工程力學(xué)ppt課件

1、第八章第八章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)8.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例8.2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖8.3 純剪切純剪切8.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力8.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形*8.6 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介8.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例一、工程實例一、工程實例二、桿件的扭轉(zhuǎn)變形二、桿件的扭轉(zhuǎn)變形 桿受到若干力偶的作用，其桿受到若干力偶的作用，其力偶作用面垂直于軸線。力偶作用面垂直于軸線。 桿件的不同橫截面繞軸線相桿件的不同橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動了一定的角度。對轉(zhuǎn)動了一定的角度。受力特點：受力特點：變形特點變形特點:（扭轉(zhuǎn)

2、角：（扭轉(zhuǎn)角：）軸軸工程上，以扭轉(zhuǎn)作為主要變形的直桿稱為軸。工程上，以扭轉(zhuǎn)作為主要變形的直桿稱為軸。eMeM8.2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖一、外力偶矩計算一、外力偶矩計算一般有三種情況給出：一般有三種情況給出：1、直接給出；、直接給出；2、通過外力平移計算得出；、通過外力平移計算得出；3、通過電機軸的功率、軸的轉(zhuǎn)速來計算。、通過電機軸的功率、軸的轉(zhuǎn)速來計算。eMFaMeMeeP (kW)n (r/min)輸入功率輸入功率 P 相當(dāng)每秒輸入的功為：相當(dāng)每秒輸入的功為：1kW1000 N m/s260n kWeN mr/min9549PMn式中：式中：P輸入功率（輸

3、入功率（kW）n 轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)速（r/min）Me外力偶矩（外力偶矩（Nm） 傳動軸的外力偶矩計算：傳動軸的外力偶矩計算：1000 N m/sP 1000 N m /s)P外力偶矩外力偶矩 Me 在每秒完成的功為：在每秒完成的功為：MeMeeM二、扭矩與扭矩圖二、扭矩與扭矩圖MeMeMeTMeT1.扭矩扭矩 ：扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力，它是扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力，它是一個位于橫截面平面內(nèi)的力偶，該力一個位于橫截面平面內(nèi)的力偶，該力偶矩稱為扭矩，用偶矩稱為扭矩，用 T 表示。表示。求法：求法：截面法截面法取左端，由力矩平衡取左端，由力矩平衡, 0 xMe= 0TMeTM得：得：說明：說明：這樣規(guī)定扭矩的正

4、負(fù)號，使得同一截面上的扭矩獲得相同的正負(fù)號。這樣規(guī)定扭矩的正負(fù)號，使得同一截面上的扭矩獲得相同的正負(fù)號。符號：符號：按右手螺旋法則用矢量表示扭矩，若按右手螺旋法則用矢量表示扭矩，若矢量方向與橫截面外法線方向一致時，扭矩矢量方向與橫截面外法線方向一致時，扭矩為正，反之扭矩為負(fù)。為正，反之扭矩為負(fù)。, 0 xMe= 0MT取右端，由力矩平衡取右端，由力矩平衡eTM得：得：nn二、扭矩與扭矩圖二、扭矩與扭矩圖2.扭矩圖：扭矩圖： 以扭矩以扭矩 T 為縱坐標(biāo)，截面位置為縱坐標(biāo)，截面位置 x 為橫坐標(biāo)，表示為橫坐標(biāo)，表示扭矩隨桿件軸線變化情況的曲線扭矩隨桿件軸線變化情況的曲線 扭矩圖扭矩圖。MeMe 扭

5、矩圖的作法與軸力圖相似。扭矩圖的作法與軸力圖相似。例如：例如：MeTxO圖示傳動軸，主動輪圖示傳動軸，主動輪A輸入功率輸入功率PA=50 KW，從動輪，從動輪B、C、D輸出功率分別輸出功率分別為為 PB=PC=15 KW ，PD=20 KW ，軸的轉(zhuǎn)速為，軸的轉(zhuǎn)速為n=300 r/min。作軸的扭矩圖。作軸的扭矩圖。e50954995491592 N m300AAPMnee1595499549477 N m300BBCPMMn解：解： 先求各輪的外力偶矩：先求各輪的外力偶矩：例：例：用截面法求各段扭矩：用截面法求各段扭矩：1eBTM 2eeBCTMM 3eDTM477 N m954 N m63

