高等數(shù)學(xué)電子第一章第一節(jié)ppt課件

1、第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)第一章第一章 函數(shù)的極限與延續(xù)函數(shù)的極限與延續(xù) 第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 極限極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的延續(xù)性函數(shù)的延續(xù)性分析根底分析根底 函數(shù)函數(shù) 極限極限 延續(xù)延續(xù) 研討對(duì)象研討對(duì)象 研討方法研討方法 研討橋梁研討橋梁第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的性質(zhì)二、函數(shù)的性質(zhì)本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函

2、數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念 ( (一一) )區(qū)間與鄰域區(qū)間與鄰域 1 .區(qū)間區(qū)間研討函數(shù)時(shí)研討函數(shù)時(shí),經(jīng)常要用到區(qū)間的概念經(jīng)常要用到區(qū)間的概念.設(shè)設(shè)開區(qū)間開區(qū)間 (,) a bx axb 閉區(qū)間閉區(qū)間 , a bx axb ,) abx axb (, abx axb 右半開區(qū)間右半開區(qū)間左半開區(qū)間左半開區(qū)間實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a ,b叫相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)叫相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn),數(shù)數(shù)b - a 稱為區(qū)間的長(zhǎng)度稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.,a bRab 且且規(guī)定規(guī)定:第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間 ,) ax xa (, bx xb (,

3、) x xR (,) ax xa (,) bx xb 第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 2 .鄰域鄰域a a 0(,) N xx 點(diǎn)點(diǎn) 的的 鄰域鄰域a ( ,) N ax axa x x a 00 x x 其中其中, , 稱為鄰域中心稱為鄰域中心 , , 正數(shù)正數(shù) 稱為鄰域稱為鄰域半徑半徑 . .點(diǎn)點(diǎn) 的去心的去心 鄰鄰域域點(diǎn)點(diǎn) 的左的左 鄰域鄰域 : :00(,),xx 右右 鄰域鄰域 :00(,).xx ()以以 為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域?yàn)橹行牡娜魏伍_區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域, ,記作記作 0 x0()N x0().N x0 x0 x00

4、00(,)(,)xxxx 0 x0 x00(,)xx 第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) ( (二二) )函數(shù)的概念函數(shù)的概念子集，恣意子集，恣意 xD，變量，變量 y 按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系那么稱那么稱 f 是定義在是定義在 D 上的函數(shù)，上的函數(shù)，x 稱為自變稱為自變量量,f ,有獨(dú)一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)有獨(dú)一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)(記作記作 y=f (x) ) ,定義定義1.1.1 設(shè)設(shè)x , y 是兩個(gè)變量，是兩個(gè)變量，D 是是 R 的非空的非空y 稱為因變量稱為因變量. D 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f 的定義域，數(shù)集的定義域，數(shù)集f (

5、D)= f (x) | xD 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f 的值域的值域 . 1 .函數(shù)的定義函數(shù)的定義第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 定義域定義域: : 是指使表達(dá)式及實(shí)踐問題都有意義的自是指使表達(dá)式及實(shí)踐問題都有意義的自變量集合變量集合. .確定函數(shù)的兩要素：確定函數(shù)的兩要素：(1)(1)對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系; (2); (2)定義域定義域. .xyo|yx ( ) |f xx 如如, , 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)0,xx0,xx定義域定義域RD 值值 域域()0 ,)f D 與函數(shù)與函數(shù) g (x) = x, g (x) = x, 定義域定義域 D

6、= R, 值域值域 f ( D ) = R,在在 x 0 x 0時(shí)，時(shí)， 11,01,12,1ttfttt 解解例例5 設(shè)設(shè)(1 2),(1 ).fft(1 )ft第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 定義定義1. 1. 5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f (x)的定義域關(guān)于的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假設(shè)對(duì)于定義域中的任何原點(diǎn)對(duì)稱，假設(shè)對(duì)于定義域中的任何x，都有，都有 二二. .函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) ( (一一) )奇偶性奇偶性()( ),fxf x ()( ),fxf x 假設(shè)對(duì)于定義域中的任何假設(shè)對(duì)于定義域中的任何x ，都有，都有 不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函

7、數(shù)，稱為不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù).那么稱那么稱 y =f (x)為奇函數(shù)為奇函數(shù)那么稱那么稱 y =f (x)為偶函數(shù)為偶函數(shù).第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 假設(shè)一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)假設(shè)一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù), ,那么這個(gè)函數(shù)的那么這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形. . 反之，假設(shè)一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為反之，假設(shè)一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形, ,那么這個(gè)函數(shù)是奇那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù). . 奇函數(shù)與偶函數(shù)圖

