函數(shù)極限連續(xù)

1、第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)第一節(jié) 函 數(shù)1 函數(shù)的概念（定義、定義域、對應(yīng)法則、值域）2 函數(shù)的性態(tài)1）單調(diào)性 定義：單調(diào)增： 單調(diào)不減： 判定：（1）定義： (2）導(dǎo)數(shù)：設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，則 a) 單調(diào)不減； b) 單調(diào)增；2)奇偶性 定義：偶函數(shù) 奇函數(shù) 判定：(1）定義： (2）設(shè)可導(dǎo)，則：a)是奇函數(shù) 是偶函數(shù)； b)是偶函數(shù) 是奇函數(shù)； (3）連續(xù)的奇函數(shù)其原函數(shù)都是偶函數(shù)；連續(xù)的偶函數(shù)其原函數(shù)之一是奇函數(shù)。3)周期性 定義： 判定：(1)定義； (2）可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù)； (3）周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù)； 4)有界性 定義：若則稱在上有界。 判定：（1）定義： （

2、2）在上連續(xù)在上有界； （3）在上連續(xù)，且存在在上有界； （4）在區(qū)間（有限）上有界在上有界；3復(fù)合函數(shù)與反函數(shù) (函數(shù)分解成簡單函數(shù)的復(fù)合,分段函數(shù)的復(fù)合)4基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù): 常數(shù)，冪函數(shù) ,指數(shù),對數(shù),三角,反三角。了解它們定義域,性質(zhì),圖形.初等函數(shù):由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的加、減、乘、除和復(fù)合所得到且能用一個解析式表示的函數(shù). 題型一 復(fù)合函數(shù)例11已知的定義域為，則的定義域為 (A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選 (B)例12已知且求及其定義域。解 由，知 例13 設(shè), 試求.解 題型二 函數(shù)性態(tài)例14 下列結(jié)論正確的是 （A）在上無界； （B）當(dāng)時為無窮大

3、量； (C) 在上無界；（D）在上無界。例1.5以下四個命題中正確的是 （A）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界； （B）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界； （C）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界； （D）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界。解法1 直接法：由于在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界，故選（C）.解法2 排除法.令，則，顯然，和都在內(nèi)連續(xù)，但 在內(nèi)無界，則（A）（B）都不正確.令，顯然在內(nèi)有界，但在內(nèi)無界，則（D）不正確.故應(yīng)選（C）例1.6設(shè)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且時，有 （A） （B）（C） （D）解 令 則單調(diào)減，由知，即故應(yīng)選(A).例1.7設(shè)函數(shù)連續(xù)，且則存在，使得 （A）在內(nèi)單調(diào)增加； （B）在內(nèi)單調(diào)減少；（C）對任意的有；

4、（D）對任意的有。解 本題要用到一個常用的結(jié)論:若，則存在，當(dāng)時；當(dāng)時，. 若有相應(yīng)的結(jié)論. (利用導(dǎo)數(shù)定義和極限的保號性易證明此結(jié)論)由以上結(jié)論知(C)正確.注：本題選(A)是一種典型的錯誤，原因是由，得不到一定存在的某鄰域，在此鄰域內(nèi)單調(diào)增. 反例如下：令當(dāng)時，取，則.取，則由于以上的兩種點和在的任何鄰域內(nèi)都存在，則在的任何鄰域內(nèi)既存在的導(dǎo)數(shù)為正的點，也存在導(dǎo)數(shù)為負(fù)的點，則在的任何鄰域內(nèi)都不單調(diào)增.第二節(jié) 極 限1極限概念1）數(shù)列極限: ：,當(dāng)時.2）函數(shù)極限:（1）自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 ： ,當(dāng)時. 和的定義與類似。 （2）自變量趨于有限值時函數(shù)的極限： ,當(dāng)時。左極限：右極限：

5、幾個值得注意的極限：，2。極限性質(zhì)1）有界性： 收斂數(shù)列必有界；2）有理運算性質(zhì)： 若.那么: ； 兩個常用的結(jié)論：1）存在， 2) 3）保號性： 設(shè)（1） 如果,則存在,當(dāng)時，.（2） 如果當(dāng)時,那么.4）函數(shù)值與極限值之間的關(guān)系：. 其中 3。極限存在準(zhǔn)則 1）夾逼準(zhǔn)則： 若存在，當(dāng)時，且則 2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。4。無窮小量1）無窮小量的概念: 若，稱為無窮小量(或).2) 無窮小的比較: 設(shè).（1）高階： 若； 記為（2）同階： 若；（3）等價： 若；記為（4）無窮小的階: 若，稱是的階無窮小.5。無窮大量1) 無窮大量的概念: 若，稱為時的無窮大量。2）無窮大量與無

