一階常微分方程初等解法畢業(yè)論文

1、 . . . 目錄摘 要.1關(guān)鍵詞.1Abstract.1Keywords.10 前言.11預(yù)備知識(shí).11. 1變量分離方程.21. 2恰當(dāng)微分方程.21. 3積分因子.22 基本方法.22. 1一般變量分離.32. 2齊次微分方程.32. 2 .1齊次微分方程類型一.32. 2. 2齊次微分方程類型二.42. 3常數(shù)變易法.52.3.1常數(shù)變易法一.52.3.2常數(shù)變易法二.62.4積分因子求解法.72.5恰當(dāng)微分方程求解法.83基本方法的應(yīng)用.83. 1一般變量分離方程應(yīng)用.83.1.1應(yīng)用舉例.93.1.2應(yīng)用舉例.93. 2齊次微分方程應(yīng)用.103.2.1類型一應(yīng)用舉例.103.2.2

2、類型一應(yīng)用舉例113.2.3類型二應(yīng)用舉例113.2.4類型二應(yīng)用舉例.123.3常數(shù)變易法應(yīng)用133.3.1常數(shù)變易法應(yīng)用舉例.133.3.2伯努利微分方程應(yīng)用舉例.143. 4利用積分因子求解.14 3. 5利用恰當(dāng)微分方程求解.15參考文獻(xiàn).16一階常微分方程初等解法摘 要: 本文對(duì)一階微分方程的初等解法進(jìn)行歸納與總結(jié),同時(shí)簡(jiǎn)要分析了變量分離,積分因子,恰當(dāng)微分方程等各類初等解法.并且結(jié)合例題演示了如何把常微分方程的求解問題化為積分問題,進(jìn)行求解.關(guān)鍵詞: 一階常微分方程;變量分離;恰當(dāng)微分方程;積分因子The Fundamental methods of the first-order

3、 ordinary differential equation Abstract:Inthis thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysisthe various types of fundamentalmethods such as the separation of variables, integrating factor and the exact differential equa

4、tion.Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems ofintegration.Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor0 前言常微分方程在微積分概念出現(xiàn)后即已出現(xiàn),對(duì)常微分方

5、程的研究也可分為幾個(gè)階段.發(fā)展初期是對(duì)具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解,屬于“求通解”時(shí)代.萊布尼茨曾專門研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題,而歐拉則試圖用積分因子處理.但是求解熱潮最終被維爾證明里卡蒂方程不存在一般初等解而中斷.加上柯西初值問題的提出,常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向“求定解”時(shí)代.在20世紀(jì)六七十年代以后,常微分方程由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展迎來了新的時(shí)期,從求“求所有解”轉(zhuǎn)入“求特殊解”時(shí)代,發(fā)現(xiàn)了具有新性質(zhì)的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇異吸引子與孤立子等.常微分方程的研究還與其他學(xué)科或領(lǐng)域的結(jié)合而出現(xiàn)各種新的分支,如控制論、種群分析、種群生態(tài)學(xué)、分支理

6、論、泛函微分方程、脈沖微分方程等.總之,常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一支,是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的基礎(chǔ)學(xué)科,其自身也在不斷發(fā)展中,學(xué)好常微分方程基本理論和實(shí)際應(yīng)用均非常重要.因此本文對(duì)一階常微分方程的初等解法進(jìn)行了簡(jiǎn)要的分析,同時(shí)結(jié)合例題,展示了初等解法在解題過程中的應(yīng)用.1預(yù)備知識(shí)1. 1 變量分離方程形如,()的方程,稱為變量分離方程,分別是,的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡(jiǎn)單的一階函數(shù).如果,我們可將()改寫成,這樣變量就分離開來了.兩邊積分,得到,為任意常數(shù).由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式就是常微分方程()的解. 1.2 恰當(dāng)微分方程將方程,寫成微分的形式,得到,或把,平等看待,寫成下面具有對(duì)稱形式的一

7、階微分方程, 如果方程的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,即,則稱方程就是恰當(dāng)微分方程.1.3 積分因子如果存在連續(xù)可微函數(shù),使得為一恰當(dāng)微分方程,即存在函數(shù),使,則稱為方程的積分因子.2基本方法2.1一般變量分離,的方程,稱為變量分離方程,分別是,的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡(jiǎn)單的一階函數(shù).如果,我們可將改寫成,這樣,變量就分離開來了.兩邊積分,得到. 這里我們把積分常數(shù)明確寫出來,而把, 分別理解為,的原函數(shù).常數(shù)的取值必須保證有意義,如無特別聲明,以后也做這樣理解.因式不適合情形.但是如果存在使,則直接驗(yàn)證知也是的解.因此,還必須尋求的解,當(dāng)不包括在方程的通解中時(shí),必須補(bǔ)上特解2.2齊次微分方程

8、2.2.1齊次微分方程類型一形如,的方程,稱為奇次微分方程,這里是的連續(xù)函數(shù).作變量變換,即,于是.代入原方程可得,整理后,得到. 因是一個(gè)變量分離方程.則可按照變量分離方法求解,然后代回原來的變量,即可得到原方程的解2.2.2齊次微分方程類型二形如, 的方程不可直接進(jìn)行變量分離,但是可以經(jīng)過變量變換后化為變量分離方程,這里,均為常數(shù).可分為三種情況來討論:(常數(shù))的情形這時(shí)方程可化為,有通解,其中為任意常數(shù).的情形.令,這時(shí)有.是變量分離方程與不全為零的情形因?yàn)榉匠逃叶朔肿?分母都是的一次多項(xiàng)式,因此代表平面上兩條相交的直線,設(shè)交點(diǎn)為,若令則方程可化為從而方程變?yōu)橐虼?求解上述變量分離方程,

