng)x lim x 02ln(1 x) x 52x sinx23x x 3、 o(x )233x(6分)(6分)(12 分)(12 分)2 求 lim (1 x解：lim (1 xxln(1 x 1 x)lim e xlim e x( x 1 x) x1e2一 23 求 lim x解：設(shè)存在n.一2N使彳導(dǎo)n 一 x(n 1), (6分)從而一 n注意到1（X解:i（x=i2n

23、n 1x2x0時(shí)有n2 nn,由夾逼準(zhǔn)則知道原極限為（10 分）2。（12 分）y)ds其中l(wèi)是以O(shè)(0,0), A(1,0), B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形。y）ds OA（X y）ds最（x y）dsBO （x y）ds（6分）1xdx010 ydy（12 分）dxdy 其中D（x, y） 0 x1,0 y 1解：令D1（x, y） 0 x1,021,y xD2（x,y）021,0 y 1,y xx2dxdyD12x dxdyD2（x2y）dxdy（4分）1dx0dyx21 x2dx x200y dy（8分）4151130110（12 分）2011 年 考試科目代碼725 考試科目名稱 數(shù)學(xué)

24、分析(本考試科目共 5 頁(yè) 本頁(yè)第 2 頁(yè))杭州師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試命題紙解:所以（滿分15分）設(shè)f（x）f (0)0時(shí),f (0)（滿分解：當(dāng)從而f(x) f(0)f (x)lim fx 015分)1時(shí),1)ln(1x)在上式中令(1)n14_x sin0,x1,x 0 x0求 f (0)x3 . 14x sin 一x(x) f (0)4- J x sin-x x1 cos一x1 一得到2ln32四（滿分15分）2u(x, y)dx設(shè) u(x, y)解：u x(xay)314x sin - limx21x cos-x(1)n1n1 , 的和2n2u(x, y)(xx ayayay),1

25、)nxndx1)n(t)dt ,其中a (x ay)（t）是一階可導(dǎo)的函數(shù),a (x ay)2u(x, y)2x2u(x, y)2y(x ay)2a (x ay)(xay)(x ay)杭州師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試命題紙（5分）（10 分）（15 分）（5分）（10 分）（15 分）a是常數(shù)。（5分）（10 分）2011年 考試科目代碼 725考試科目名稱數(shù)學(xué)分析（本考試科目共_5_頁(yè)本頁(yè)第3 頁(yè)）2u(x,y)=0(15 分)五（滿分15分）設(shè)0XiX2,證明tanx2x2tanx1X1證明：設(shè) f(x) tanx,xx由于f (x)2,一xsec tan xx sin xcosx22x c

26、os x(8分)tan x所以f (x)在(0,x）單調(diào)遞增。因此當(dāng)xx2，時(shí)得到tan x2x2tan x1(15 分)六（滿分10分）證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)x2e nx在0,n 1致收斂。證明：令f （x）nx,x 0由于f (x) xenx(2、.2 一- 2nx）在（0,一）為正，在（一,2處達(dá)到最大值,nf(2) nn422 e n）為負(fù)，所以函數(shù)2 nxf (x) x e , x 0(6分)這樣2 nxx e422 e ,x nnx 在 0,(0，）,而級(jí)數(shù)致收斂。2收斂，由威爾斯特拉斯判別法知道級(jí)(10 分)2011年 考試科目代碼 725 考試科目名稱數(shù)學(xué)分析（本考試科目共_5_頁(yè) 本

27、頁(yè)第二頁(yè)）杭州師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試命題紙七(滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，若對(duì)任意的,a,b有f(x)dx 0。證明 f (x) 0, x a,b0,不妨設(shè)f(x0) 0證明：反證法，若f(x)不恒為零，則存在x0 a,b使得f(x0)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a,b上連續(xù),所以 lim f (x)f(x0)X x(4分),x0) a,b時(shí),b)(10 分)上不一致連續(xù)。由函數(shù)極限的性質(zhì)知道，存在 0使得x (x0.1 .f(x)f(x0) 02若 x a 或 x0 b,上面(x0,x0)變?yōu)?a,x0)或(*0x01而積分 f(x)dxf (x0)20x02這與已知矛盾。八(滿分1

