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1、第十二章第十二章 軸對(duì)稱軸對(duì)稱v 把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊,如果直線把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能夠完全重合,那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱兩旁的部分能夠完全重合,那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線就是它的圖形。這條直線就是它的對(duì)稱軸對(duì)稱軸。這時(shí)我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱。v 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能與另一個(gè)圖形完全重合,那么就說這兩個(gè)圖關(guān)于這條直與另一個(gè)圖形完全重合,那么就說這兩個(gè)圖關(guān)于這條直線對(duì)稱。這條直線叫做線對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸對(duì)稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做_對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)_.一一.軸對(duì)稱圖形軸
2、對(duì)稱圖形1、軸對(duì)稱圖形:、軸對(duì)稱圖形:2、軸對(duì)稱:、軸對(duì)稱:3 3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱軸對(duì)稱 區(qū)別區(qū)別聯(lián)系聯(lián)系圖形圖形 (1)(1)軸對(duì)稱圖形是指軸對(duì)稱圖形是指( )( ) 具具 有特殊形狀的圖形有特殊形狀的圖形, , 只對(duì)只對(duì)( )( ) 圖形而言圖形而言; ;(2)(2)對(duì)稱軸對(duì)稱軸( )( ) 只有一條只有一條(1)(1)軸對(duì)稱是指軸對(duì)稱是指( )( )圖形圖形 的位置關(guān)系的位置關(guān)系, ,必須涉及必須涉及 ( )( )圖形圖形; ;(2)(2)只有只有( )( )對(duì)稱軸對(duì)稱軸. .如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸如果把軸對(duì)稱圖
3、形沿對(duì)稱軸 分成兩部分分成兩部分, ,那么這兩個(gè)圖形那么這兩個(gè)圖形 就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱. .如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形 拼在一起看成一個(gè)整體拼在一起看成一個(gè)整體, ,那那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形. . B C A C B A A B C一個(gè)一個(gè)一個(gè)一個(gè)不一定不一定兩個(gè)兩個(gè)兩個(gè)兩個(gè)一條一條知識(shí)回顧:4、軸對(duì)稱的性質(zhì): 關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是軸是 任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段
4、的垂直平分線。 軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。連線段的垂直平分線。 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。練習(xí):練習(xí):1 1、國(guó)旗是一個(gè)國(guó)家的象征,觀察下面的國(guó)旗,是軸對(duì)稱、國(guó)旗是一個(gè)國(guó)家的象征,觀察下面的國(guó)旗,是軸對(duì)稱圖形的是(圖形的是( )A.A.加拿大、韓國(guó)、烏拉圭加拿大、韓國(guó)、烏拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亞加拿大、瑞典、澳大利亞C.C.加拿大、瑞典、瑞士加拿大、瑞典、瑞士 D.D.烏拉圭、瑞典、瑞士烏
5、拉圭、瑞典、瑞士 加拿大加拿大 韓國(guó)韓國(guó) 澳大利亞澳大利亞 烏拉圭烏拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士C2、小明照鏡子的時(shí)候,發(fā)現(xiàn)、小明照鏡子的時(shí)候,發(fā)現(xiàn)T恤上的英恤上的英文單詞在鏡子中呈現(xiàn)文單詞在鏡子中呈現(xiàn)“ ”的樣子,的樣子,請(qǐng)你判斷這個(gè)英文單詞是(請(qǐng)你判斷這個(gè)英文單詞是( ) (A)(B)(C)(D)A 3 3、ABCABC與與DEFDEF關(guān)于直線關(guān)于直線L L成軸成軸對(duì)稱,則對(duì)稱,則CC是多少度?是多少度? 65 40 FEDCBAL650750CDOBPANM解:PAONONPA 與 關(guān)于對(duì)稱為的中垂線( )DA=DP( )CB=CP同理可有:PCDPC+PD+CDPCDBC+AD+CDABA
6、B15cmPCD周長(zhǎng)周長(zhǎng)又周長(zhǎng)為15cmPPAONBOMABMON已知: 為內(nèi)一點(diǎn)。 與 關(guān)于對(duì)稱, P與 關(guān)于對(duì)稱。若長(zhǎng)為15cm求:PCD的周長(zhǎng).3.1 1、什么叫線段垂直平分線?、什么叫線段垂直平分線? 經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的叫做這條線段的垂直平分線垂直平分線,也叫也叫中垂線。中垂線。2 2、線段垂直平分線有什么性質(zhì)?、線段垂直平分線有什么性質(zhì)? 線段垂直平分線上的點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 (純粹性)。你能畫圖說明嗎?二二.線段的垂直平分線線段的垂直平分線3.逆定
7、理:與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在線段的垂直平分線上。(完備性)4.線段垂直平分線的集合定義: 線段垂直平分線可以看作是線段垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所的所有點(diǎn)的集合。有點(diǎn)的集合。mABCFDE三三.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱小結(jié):小結(jié): 在平面直角坐標(biāo)系中,關(guān)于在平面直角坐標(biāo)系中,關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)關(guān)于于y軸對(duì)稱的點(diǎn)軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐縱坐標(biāo)相等標(biāo)相等.點(diǎn)(點(diǎn)(x, y)關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_.點(diǎn)(點(diǎn)(x, y)關(guān)于關(guān)于y軸