6、7 N me2095499549637 N m300CDPMn477954637(N m)/TxO620N.m780N.m1400N.m哪哪一一種種安安排排更更合合理理620N.m780N.m1400N.m620N.m780N.m8.3 純剪切純剪切1. 實驗實驗可以看出：可以看出：（1 1）縱向線傾斜了同一）縱向線傾斜了同一微小角度微小角度, ,方格的左、右方格的左、右兩邊發(fā)生了相對錯動。兩邊發(fā)生了相對錯動。（2 2）圓周線的形狀、）圓周線的形狀、大小及圓周線之間的距大小及圓周線之間的距離保持不變。離保持不變。一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力dxdy2. 應(yīng)力分析應(yīng)力分析(1)(

7、1)分析切應(yīng)力：分析切應(yīng)力： 切應(yīng)變切應(yīng)變 代表剪切變形，單代表剪切變形，單 元體的左、右表面存在切應(yīng)力元體的左、右表面存在切應(yīng)力 .(2)(2)分析正應(yīng)力：分析正應(yīng)力： 扭轉(zhuǎn)過程中，圓筒表面圓周扭轉(zhuǎn)過程中，圓筒表面圓周線的形狀、大小及相鄰圓周線的線的形狀、大小及相鄰圓周線的間距都不變，間距都不變，無正應(yīng)變無正應(yīng)變(縱向應(yīng)縱向應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變變和環(huán)向應(yīng)變) ，無正應(yīng)力無正應(yīng)力(左、左、右表面和上、下表面右表面和上、下表面)。 (切應(yīng)變)取微單元體取微單元體 (dx,dy, )3. 橫截面切應(yīng)力橫截面切應(yīng)力 的計算的計算結(jié)論結(jié)論: : 切應(yīng)力在橫截面近似均勻分布。切應(yīng)力在橫截面近似均勻分布。（1

8、1）由于沿圓周方向各點的變）由于沿圓周方向各點的變形相同，即屬于軸對稱問題，故形相同，即屬于軸對稱問題，故可認(rèn)為切應(yīng)力可認(rèn)為切應(yīng)力 沿環(huán)向不變。沿環(huán)向不變。（2 2）由于壁厚很薄，近似認(rèn)為）由于壁厚很薄，近似認(rèn)為 沿壁厚方向不變。沿壁厚方向不變。dARAT dAdAdARAT2RRT 22TRR-薄壁圓筒平均半徑薄壁圓筒平均半徑R得薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力：得薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力：dydxxyz(d ) d(d ) dyxxy 即即 在單元體互相垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，在單元體互相垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個平面的交線，方向且數(shù)值相等；兩

9、者都垂直于兩個平面的交線，方向共同指向共同指向或者或者共同背離共同背離兩平面的交線。這就是兩平面的交線。這就是切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理。二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理 上述單元體的四個側(cè)面上，僅存在切應(yīng)力而無正應(yīng)力，上述單元體的四個側(cè)面上，僅存在切應(yīng)力而無正應(yīng)力，這種應(yīng)力狀況稱為這種應(yīng)力狀況稱為純剪切純剪切。由平衡方程由平衡方程 得：得：z0M=rl說明：說明：leMeM三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律dydxxyz其中：其中：G 是比例常數(shù)，稱為是比例常數(shù)，稱為剪切彈性模量剪切彈性模量( (切變模量切變模量) )， 上式為上式為剪切胡克定律剪切胡克定律。 圖中當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料圖中

10、當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，剪應(yīng)力與的剪切比例極限時，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變呈線性正比例關(guān)系，即：剪應(yīng)變呈線性正比例關(guān)系，即：G 由實驗可得切應(yīng)力與切應(yīng)由實驗可得切應(yīng)力與切應(yīng)變的關(guān)系曲線，如右圖：變的關(guān)系曲線，如右圖：說明說明：1、G 與與 E 、一樣，均隨材料而異。一樣，均隨材料而異。2、對于各向同性材料：、對于各向同性材料：)1(2 EG8.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力一、實驗與假設(shè)一、實驗與假設(shè)1 1、實驗現(xiàn)象：實驗現(xiàn)象： 各圓周線的形狀、各圓周線的形狀、大小大小、兩兩圓周圓周線之間線之間的距離都沒有發(fā)的距離都沒有發(fā)生變化，但都繞軸轉(zhuǎn)過了不同的角度。生變化，但都繞軸轉(zhuǎn)過了不同的角