28、0分)證明函數(shù)f (x) x2在R, R上一致連續(xù)，在證明：(1)證明函數(shù)f(x) x2在R,R上一致連續(xù)。對(duì)任意白0,取，任取x1, x2 R, R,有2Rx12 x2| |x1 x21kl x2| 2Rx1 x2|根據(jù)一致連續(xù)的定義，函數(shù)f(x) x2在R,R上一致連續(xù)。(5分)(2)證明函數(shù)f(x) x2在，上不一致連續(xù)。設(shè)xn；n 1, yn n注意到 ,yn| Jn 1 Vn0,(n)而 |f(%) f(yn)| (n 1) n 1一，41一_-I因此，右 一，對(duì)任意的 0,總有xn, yn滿足xn yn2但是 If%) f(yn)| 1 12所以函數(shù)f(x) x2在，上不一致連續(xù)。

29、(10分)杭州師范大學(xué)2012年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼：718考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：1、命題時(shí)請(qǐng)按有關(guān)說(shuō)明填寫(xiě)清楚、完整;2、命題時(shí)試題不得超過(guò)周圍邊框；0）上任意一點(diǎn)的切平面與三坐標(biāo)面圍成的四面體體積為常n 1,2,“| ,證明Jm un存在并求之。（15分）3、考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)；七 設(shè)函數(shù)f(x)在R上定義，在x 0處連續(xù)，并且滿足x R, f (x) f(2x)。證明函數(shù) f(x)為常數(shù)。(15分)杭州師范大學(xué)2013年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼：721考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自

30、負(fù)。一、計(jì)算題（每題10分，共60分）xe 1 xxsin x2.求 limx 03.計(jì)算sin , x22 ,y dxdy.22,2x y 44 .求I l x yds,這里l為以O(shè) 0,0, A 1,0, B 0,1為頂點(diǎn)的三角形。5 .求 Vx ln2 xdx.6 .已知z yf x2 y2 , , f為任意可微分函數(shù)，求y2 xy-z.x y二 證明：若數(shù)列an滿足：a1 0,an組1,n 2,則a”有極限，并求4之。（15分）三設(shè)f x |x 1|3 2, x ,，試求f' x和f'' x ,又問(wèn)f''' 1是否存在？ （15分）四 證

31、明函數(shù)f x叫x在，內(nèi)連續(xù)，并有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。（12分）n 1 n五 證明不等式：47 xp 1 xp 1,這里p 1為取定正常數(shù)。（12分）2 p 1六設(shè)函數(shù)f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在 a,b使得七求級(jí)數(shù)n 1八討論積分32fb fa b3 a3 f .（12 分）n 11 n_x的收斂域與和函數(shù)。（12分）n n 1ln1 xdx的收斂性。（12分） x杭州師范大學(xué)2014年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼:720考試科目名稱:數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。計(jì)算題（每題均為10分，共80分）1求極限limnnxxn 1 en2求極限nima 0,b

32、0,c 0求不定積分x具有二階導(dǎo)數(shù),求復(fù)合函數(shù)的二階微分d y。sin x cosx 2dx1 arcsin .、x x求定積分0x 1 x11 x2dy e dx計(jì)算積分0 y y計(jì)算曲面積分z ds,其中S是球面x求為何值時(shí),、n 1 xn1 nx 一收斂。證明題（每題10分，共70分）9證明：函數(shù)tanx在 2, 2上不一致連續(xù)。x 一10證明：無(wú)界且非無(wú)窮大量的數(shù)列n必存在收列子列。11設(shè)函數(shù)f（x）在0,上可導(dǎo)，且f x單調(diào)上升，又ff x00,證明：函數(shù) x 在0,上單調(diào)上升。12設(shè)函數(shù)f (x)在0,2上導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，且 f2f x sin nxdx0x 0,求證：對(duì)任意自然數(shù)f

33、0nWnx13證明：函數(shù)f x d ne在0,上連續(xù)。 n 1 n n r x yf x, y , n 1 六 x y a, a 0,x 0, y 0 及14求函數(shù)2在條件下的極值，并證n nnx y x y明：不等式22, x 0,y 0,n 1f x115設(shè)函數(shù)f(x)在x 0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且一°,證明：級(jí)數(shù)n 1f7收斂。杭州師范大學(xué)2015年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼： 720考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。、求極限（每題15分,共30分）1 lim nann .na2n ak其中ai0,i 1,2,|,k2