9、最后代回原方程,即可得到原方程的解.的情形此時(shí)直接變換即可2.3常數(shù)變易法2.3.1常數(shù)變易法一一階線性微分方程其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù),若,方程變?yōu)榉Q其為一階齊次線性微分方程,若稱其為一階非齊次線性微分方程.變易分離方程,易求得它的通解為這里是任意常數(shù).現(xiàn)在討論非齊次線性方程的通解的求法.不難看出,是特殊情形,兩者既有聯(lián)系又有差別,因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系而又有差別,現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的通解,顯然,如果中恒保持為常數(shù),它們不可能是的解.可以設(shè)想在中將常數(shù)變易為的待定函數(shù),使它滿足方程,從而求出為此,令兩邊同時(shí)微分,得到代入原方程,得到即兩邊同時(shí)積分,得到

10、這里是任意常數(shù),求得到就是方程的通解.這種將常數(shù)變?yōu)榇ê瘮?shù)的方法通常被稱之為常數(shù)變易法.2.3.2 常數(shù)變易法二形如, 的方程,稱為伯努利方程,這里,為的連續(xù)函數(shù),是常數(shù).利用變量變換可將伯努利微分方程化為線性微分方程.事實(shí)上,對(duì)于,用乘的兩邊,得到,引入變量變換,從而.代入方程,得到,這是線性微分方程,可按照前面介紹的方法來求出它的通解,然后代換原來的變量,便得到方程的通解.此外,當(dāng)時(shí),方程還有解.2.4積分因子求解法函數(shù)為積分因子的充要條件是,即.假設(shè)原方程存在只與有關(guān)的積分因子,則,則為原方程的積分因子的充要條件是,即僅是關(guān)于的函數(shù).此時(shí)可求得原方程的一個(gè)積分因子為.同樣有只與有關(guān)的積

11、分因子的充要條件是是僅為的函數(shù),此時(shí)可求得方程的一個(gè)積分因子為2.5恰當(dāng)微分方程求解對(duì)于一階微分方程,若有,則該方程必為恰當(dāng)微分方程.下面討論如何求得該恰當(dāng)微分方程的解.把看作只關(guān)于自變量的函數(shù),對(duì)它積分可得由此式可得,由此可得,又因?yàn)?故等式右邊只含有,積分可得,進(jìn)而可得.則恰當(dāng)微分方程的通解為,這里是任意常數(shù).3.基本方法的應(yīng)用3.1 一般變量分離應(yīng)用舉例3.1.1應(yīng)用舉例例1求解方程解 將變量分離,得到,兩邊積分,即得 ,因而,通解為.這里是任意正常數(shù),或者解出,寫出顯函數(shù)形式的解 .3.1.2應(yīng)用舉例例2求解方程,的通解,其中的連續(xù)函數(shù)解 將變量分離,得到 ,兩邊積分,即.這里是任意常

12、數(shù).由對(duì)數(shù)定義,有,即,令,得到,此外,顯然也是方程的解,如果允許中允許則也就包括在中,因而的通解為,其中為任意常數(shù).3.2齊次微分方程應(yīng)用舉例3.2.1類型一應(yīng)用舉例例 3 求解方程解這是齊次微分方程,以代入,則原方程變?yōu)榧?.將上式分離變量,既有兩邊積分,得到.這里是任意常數(shù),整理后,得到=得到. 此外,方程還有解.如果在中允許,則也就包括在中,這就是說,方程的通解為帶回原來的變量,得到方程的通解為3.2.2類型一應(yīng)用舉例例 4 求解方程（）解將方程改寫為,這是齊次微分方程.以代入,則原方程變?yōu)榉蛛x變量,得到兩邊積分,得到的通解即當(dāng)時(shí),.這里c時(shí)任意常數(shù).此外,方程還有解注意,此解并不包括

13、在通解中.代入原來的變量,即得原方程的通解為3.2.3類型二應(yīng)用舉例例 5求解方程.解令,則有,代入所求方程,整理可得,由變量分離得,故所求方程的解為.3.2.4類型二應(yīng)用舉例例 6求解方程.解解方程組得令代入上式方程,則有.再令則上式可化為,兩邊積分,得,因此,記并帶回原變量,得,.此外容易驗(yàn)證,即也是方程的解 ,因此方程的通解為,其中為任意的常數(shù).3.3常數(shù)變易法應(yīng)用3.3.1常數(shù)變易法應(yīng)用舉例例 7 求方程的通解解 原方程可改寫為,即, 首先,求出齊次線性微分方程,的通解為.其次,利用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解把看成,將方程兩邊同時(shí)微分得.代入,得到,兩邊同時(shí)積分,即可求得.從

14、而,原方程的通解為,這里是任意常數(shù).3.3.2 伯努利微分方程的求解例 8 求方程的通解解 這是時(shí)的伯努利微分方程.令,算得,這是線性微分方程,求得它的通解為.代入原來的變量,得到,或者,這就是原方程的通解.此外,方程還有解3.4利用積分因子求解例 9求解方程.解這里方程不是恰當(dāng)?shù)?因?yàn)橹慌c有關(guān),故方程有只與的積分因子,以乘方程兩邊,得到,或者寫成,因而通解為.3.5利用恰當(dāng)微分方程求解例 10求解方程. 解因?yàn)?故方程是恰當(dāng)微分方程.把方程重新分項(xiàng)組合,得到,即,或者寫成.于是,方程的通解為,這里是任意常數(shù)參考文獻(xiàn)1王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松.常微分方程（第三版）M.:高等教育;.2 繼明,常系數(shù)線性微