11、度。 縱線仍近似為直線，但都傾斜了一個角度，使原來的矩縱線仍近似為直線，但都傾斜了一個角度，使原來的矩形都變成了平行四邊形。形都變成了平行四邊形。2 2、假設(shè)：假設(shè)：平面假設(shè)平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)時，各橫截面如同剛性平面圓軸扭轉(zhuǎn)時，各橫截面如同剛性平面一樣繞軸轉(zhuǎn)動，即：假設(shè)圓軸各橫截面在變形過一樣繞軸轉(zhuǎn)動，即：假設(shè)圓軸各橫截面在變形過程中，始終保持為平面，其形狀和大小不變。程中，始終保持為平面，其形狀和大小不變。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上各點的切應(yīng)力二、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上各點的切應(yīng)力 要得到圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力公式，需綜要得到圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力公式，需綜合考慮三個方面的關(guān)系：合考慮三個方面的

12、關(guān)系：1 1、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系2 2、物理關(guān)系、物理關(guān)系3 3、靜力學(xué)關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系ddaaRx ddx在外表面上：在外表面上：d(b)(b)外圓周上各點的切應(yīng)變外圓周上各點的切應(yīng)變兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角(a)(a)Raa距圓心為距圓心為處的切應(yīng)變?yōu)樘幍那袘?yīng)變?yōu)椋篸dRx1 1、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系ddx 單位長度扭轉(zhuǎn)角，對一給定的單位長度扭轉(zhuǎn)角，對一給定的 截面，是一常量。截面，是一常量。 可見，橫截面上任意點的切應(yīng)變與可見，橫截面上任意點的切應(yīng)變與該點到圓心的距離該點到圓心的距離 成正比。成正比。 根據(jù)剪切胡克定律根據(jù)剪切胡克定律, , 當(dāng)剪應(yīng)力不超

13、過材料當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時的剪切比例極限時G2. 2. 物理關(guān)系物理關(guān)系ddGxddx(b)(b)將（將（b b）帶入上式得：）帶入上式得：(c)(c)ddGx(c)(c) 在橫截面上的分布：在橫截面上的分布：maxmax與與 成正比，成正比，方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。ddx單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角3.3.靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系dAdAodAddGx2pdAIA令pddTxGI則dddAGATxT2dAApTI將（將（c c）帶入上式得：）帶入上式得： 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上距圓心為圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上距圓心為 的任意點的切應(yīng)力計算公式。的任意點的切應(yīng)力計算公式。 T極慣性矩極慣性

14、矩ddGxpTGGIpTI將上式帶入（將上式帶入（c c）得：）得：Addx(b)(b)ddGx(c)(c)ddx單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角適用范圍：適用范圍：線彈性范圍，且只適用于線彈性范圍，且只適用于等截面圓軸和空心等截面圓軸。對于等截面圓軸和空心等截面圓軸。對于錐度較小的圓錐軸可近似使用。錐度較小的圓錐軸可近似使用。的最大值maxpT RIpTWppIWR稱為抗扭截面系數(shù)maxmaxpTIdo三、截面的極慣性矩三、截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù) Wp 的計算的計算2pdAIA 2022dd/2302dd/2244d432dppRIW p2Id316d1.1.實心圓截

15、面實心圓截面pdAIA2 2222ddD/()Dd4432ppmaxIWp2ID34(1)16D44(1)32Dd2.2.空心圓截面空心圓截面dD其中：p32dI4p16dW3p(1)32DI44p(1)16DW34 實心圓截面：實心圓截面： 空心圓截面：空心圓截面：do總結(jié)：總結(jié)：TTTT例例：內(nèi)外徑分別為：內(nèi)外徑分別為20mm和和40mm的空心圓截面軸，受的空心圓截面軸，受扭矩扭矩T=1kNm作用，計算橫截面上作用，計算橫截面上A點的剪應(yīng)力及橫點的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。截面上的最大和最小剪應(yīng)力。解：解：pITAA100000150043210544.(.) 6366.MPam

16、axpTW10000041610534.(.)84.88MPaminmax10= 42.44MPa20例例：一厚度為：一厚度為30mm、內(nèi)直徑為、內(nèi)直徑為230mm的空心圓管，的空心圓管，承受扭矩承受扭矩T=180 kNm 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用：用： (1)(1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論； (2)(2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：解：(1) (1) 利用薄壁管的近似理論可得：利用薄壁管的近似理論可得：maxTR2218010201300332. 565 . MPamax()TD34161(2) (2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可得：利用精確的扭轉(zhuǎn)理