34、 limX 0sin t ln3 11x 4!x二、設(shè)3xcos16，求 f n 2（15 分）二、設(shè)0,n為何值時(shí)，xn與3x-4sinx+sinxcosx是同階無(wú)窮小量。（15 分）四、比較,和的大小。（15 分）五、求哥級(jí)數(shù)（15 分）六、求橢球面x2 3222y 4z1到平面x y z J7 0的最短距離。（15 分）計(jì)算積分zdxdydzV其中積分區(qū)域V是由球面x24與拋物面（15 分）所圍的立體。八、已知數(shù)列nan收斂，級(jí)數(shù)n an an 1收斂，求證級(jí)數(shù)n 2an收斂。（15 分）九、已知函數(shù)f x在區(qū)間0,2上二次連續(xù)可微，且 f 10證明：2f x dx01-M ,其中 M

35、max f3x 0,2（15 分）杭州師范大學(xué)2016年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼：726考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。、計(jì)算題（每題15分，共5題，共75分）n1 .求極限 lim n 1 xexnn2.求極限x1x ex x2 11 13 .求積分 1 e xdx1 x11 e y24 .求積分 dy e dx0 y x5 .計(jì)算積分ex2 y2dxdy ,其中D x, y卜x2 y2 2D解答題（共1題，共20分）6.求哥級(jí)數(shù)1 n11 2 hixn的收斂域。1 nx exdx 0求證：f x在a, b三證明題（共3題，共55分）

36、 b7. （15分）設(shè)f x在a,b上連續(xù)，且 f x dx a內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。n 1 sin x8. （20分）設(shè)andx, n為自然數(shù)，求證:n x（1）OJ anl(2) lim an 0 n9. (20 分)設(shè) ano4tannxdx,、1，(1) 求 一 an an 2的值n 1 n(2) 試證對(duì)任意0,級(jí)數(shù) 包收斂。n 1 n杭州師范大學(xué)2017年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼： 725考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。、計(jì)算題（每題15分，共75分）1.求極限n .nim:/p2.求極限limn(n 1)p (n 2)p(n n

37、)p3.4.cos( xy) dxdy5.0求極限lim 一 x 0s/nt dtcosx 1二、證明題（每題15分，共75分）二in6.設(shè)annsndx, n 1,2,3,討論級(jí)數(shù)0 1 xan的斂散性。n 17.設(shè) f(x)滿足：f (x2) f(x)對(duì) x (）成立，且f（x）在x 0和x 1處連紋，證明f（x）在（）上恒為常數(shù)。8.證明：lim f（x） A的充要條件是 x對(duì)任何趨于 的數(shù)列4,都有dx-22T3x a )lim f (xn) A。nMR3，R9 .設(shè)£他)在R,R上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且f(0) 0,證明： f(x)dx R ' '其中 M m

38、ax f "(x)。x R,R '10 .設(shè) f(x)在0,2上二階可導(dǎo)且 f"(x) 0,且 |f(x)| 1, f(0)f(2) 0證明：曲線C : y f (x) , x 0, 2的長(zhǎng)度不超過(guò)4。杭州師范大學(xué)，018 年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼： 725考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。、計(jì)算題(每題15分，共75分)1、2、y x3 cosx ,求 y(50)。3、設(shè)x 0，則n為何值時(shí),xn2 x0 tsintdt是同階無(wú)窮小量。4、求級(jí)數(shù) (2n 1)x2n的和n 0 n!5、計(jì)算x2 y2 z2

39、4R2的內(nèi)部被x2 y2 2Rx所劃出的部分的體積。、證明題(每題15分，共75分)6、設(shè) f (x) 0, x a,b , i 1,2,|,n,證明:n1nf- f(xi)onni 17、若 f (x)在0,1上連續(xù)，證明：0xf(sinx)dx2 o f (sin x)dx。8、證明：若f(x)在0,2 a上連續(xù),且f (0) f (2a)則方程 f (x) f (x a)在0, a內(nèi)至少有一個(gè)根。9、證明：空間中一點(diǎn)（a,b,c）到平面Ax By Cz D 0的最短距離是| Aa Bb Cc D |A B2 C2 n 1, 10、證明數(shù)列1 -有極限。n杭州師范大學(xué)2019年招收攻讀碩士研究生考試題考試科目代碼：722考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析說(shuō)明：考生答題時(shí)一律寫(xiě)在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。每題15分，共150分1、求極限lim n1 n2ntan。n2、在曲面x