8、對(duì)稱的點(diǎn)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_.(x, y)( x, y)1、完成下表、完成下表.已知點(diǎn)(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-2, -3)(2, 3)(-1,-2)(1, 2)(6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)P(2a+b,-3a)與點(diǎn)與點(diǎn)P(8,b+2).若點(diǎn)若點(diǎn)p與點(diǎn)與點(diǎn)p關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱,則軸對(duì)稱,則a=_ b=_.若點(diǎn)若點(diǎn)p與點(diǎn)與點(diǎn)p關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱,則軸對(duì)稱,則a=_ b=_.練 習(xí)246-20(搶答搶答)例:已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,
9、5),B(- 4,1),C(-1,3),作出ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形。解:點(diǎn)解:點(diǎn)A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3),關(guān)于,關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,5), B(4,1),C(1,3).依次連接依次連接AB,BC,CA,就得到就得到ABC關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱的軸對(duì)稱的ABC.A31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1cBBAC 歸納歸納:(P44)先求出已知圖形中的先求出已知圖形中的 特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)(如多邊形的頂點(diǎn)或端點(diǎn)如多邊形的頂點(diǎn)或端點(diǎn))的的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),描出并連接這些點(diǎn)描出并連接這些點(diǎn),就可就可 得到這個(gè)圖形的得到
10、這個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形.x y 思考思考:如圖:如圖,分別作出點(diǎn)分別作出點(diǎn)P,M,N關(guān)于直線關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn), 你能發(fā)現(xiàn)它們坐標(biāo)之間分別你能發(fā)現(xiàn)它們坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系嗎有什么關(guān)系嗎?31425-2 -1 012345-4-3-2-1x=1P(-2,4)M(-1,1)N(5,-2)N(-3,-2)M(3,1)P(4,4)x y 點(diǎn)(點(diǎn)(x, y)關(guān)于直線)關(guān)于直線x=1對(duì)稱對(duì)稱的的點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(的坐標(biāo)為(2-x, y)如圖,分別作出如圖,分別作出ABC關(guān)于直線關(guān)于直線x=1(記為(記為m) 和直線和直線y=-1(記為(記為n)對(duì)稱的圖形,它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo))對(duì)稱的圖形,
11、它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系?之間分別有什么關(guān)系?v如圖: 點(diǎn)(x, y)關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-x, y)關(guān)于直線y=-1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, -2-y)點(diǎn)(點(diǎn)(x, y)關(guān)于直線)關(guān)于直線x=m對(duì)稱對(duì)稱的的點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(的坐標(biāo)為(2m-x, y),關(guān)于直線關(guān)于直線y=n對(duì)稱對(duì)稱的的點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(的坐標(biāo)為(x, 2n-y)M(-4,-3)N(-4,-7)YmXOA(-4,5)B(-1,3)C(-4,1)xnD(6,5)E(6,1)F(3,3)G(-1,-5)類似: 若兩點(diǎn)(x1,y1)、(x2,y2)關(guān)于直線y=n對(duì)稱,則 ; 歸納:若兩點(diǎn)(x1,y1)、(x2,y2)
12、關(guān)于 直線x=m對(duì)稱,則;221xx 221yy y1=y2x1=x2X2=2m-x1y2=2n-y1(m= )(n= )1.如圖,ABC中,邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P。(1)求證:PA=PB=PC。(2)點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上呢?由此你能得出什么結(jié)論?APCB結(jié)論:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。4.利用軸對(duì)稱變換作圖:如圖:要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站,分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣,泵站修在管道什么地方,可使所用的輸氣管道線最短?ABLP1.有A、B、C三個(gè)村莊,現(xiàn)準(zhǔn)備要建一所學(xué)校,要求學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等,請(qǐng)你確定學(xué)校的位置。ABC利用軸
13、對(duì)稱變換作圖:利用軸對(duì)稱變換作圖:1. 如圖,如圖,A.B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上建一座橋要在河上建一座橋MN,橋造在何處才,橋造在何處才能使從能使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短?(假設(shè)最短?(假設(shè)河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)v.ABMNE作法:作法:1.將點(diǎn)將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E, 2.連接連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)交河對(duì)岸與點(diǎn)M, 則點(diǎn)則點(diǎn)M為建橋的位置,為建橋的位置,MN為所建的橋?yàn)樗ǖ臉?。證明:由平移的性質(zhì),得證明:由平移的性質(zhì),得 BNEM 且且BN=EM, MN
14、=CD, BDCE, BD=CE,所以所以A.B兩地的距兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在若橋的位置建在CD處,連接處,連接AC.CD.DB.CE,則則AB兩地的距離為:兩地的距離為:AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACE中,中,AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即即AC+CD+DB AM+MN+BN所以橋的位置建在所以橋的位置建在CD處,處,AB兩地的路程最短兩地的路程最短。ABMNECD 2. 如圖,如圖,A、B是兩個(gè)蓄水池,都在河流是兩個(gè)蓄水池,都在河流a的同側(cè),為了方便灌溉作物,的同側(cè),為了方便灌溉作物, 要在