8、象的對(duì)稱性奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性 假設(shè)一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，那么它的圖形假設(shè)一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，那么它的圖形是以是以y y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，假設(shè)軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，假設(shè)一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)數(shù)是偶函數(shù). . 第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)定義域定義域 D = 且有且有2()ln(1)fxxx例例 6 判別函數(shù)判別函數(shù)2( )ln(1)f xxx221lnln(1)1( )xxxxf x 所以該函數(shù)是奇函數(shù)所以該函數(shù)是奇函數(shù)解解(,), 的奇偶性的奇偶性第

9、一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 定義定義1. 1. 6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f (x), x1, x2為區(qū)間為區(qū)間(a,b)內(nèi)恣意兩個(gè)數(shù)，內(nèi)恣意兩個(gè)數(shù)， 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)x1 x2時(shí)，有時(shí)，有f (x1) f (x2)，那么稱函，那么稱函數(shù)數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)是單調(diào)添加的；內(nèi)是單調(diào)添加的； 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)x1 f (x2)，那么稱函，那么稱函數(shù)數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)是單調(diào)減少的內(nèi)是單調(diào)減少的 ( (二二) )單調(diào)性單調(diào)性第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)幾何特征幾何特征

10、單調(diào)添加單調(diào)添加單調(diào)減少單調(diào)減少第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 定義定義1. 1. 7 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定上有定義，當(dāng)恣意義，當(dāng)恣意xI， 恒有恒有| f (x) |M 成立，那么成立，那么稱函數(shù)稱函數(shù) y=f (x) I上的有界函數(shù)上的有界函數(shù); 假設(shè)不存在這樣假設(shè)不存在這樣的正數(shù)的正數(shù)M ，那么稱函數(shù)，那么稱函數(shù) y = f (x)為為I上的無(wú)界函上的無(wú)界函數(shù)數(shù) ( (三三) )有界性有界性第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)幾何特征幾何特征 我們說(shuō)一個(gè)函

11、數(shù)是有界的或是無(wú)界我們說(shuō)一個(gè)函數(shù)是有界的或是無(wú)界的，應(yīng)同時(shí)指出其自變量的相應(yīng)范圍的，應(yīng)同時(shí)指出其自變量的相應(yīng)范圍 第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì) 定義定義1. 1. 8 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) y=f (x) ，假設(shè)存在，假設(shè)存在一個(gè)不為零的正數(shù)一個(gè)不為零的正數(shù)L ，使得對(duì)于定義域內(nèi)的一，使得對(duì)于定義域內(nèi)的一切切x,等式等式 f (x +L)= f (x) 都成立，那么都成立，那么 y = f (x) 叫做叫做 周期函數(shù)，周期函數(shù)，L 叫做這個(gè)函數(shù)的周期叫做這個(gè)函數(shù)的周期 ( (四四) )周期性周期性 周期函數(shù)假設(shè)存在最小正周期，通常將最周期函數(shù)

12、假設(shè)存在最小正周期，通常將最小正周期簡(jiǎn)稱為周期小正周期簡(jiǎn)稱為周期.第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)復(fù)習(xí)反三角函數(shù)復(fù)習(xí)反三角函數(shù)arcsin,yx 1,1, 1.1.反正弦函數(shù)反正弦函數(shù): :arcsin()arcsinxx ,2 2 sin arcsin,xx （）定義域定義域: :值域值域: : 函數(shù)單調(diào)添加且有界函數(shù)單調(diào)添加且有界. .在在 上的上的sinyx 2,2 反函數(shù)叫反正弦函數(shù)反函數(shù)叫反正弦函數(shù), ,記作記作: :它的它的 1,1x 第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)2. 2.

13、反余弦函數(shù)反余弦函數(shù): :arcc,osyx 定義域定義域:-1,1,:-1,1, 值域值域: : 0, cos(arccos )cos ,xx 函數(shù)單調(diào)減少且有界函數(shù)單調(diào)減少且有界. .arcsinarccos2xx 1,1x 在在cosyx 0, 叫反余弦函數(shù)叫反余弦函數(shù), , 記作記作: :它的它的arccos()arccos ,xx 上的反函數(shù)上的反函數(shù)第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)arct,anyx (,) ，漸近線漸近線漸近線漸近線2y 2y 3.3.反正切函數(shù)反正切函數(shù): :(,)22 tanyx 在在內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)叫反

14、正切函數(shù)叫反正切函數(shù), ,記作記作: :它的定義域它的定義域:值域值域: :(,),22 函數(shù)單調(diào)添加且有界函數(shù)單調(diào)添加且有界. .tan(arctan ),xx arctan()arctan ,(,)xx x 第一章第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)及其性質(zhì)4.4.反余切函數(shù)反余切函數(shù): :arcc,otyx (,) ，叫反余切函數(shù)叫反余切函數(shù), ,記作記作: :它的定義域它的定義域:值域值域: :(0,), 函數(shù)單調(diào)減少且有界函數(shù)單調(diào)減少且有界. .(0,) cotyx 在在內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)y 0y 漸近線漸近線漸近線漸近線xyocot(arccot )cot ,xx arctanarccot2,(,).xxx arccot(