不用極限怎樣講微積分

1、不用極限怎樣講微積分張景中（廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)教育軟件研究所）講微積分必須講極限，否則就講不清楚，這幾乎是兩百年來數(shù)學(xué)界的共識(shí)，但逆反心理總是有的，越說不用極限不能講微積分，就越 有人想打破框框，想不用極限講講微積分，這不，有本書就叫做不 用極限的微積分（原文：Calculus With-out Limit） 1 。在網(wǎng)上 看到這書名如獲至寶，帶著激動(dòng)的心情下載解包急欲一讀為快.一看封面，心先涼了一半，原來在書名后面有一條小尾巴：一 almost.（圖這就是說不是不用極限，是“幾乎”不用極限，再看內(nèi)容，就知 道了所謂“幾乎”不用極限，就是用直觀描述代替嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限定義， 這和許多微積分的通俗讀物本質(zhì)

2、上沒有區(qū)別，是模模糊糊的說不清楚 的微積分，聽有些在大學(xué)里講微積分的老師說，學(xué)生根本沒有學(xué)過微 積分還好教，如果學(xué)過一些說不清楚的微積分，成了夾生飯，就更不 容易教他學(xué)懂微積分了，是否真的如此，沒有調(diào)查研究不敢妄言.但 不用極限講微積分這個(gè)題目，就顯得更誘人.五十年前學(xué)微積分，三十年前又教微積分，常常想一個(gè)問題： 怎樣把微積分變得容易些，曾經(jīng)想過不用 一來寇義極限2，但不 用極限講微積分的問題更有意思，在數(shù)學(xué)教育中更有實(shí)際意義，近來在林群先生一系列工作3 ,4, 5, 6的啟發(fā)下，偶有所得，自以為是 真正實(shí)現(xiàn)了不用極限講微積分，而且是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刂v，不用almost.其中有些思路好像以前沒有人說過，

3、于是拋磚引玉，希望對(duì)高中里的微積 分的教學(xué)，以及大學(xué)里高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革有些用處.1差商和差商有界的函數(shù)講這個(gè)問題總得有點(diǎn)預(yù)備知識(shí)，無非是函數(shù)，差分，差商.高中數(shù)學(xué)課里函數(shù)總是要講的，習(xí)慣上只講一元函數(shù).其實(shí)大可以不必這么小氣，同時(shí)提一下多元函數(shù)概念只有好處. 小學(xué)里的 加減乘除都是2元函數(shù)，求梯形面積公式就是3元函數(shù)，求圓面積公 式才是一元函數(shù)，這樣一講，學(xué)生會(huì)感到函數(shù)不是新來的怪物，是老 朋友，更直觀更具體，然后先從一元函數(shù)來研究，多元函數(shù)概念立此 存照.有此伏筆，將來把定積分看成區(qū)間兩端點(diǎn)的2元函數(shù)就順理成 章了.接著要講函數(shù)的遞增遞減.判斷函數(shù)f(x)的增減性最好給學(xué)生一個(gè)工具，這工具

4、就是差分f(x h) f(x)或差商f(x h) f(x)湘xh教版高中教材講了差分：當(dāng)h>0時(shí)，差分正則函數(shù)增，差分負(fù)則函數(shù) 減，人教版高中教材講了差商：差商正則函數(shù)增，差商負(fù)則函數(shù)減.知 道了差分和差商，講微積分就方便了，不管用不用極限，差分和差商 總是要用的.差商是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均變化率.常見的函數(shù)，在有 限區(qū)間上的差商多是有界的，這類函數(shù)很重要，干脆給個(gè)定義：定義1.1 若函數(shù)f(x)在區(qū)間|上有定義，且有正數(shù)M使得對(duì)I上任意兩點(diǎn)u<v,總有不等式|f(v)f(u)| M|v u |成立，則稱，f(x)在區(qū)間I上差商有界，也說，f(x)在區(qū)間I上滿足李普西茲條件(Li

5、pschitz 條件).定理1.1 在區(qū)間a,b上差商有界的函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上必 有界.這是因?yàn)閨f(x)|f(a) f(x) f(a)| | f(a)|f(x)f(a)| f(a)| M |x a| | f (a)| M |b a|之故。例1.1求證函數(shù)y x2在區(qū)間a,b上差商有界.證明 對(duì)a,b上任意兩點(diǎn)u<v,總有| f(v) f (u)| |v2 u2 | |v u |v u | 2(|a| |b|)|v u|取M 2(|a| |b|)，即知函數(shù)y x2在a,b上差商有界.例1.2求證函數(shù)y ，x在區(qū)間O , 1上非差商有界，但對(duì)于任意的a>0,它在a,上差商有界

6、.證明先用反證法證明其在區(qū)間0,1上非差商有界.若不然，有正數(shù)M,使得對(duì)0 , 1上任意兩點(diǎn)u<v,總有不等式 I'G ,u | M |v u|立，也就是有1 M r，v -.u |成立，可見 2M> 1.取 u 0,v 亠 代人推出2< 1,矛盾.(圖2).4M 2圖2 差商無界宙數(shù)的例子而當(dāng)a>0時(shí)在a,上，由于 厶E斗可見它是差v uJu Jv 2ja商有界的。幾何上看，差商有界的函數(shù)，其曲線上任意兩點(diǎn)所確定的直線的 斜率的絕對(duì)值有界，也就是不能太陡，多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，在有定義的 閉區(qū)間上，總是差商有界的.兩個(gè)差商有界函數(shù)的和，積.