6、界變量的關(guān)系： 無窮大量無界變量3）無窮大量與無窮小量的關(guān)系： 無窮大量的倒數(shù)是無窮小量；非零的無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。題型一 極限的概念、性質(zhì)及存在準(zhǔn)則例1.8 “對任意給定的，總存在正數(shù)，當(dāng)時，恒有”是數(shù)列收斂于的(A) 充分條件但非必要條件. (B) 必要條件但非充分條件.(C) 充分必要條件. (D) 既非充分條件又非必要條件.解 本題主要考查對數(shù)列收斂于定義的理解. 其定義是“對任意給定的，存在，當(dāng)時，恒有”這與本題中的說法是等價的，故應(yīng)選（C）.例1.9 設(shè)，均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有(A) 對任意成立. (B) 對任意成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在.解法1 直接法

7、由， 知 ，故選（D）.解法2 排除法 由題設(shè)條件可知<，但這只能得到，存在，當(dāng)后有 <而不能得到對任意的有 <從而（A）（B）均不正確.若取，顯然，而=從而（C）不正確，故應(yīng)選（D）.例1.10 設(shè)對任意的總有，且，則(A) 存在且等于于零. (B) 存在但不一定為零.(C) 一定不存在. (D) 不一定存在.解 令，顯然，且，此時.則（A）和（C）不正確.若令 ，則，且，但（不存在）.從而（B）不正確，故（D）正確.例1.11 設(shè)數(shù)列與滿足，則下列斷言正確的是(A) 若發(fā)散，則必發(fā)散. (B) 若無界，則必有界.(C) 若有界，則必為無窮小. (D) 若為無窮小，則必為無

8、窮小.解法1 排除法若取，顯然（A）不正確.若取 則，且無界，但也無界，則（B）不正確.若取，顯然（C）不正確.故應(yīng)選（D）解法2 直接法由于 ，則故應(yīng)選（D）例1.12 設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是(A) 若收斂，則收斂. (B) 若單調(diào)，則收斂.(C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調(diào)，則收斂.解法1 直接法由于單調(diào)有界，則當(dāng)單調(diào)時，數(shù)列單調(diào)有界，從而 收斂，故選（B）解法2 排除法令.顯然在上單調(diào)有界，收斂，但不存在，則（A）不正確.令收斂，且單調(diào)，但，則（C）（D）均不正確，故應(yīng)選（B）. 題型二 求極限方法1. 利用有理運算法則求極限例1.13 解 原式= 例1.14

9、 解法1 原式例1.15 設(shè) ，求解 ，則 .方法2. 利用基本極限求極限 常用的基本極限, , , , 例1.16 ； 解 原式= =方法3.利用等價無窮小代換求極限1.常用等價無窮小 當(dāng)時,， 2。等價無窮小代換一般只能用在乘、除關(guān)系，而不能用在加、減關(guān)系。例1.17 求極限 .解 原式= = =例1.18 。解法1 原式= =解法2例1.19若 ， 求 解 由于.且 ，則，當(dāng)時， .例1.20 ； 解 原式= = =1方法4. 洛必達(dá)法則： 若 1） 2）和在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 3）存在（或）； 則 注：洛比達(dá)法則可用來求七種類型不定式的極限，即，其中前兩種，直接用洛比達(dá)法則，后五種

10、均可化為前兩種.這里，都為冪指函數(shù)極限，可通過化為，進(jìn)一步化為或.例1.21 解 原式= = = =例1.22 解法1 原式= = = = = =原式=解法2 對型極限用以下結(jié)論方便若，且.則.由于而 = （見解法1）則原式=例1.23 解法1 原式=因為 = =所以 原式=.解法2 原式=（1） （洛比達(dá)法則） =（2） （拉格朗日中值定理） =（3） （導(dǎo)數(shù)定義）則 原式=.例1.24 解 原式=為求極限，我們考慮極限 =則 原式=例1.25 解 原式= = = （令） = = = = =方法5 泰勒公式定理（泰勒公式）設(shè)在處階可導(dǎo)，則特別是當(dāng)時例1.26 若 ，則等于（A） 0； （B）