17、論可得：18010029161230290334. 622 . MPa例例：一直徑為：一直徑為D1的實心軸，另一內(nèi)外徑之比的實心軸，另一內(nèi)外徑之比 d2D20.8的空心軸，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最的空心軸，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最大剪應(yīng)力相等。求兩軸外直徑之比大剪應(yīng)力相等。求兩軸外直徑之比 D D2 2/D/D1 1。解：解：由由TDTD132341616108(.)DD214311081192.得：得：四四、扭轉(zhuǎn)破壞、扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)破壞、扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力1.扭轉(zhuǎn)試驗：用圓截面試樣在扭轉(zhuǎn)試驗機上進(jìn)行扭轉(zhuǎn)試驗：用圓截面試樣在扭轉(zhuǎn)試驗機上進(jìn)行2. 試驗現(xiàn)象：試驗現(xiàn)象：塑性材料塑性材料脆

18、性材料脆性材料3. 試驗結(jié)論：試驗結(jié)論：失效的形式為失效的形式為屈服屈服與與斷裂斷裂。扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力s扭轉(zhuǎn)強度極限扭轉(zhuǎn)強度極限b試樣扭轉(zhuǎn)屈服時橫截面上的最大切應(yīng)力試樣扭轉(zhuǎn)屈服時橫截面上的最大切應(yīng)力試樣扭轉(zhuǎn)斷裂時橫截面上的最大切應(yīng)力試樣扭轉(zhuǎn)斷裂時橫截面上的最大切應(yīng)力先在外表面出現(xiàn)橫先在外表面出現(xiàn)橫向與縱向的滑移線，最向與縱向的滑移線，最后沿橫截面被剪斷。后沿橫截面被剪斷。沿沿450 螺旋面被拉斷。螺旋面被拉斷。扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力u五、圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件五、圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件1. 扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力 un2. 扭轉(zhuǎn)強度條件扭轉(zhuǎn)強度條件 max maxmaxp TWsb塑性

19、材料塑性材料脆性材料脆性材料3. 圓軸扭轉(zhuǎn)強度計算的三類問題圓軸扭轉(zhuǎn)強度計算的三類問題（a）強度校核：）強度校核： maxmaxpTW（b）截面設(shè)計：）截面設(shè)計： maxpTW（c）許用載荷計算：）許用載荷計算： pTW已知：已知：n=100 r/min, P=7.5KW, =45MPa, =0.5, d1=45mm, d2=46mm,例：例：試校核軸的強度。試校核軸的強度。解：解：故：強度滿足要求。故：強度滿足要求。maxpTW3p1/16Wd34p(1)/16WD9549716.2 N mePTMn 對實心軸，對實心軸，所以：所以：對空心軸：對空心軸：所以：所以：1max40.02MPa2

20、max40 MPa 例例某傳動軸，軸內(nèi)的最大扭矩某傳動軸，軸內(nèi)的最大扭矩T=1.5 KNm，若許用切應(yīng)力，若許用切應(yīng)力 ，試按下列兩種方案確定軸的截面尺寸：，試按下列兩種方案確定軸的截面尺寸：2.空心圓截面軸，其內(nèi)、外徑之比空心圓截面軸，其內(nèi)、外徑之比 0.9dD解：解：1. 確定實心圓截面軸的直徑確定實心圓截面軸的直徑 d1。1.實心圓截面軸；實心圓截面軸；由強度條件由強度條件 maxmaxpTW其中其中p16dW3得得: 333161616(1.5 10 )53.5mm(50 10 )Td 50MPa2. 確定空心圓截面軸的內(nèi)、外徑。確定空心圓截面軸的內(nèi)、外徑。由強度條件由強度條件 max

21、maxpTW其中其中4p(1)16DW3而其內(nèi)徑為而其內(nèi)徑為0.968.7 mmdD3.重量比較重量比較兩者材料相同、長度相同，重量比即為橫截面面積之比：兩者材料相同、長度相同，重量比即為橫截面面積之比：222221()(0.0763)(0.0687)/()0.39844(0.0535)dDd2結(jié)論：結(jié)論： 空心軸遠(yuǎn)比實心軸輕。空心軸遠(yuǎn)比實心軸輕。 34461616(1.5 10 )76.3mm(1)(1 0.9 )(50 10 )TD33得得:注：圓軸合理截面設(shè)計：注：圓軸合理截面設(shè)計：dA0R1.宜將材料放置在離圓心較遠(yuǎn)的部位，即作成空心的宜將材料放置在離圓心較遠(yuǎn)的部位，即作成空心的.2.