7、以及復(fù)合 函數(shù)也是差商有界的，顯然有定理1.2 如果函數(shù)F(x)在區(qū)間a , c上和區(qū)間c , b上都 是差商有界的，則它在區(qū)間a . b上也是差商有界的.反過來，若函 數(shù)F(x)在區(qū)間a , b上差商有界，則它在a , b的任意子區(qū)間上也 是差商有界的.差商有界的函數(shù)，都是規(guī)規(guī)矩矩的“好函數(shù)”.練習(xí)計(jì)算函數(shù)的差 分差商，估計(jì)差商的絕對(duì)值的上界，難度不大，對(duì)進(jìn)一步學(xué)微積分卻很有幫助.2換一個(gè)眼光看3個(gè)經(jīng)典例子不用極限，如何看待微積分的幾個(gè)經(jīng)典案例呢？例2.1用S=S(t)表示直線上運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻t所走過的路 程，V二V(t)表示它在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度，則它在時(shí)間區(qū)間u，v 上的平均速度的大小，應(yīng)

8、當(dāng)在u,v上的某兩個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度之間.也就是說，有u , v上的p和q,使得下面的不等式成立：V(p)V(q) (2.1)u v上式可用語言表達(dá)為“函數(shù)S(t)的差商是v(t)的中間值”.要注意的是，盡管學(xué)生容易理解“平均速度的大小應(yīng)當(dāng)在某 兩個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度之間”，但要提煉出不等式(2.1)并不容易.從直 觀的表述得到數(shù)學(xué)的符號(hào)語言，對(duì)學(xué)生是很好的鍛煉，例2.2 記函數(shù)y= F(x)的曲線上在點(diǎn)x處的切線的斜率為 k(x).則過兩點(diǎn)A=(u,F(u)和B=(v ,F(v)的割線的斜率，應(yīng)當(dāng)在u , v上的某兩個(gè)變量值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處切線的斜率之間(圖 3).圖3載銭斜峯在兩切壤斜率之聞也就是說，

9、有u , v上的p和q,使得下面的不等式成立：k(p) F(u) F©(2.2)u v上式可用語言表達(dá)為“函數(shù)F(x)的差商是k(x)的中間值”上面兩個(gè)例子，在數(shù)學(xué)上是一回事.但從平均速度和瞬時(shí)速 度的問題中，更容易看出一個(gè)函數(shù)的差商是另一個(gè)函數(shù)的中值.例2.3 考慮a , b上的函數(shù)f(x)的曲線和x軸之間的面 積.若記a,b上曲邊梯形面積為F(x)(如圖4),則u,v上這塊面 積為F(v) -F(u).如果把這塊面積去高補(bǔ)低折合成長(zhǎng)為 v-u的矩形, 則矩形的高應(yīng)當(dāng)在u,v上的某兩個(gè)變量值對(duì)應(yīng)的f(x)的值之間(圖5).圖4 口空上曲邊悌形面積為F(»)也就是說，有u

10、, v上的p和q,使得下面的不等式成立：f(p)皿空 f(q) (2.3)u v上式可用語言表達(dá)為“函數(shù)F(x)的差商是f(x)的中間值” 注意，我們現(xiàn)在不知道曲邊梯形面積的數(shù)學(xué)定義.但從幾何 直觀上看，這面積應(yīng)當(dāng)存在，并且折合成長(zhǎng)為 v-u的矩形后，矩形的 高應(yīng)當(dāng)在u,v上這段曲線的某兩點(diǎn)高度之間(圖 5).圖5矩形的高在u , v上這段曲線的某兩點(diǎn)高度之間上面3個(gè)例子中，都涉及兩個(gè)函數(shù)，其中一個(gè)函數(shù)的差商是另一個(gè)函數(shù)的中間值，從這些例子中，提煉出一個(gè)問題，這是微積分的基本問題：若f(x)的差商是g(x)的中間值，知道了一個(gè)函數(shù)，如何求另一個(gè)？這個(gè)問題解決了，求作曲線切線的問題，求瞬時(shí)速度問

11、題， 求曲邊梯形面積問題就都解決了.牛頓和萊布尼茲是天才，他們一下子就想到用無窮小或用極 限來解決這些問題：無窮小也好，極限也好，都屬于天才的思想，所 以長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)使普通人困惑，普通人的平常的推理，只能想到平常的不 等式(2.1) , (2.2)和(2.3).對(duì)這些不等式，小學(xué)生都不會(huì)困惑。問題在于，從這些不等式出發(fā)，不借助無窮小或極限概念，能得到問題的答案嗎？3用平常的推理尋求答案我們已經(jīng)從3個(gè)經(jīng)典問題中提煉出來一個(gè)數(shù)學(xué)模型：若函數(shù) f(x)的差商是g(x)的中間值，知道了一個(gè)函數(shù)，如何求另一個(gè)？為了方便，引入定義3. 1若在I的任意閉子區(qū)間u，v上，函數(shù)f(x)的差 商都是g(x)的中間值，