15、河邊建一個(gè)抽水站,將河水送到要在河邊建一個(gè)抽水站,將河水送到A、B兩地,問該站建在河邊什兩地,問該站建在河邊什么地方,么地方, 可使所修的渠道最短,試在圖中確定該點(diǎn),可使所修的渠道最短,試在圖中確定該點(diǎn),作法:作法:作點(diǎn)作點(diǎn)B關(guān)于直線關(guān)于直線 a 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)C,連接連接AC交直線交直線a于點(diǎn)D,則點(diǎn)D為建抽水站的位置。抽水站的位置。證明:在直線證明:在直線 a 上另外任取一點(diǎn)上另外任取一點(diǎn)E,連接,連接AE.CE.BE.BD,點(diǎn)B.C關(guān)于直線 a 對(duì)稱,點(diǎn)D.E在直線 a上,DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE中,AE+ECAC,即
16、AE+ECAD+DB 所以抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn)抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn)D處,處, CDABEa 某中學(xué)七(4)班舉行文藝晚會(huì),桌子擺成兩直條(如圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了桔子,OB桌面上擺滿了糖果,坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短?作法:作法:1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA 的的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接連接DE分別交直線分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N,則CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 證明:證明:在直線在直線OA 上另外任取一點(diǎn)上
17、另外任取一點(diǎn)G,連接,連接點(diǎn)點(diǎn)D,點(diǎn)點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線OA對(duì)稱,對(duì)稱, 點(diǎn)點(diǎn)G.H在在OA上,上,DG=CG, DM=CM, 同理同理NC=NE,HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE(兩點(diǎn)之間,線段最短),(兩點(diǎn)之間,線段最短),即即CG+GH+HCCM+CN+MN即即CM+CN+MN最短最短AOB. .EDMNGHv4. 如圖:如圖:C為馬廄,為馬廄,D為帳篷,牧馬人某一天要為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地邊某一處牧馬,再到從馬廄牽出馬,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷,請(qǐng)你幫他確定這一河
18、邊飲馬,然后回到帳篷,請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線,天的最短路線,作法:作法:1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA 的的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)D關(guān)于直線關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接連接EF分別交直線分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H,則CG+GH+DH最短FAOBD CEGH證明:在直線證明:在直線OA 上另外任取一點(diǎn)上另外任取一點(diǎn)G,連接,連接點(diǎn)點(diǎn)F,點(diǎn)點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線OA對(duì)稱,點(diǎn)對(duì)稱,點(diǎn)G.M在在OA上,上,GF=GC,FM=CM, 同理同理HD=HE,ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四邊形在
19、四邊形EFGH中,中,F(xiàn)G+GH+HEFE(兩點(diǎn)之間,線段最短),(兩點(diǎn)之間,線段最短),即即CG+GH+HDCM+MN+ND即即CM+MN+ND最短最短FAOBD CEMNGH4、如圖,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),DEAB,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFAC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF, (1)求證:AD CF (2)連接AF,試判斷ACF的形狀,并說明理由。AFBDEFC5.如圖,在RtABC中,C=90,DE是AB的垂直平分線,連接AE,CAE:DAE=1:2,求B的度數(shù)。AEDBC6.如下圖ABC中,AC=16cm,DE為AB的垂直平分線, BCE的周長(zhǎng)為26
20、cm,求BC的長(zhǎng)。AEDBC7.7.如圖:在如圖:在ABCABC中,中,DEDE是是ACAC的垂直的垂直平分線,平分線,AC=5AC=5厘米,厘米,ABDABD的周長(zhǎng)等的周長(zhǎng)等于于1313厘米,則厘米,則ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)是是 。ABDEC18厘米厘米三三.(等腰三角形(等腰三角形)知識(shí)點(diǎn)回顧知識(shí)點(diǎn)回顧1.1.等腰三角形的等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì). .等腰三角形的兩個(gè)底角相等。(等腰三角形的兩個(gè)底角相等。(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角). .等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。(底邊上的高互相重合。(三線合一三線合一)2 2、等腰三角形的判
21、定:、等腰三角形的判定: 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。(個(gè)角所對(duì)的邊也相等。(等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊)四四.(等邊三角形(等邊三角形)知識(shí)點(diǎn)回顧知識(shí)點(diǎn)回顧1.1.等邊三角形的等邊三角形的性質(zhì):性質(zhì): 等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每一個(gè)角都等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每一個(gè)角都等于等于60600 0 。2 2、等邊三角形的判定:、等邊三角形的判定: 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 有一個(gè)角是有一個(gè)角是60600 0的等腰三角形是等邊三角形。的等腰三角形是等邊三角形。3.3.在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30300 0,那么它那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 1、如圖,在、如圖,在ABC中,中,AB=AC時(shí),時(shí),(1)ADBC _= _;_=_(2) AD是中線是中線_; _= _(3) AD是角平分線是角平分線_ _;_=_BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD練習(xí):練習(xí):2 2、“有一個(gè)
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