11、6； （C）36； （D）解法1 = =,則 .解法2由 知 = =.解法3 由知，當(dāng)時. 則 = =解法4 排除法令，顯然有，此時， =,顯然（A）（B）（D）均不正確，故應(yīng)選（C）.例1.27 ； 解 原式=.例1.28 已知其中二階可導(dǎo)，求 及 解 由知，且.即而由 知，.由于 ，則 方法6 利用夾逼準(zhǔn)則求極限例1.29 求極限 解 由于則 原式例1.30 求極限其中。 解 令 ，則則 原式=注：本題的結(jié)論是一個常用結(jié)論.例1.31 設(shè) 求 解 顯然 ，又則 方法7 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限(先證明極限存在,再求出極限)例1.32 設(shè)，證明：數(shù)列極限存在并求此極限。 證：由，知，從而有而

12、=則單調(diào)增，或者由知遞增又上有界，則存在，不妨設(shè) 等式兩端取極限得，由此解得或（舍去）則 .例1.33 設(shè) ，求極限。 解法1 顯然數(shù)列遞增，且，若，則，從而，即數(shù)列上有界，則存在，設(shè)，由知，解得，或 （舍去）則 解法2 直接證明由知則 .例1.34 設(shè)數(shù)列滿足。 1）證明存在，并求該極限； 2）計算 解：1) 證明：由，知即遞減，且下有界，則存在.設(shè)，由知 從而有，即2) 為此我們考慮極限由于且則故 方法8 利用定積分的定義求極限例1.35 解 原式= =.例1.36 求； 解 令則 = =則原式=例1.37 求 解 = = =則 原式=題型三 已知極限確定參數(shù)例1.38 若 求，其中為正數(shù)

13、.解 = =則.例1.39 若 求.解法1 原式 解法2 例1.40若，求 解 中最高次項為，由題設(shè)知即. .則 則 .例1.41 設(shè),求及. 解 = = =則 題型四 無窮小量階的比較例1.42 當(dāng)時,與是等價無窮小,則解 則例1.43 把時的無窮小， 進(jìn)行排序，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排到順序是(A) (B) (C) (D) 解法1 （確定是的幾階無窮?。┯?( k =1時) ( k =3時) =. ( k =2時)則正確的排序是.解法2 由于 則正確的排序是.例1.44 若時,是的幾階無窮小解 由 = = =知，即，則當(dāng)時，是的9階無窮小.例1.45 已知時,與是等價無

14、窮小,求. 解 由知，.第三節(jié) 連 續(xù)1。 連續(xù)的定義: 若,稱在處連續(xù),左右連續(xù)定義: 若稱在左連續(xù)若稱在右連續(xù)連續(xù)左連續(xù)且右連續(xù)2。間斷點及其類型1）第一類間斷點: 左,右極限均存在的間斷點可去間斷點:左極限=右極限的間斷點跳躍間斷點:左極限右極限的間斷點2）第二類間斷點: 左,右極限中至少有一個不存在的間斷點無窮間斷點: 時,振蕩間斷點: 時,振蕩 3。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1） 連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商（分母不為零）及復(fù)合仍連續(xù)性；2） 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)；3） 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （1）有界性：若在上連續(xù),則在上有界。（2）最值性:若在連續(xù), 則在上必有最大值和最小值。（3）

15、介值性:若在連續(xù), 則在上可取到介于它在 上最小值與最大值之間的一切值.(4）零點定理:若在連續(xù),且,則必，使。題型一 討論連續(xù)性及間斷點類型例1.46 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù) 應(yīng)滿足(A) (B) (C) (D) 解 由在連續(xù)知，從而有；又由知，則，故應(yīng)選(D).例1.47 設(shè)和在上有定義，為連續(xù)函數(shù)，且，有間斷點，則(A) 必有間斷點； (B) 必有間斷點；(C) 必有間斷點； (D) 必有間斷點.解法1 直接法直接證明選項（D）正確，用反證法：若無間斷點，由的連續(xù)知=必?zé)o間斷點，這與有間斷點矛盾，故應(yīng)選（D）.解法2 排除法設(shè)，顯然，符合題設(shè)條件，而，都處處連續(xù)，則排除（A）（B）（C），故應(yīng)選（D）.例1.48 討論函數(shù)的連續(xù)性并指出間斷點類型.解 由于為初等函數(shù)，則除，外處處連續(xù).當(dāng)時， 則為跳躍間斷點.當(dāng)時，則為可去間斷點.當(dāng)時則為無窮間斷點. 例149 求函數(shù)的間斷點并指出其類型.解： 顯然和為的間斷點，其余點處都連續(xù)。 則 為可去間斷點。則 為跳躍間斷點。例1.50 求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點并指出類型. 解 由于 =而 則 顯然都為的間斷點.由于，則為可去間斷點；而都為第二類間斷點.例1.51求函數(shù)的間斷點并指出其類型。 解 顯然無意義，而 則為可去間斷點.由于則為跳躍間斷點.而是偶