22、平均半徑愈大，壁厚愈小，即平均半徑愈大，壁厚愈小，即 愈大，切應(yīng)力分布愈愈大，切應(yīng)力分布愈 均勻均勻.0R但是若比值但是若比值 過大，即管壁過薄，管在受扭時將產(chǎn)生過大，即管壁過薄，管在受扭時將產(chǎn)生皺折現(xiàn)象（即局部失穩(wěn)）而降低其抗扭能力。皺折現(xiàn)象（即局部失穩(wěn)）而降低其抗扭能力。0R例例：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為 = 0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？的多少倍？( (按強度計算

23、按強度計算) )解解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)橥鈴椒謩e變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為，最大許可扭矩為1由得DDDD1222214105241052(.)(.)由TDTD113434161161()() 得TTDD1133/222828 .8.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形()ddpTxGI見上一節(jié)公式推導(dǎo)ddpTxGI0ddllPTxGIPTlGI兩邊積分得：若T 為常量，則有：PGI抗扭剛度抗扭剛度d二、圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件二、圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件1. 單位

24、長度的扭轉(zhuǎn)角：單位長度的扭轉(zhuǎn)角：ddrad/mPTxGI 1md0d8PTxGI 2. 剛度條件：剛度條件： max maxmax180PT= GI 許用單位長度扭轉(zhuǎn)角，許用單位長度扭轉(zhuǎn)角，單位：單位： m 階梯形圓軸的直徑d1=4cm，d2=7cm，軸上有三個皮帶輪，輪3的輸入功率為P3=30 KW，輪1的輸出功率為P1=13 KW，軸的轉(zhuǎn)速 n =200 r/min， ，試校核軸的強度、剛度。 Pa G80GPa m 例例解：解： （1）作扭矩圖）作扭矩圖x621 N.m1432 N.mT（2）校核強度）校核強度3t62148.5MPa 60MPa()0.2 0.04ACACACTW3t1

25、43220.9MPa 60MPa()0.2 0.07DBDBDBTW故強度合格。故強度合格。外力偶外力偶 Me1= 621 N.m Me3=1432 N.mO（3）校核剛度）校核剛度 1801.77m2mACACPTGI 1800.436m2mDBDBPTGI 剛度也滿足要求。剛度也滿足要求。x621 N.mTO1432 N.m例例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的剪應(yīng)力是原來的 倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的 倍？倍？163tmaxdTWTT lG IT lGdp432816 例例：水平面上的

26、直角拐，水平面上的直角拐，AB段為圓軸，直徑為段為圓軸，直徑為 d，在端點，在端點C受鉛垂力受鉛垂力P作用，材料的剪切彈性模量為作用，材料的剪切彈性模量為G，不計，不計BC段段變形。求變形。求C點的鉛垂位移。點的鉛垂位移。解：解：aABCV aIGlaPp4232dGlPa 例：例：已知一直徑已知一直徑d=50mm的鋼制圓軸在扭轉(zhuǎn)角為的鋼制圓軸在扭轉(zhuǎn)角為 6時，軸時，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于內(nèi)最大剪應(yīng)力等于90MPa，G=80GPa。求該軸長度。求該軸長度。解：解：T lG Ip( ) 1max(2)PTW( )( )12得：ppWIGlmax618080100059010296. 233.m 兩端

27、固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩M作作用，試求桿兩端的支座反力偶矩。用，試求桿兩端的支座反力偶矩。eeABMMM靜力平衡方程為：靜力平衡方程為：0ABACCB變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：ee0ABppM aMbGIGI得補充方程：得補充方程：例例解：解：eeABbMMabaMMab扭轉(zhuǎn)靜不定問題扭轉(zhuǎn)靜不定問題8.6 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介 圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形公式圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形公式, ,均建立在均建立在平面假設(shè)平面假設(shè) 的的基礎(chǔ)上。基礎(chǔ)上。 對于非圓截面桿對于非圓截面桿, ,受扭時橫截面不再保持為平面，桿的橫

28、截受扭時橫截面不再保持為平面，桿的橫截面已由原來的平面變成了曲面。這一現(xiàn)象稱為面已由原來的平面變成了曲面。這一現(xiàn)象稱為截面翹曲截面翹曲。 因此因此, ,圓軸扭轉(zhuǎn)時的圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、變形公式對非圓應(yīng)力、變形公式對非圓截面桿均不適用。截面桿均不適用。一、非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時兩種情形一、非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時兩種情形: :1.1.自由扭轉(zhuǎn)或純扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)或純扭轉(zhuǎn) 在扭轉(zhuǎn)過程中在扭轉(zhuǎn)過程中, ,桿的各橫截面的翹桿的各橫截面的翹曲不受任何約束曲不受任何約束, ,任意兩相鄰橫截面的任意兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同。此時橫截面只有翹曲程度完全相同。此時橫截面只有剪應(yīng)力剪應(yīng)力, ,而沒有正應(yīng)力。而沒有正應(yīng)力。2.2.