12、則把f(x)叫做g(x)在I上的甲函數(shù)，把g(x) 叫做f(x)在I上的乙函數(shù)，顯然有 定理3.1 若g(x)是f(x)在a，b上的乙函數(shù)，又是f(x)在b，c上的乙函數(shù)，貝卩g(x)是f(x)在a，c上的乙函數(shù)，這是因?yàn)?，?duì)于任意的uvvvw,差商f(w) f(u)總在f(w) f(u) w uw u和f(v) f(u)之間的緣故.v u學(xué)過一些微積分的讀者心知肚明，f(x)的乙函數(shù)似乎就應(yīng)當(dāng)是f(x)的導(dǎo)數(shù).但是，用甲乙函數(shù)之間的差商中值關(guān)系能求導(dǎo)數(shù)嗎？例3.1 函數(shù)g(x) 2x是f(x) x2的乙函數(shù).事實(shí)上，對(duì)任意u<v, f (x) x2的差商為(3.1)f (v) f (u

13、)v2 u2u vv uv u不等式 g(u)=2u < u+v< 2v=g(v)表明，g(x) = 2x 是 f (x)的乙函數(shù).例3.2 函數(shù)g(x) 3x2是f (x) x3的乙函數(shù).這里有(3.2)f(v) f(u)v3 u322u uv vv uv u當(dāng)uv> 0時(shí)，u2 uv v2顯然在g (u) 3u2和g (v) 3v2之間；這表明，在(一汽 O和O, +C0)上，g(x) 3x2都是f(x)的乙函數(shù).因此在(一 °°,+ 00 )上函數(shù)g (x) 3x2是f (x) x3的乙函數(shù),例3.3 對(duì)任意正整數(shù)n,函數(shù)g(x) nxn1是f(x)

14、 xn的乙函數(shù).推導(dǎo)類似于上例，從略.例3.4在(0 , +°)上，函數(shù)g(x) 1_是f(x) 的乙函數(shù). 2品同樣道理，對(duì)Ovuvv有數(shù).f (v) f (u)v u 1(3.3)不等式g(v)g(u)表明，g(x)是f(x)的乙函例3.5在(0, +°)和(°°, O 上,函數(shù)g (x)丄是xf (x)-x的乙函數(shù).此時(shí)f(v) f(u)v u不等式g(u)1 1v uv u12uuvuv(3.4):4 g(v)表明，g(x)是f(x)的乙函數(shù).v例3.6在(一°, + oo)上，函數(shù) g(x)= cosx 是 f(x)= sinx的乙函

15、數(shù).只要對(duì)任意的整數(shù) n,證明在牛,豊亠上函數(shù)g(x)=cosx是 f(x)=si nx的乙函數(shù)即可.注意當(dāng) Oh時(shí)，有 sin h<h<ta nh，從而 cosh1 ；于2h是對(duì)警，苛_,豊1上的任意兩點(diǎn)u<v,有:cos(干)(3.5)v u、 八 u、 2sin()cos()sinv sinu22v u另一方面，有v u這表明，在&,呼上cosx是sInx的乙函數(shù).從而要證的結(jié)論(3.6)v u v u、2sin()cos()sin v sinu22v u、,v u、 cosu cosvcos( )cos( )2 2 2成立.例3.7在0 +R)上函數(shù)g(x)于

16、是f(x)的乙函數(shù).這個(gè)例子計(jì)算起來稍繁，但方法大體相同，對(duì)ow u<v,先計(jì)算出f(v) f(u)(、.v)3 C、u)3uv u (Y v)2(. u)2、u . vv uv (3.7)再根據(jù)ow u<v和u 、uv V估計(jì)出:3 u (、u 、. v) 3(u, uv)2(u v uv) 3(v, uv)3、v(、u 、v) (3.8)從而得到3叵 匕昇一' u 3&，表明g (x)是f (x) X2的乙函數(shù)，2vu W 222'例3.7值得注意：所得到的乙函數(shù)在包含 0的區(qū)間有定義， 但不是差商有界的.例 3.8 探索問題，g(x) 3x2 2ax

17、b是不是 f (x) x3 ax2 bx c的乙函數(shù)呢？如果對(duì)f(x)分項(xiàng)求乙函數(shù)再加起來確實(shí)得到 g(x).但是現(xiàn)在 還沒有證明分項(xiàng)計(jì)算乙函數(shù)的法則，所以只能直接計(jì)算.先求出f (x) 在u , v上的差商，記做D f(v)一v2 uv u2 a(u v) b考慮它和g(u)以及g(v)之差：2 2 2D g(u) v u uv u a(v u) (v u)(v 2u a) (3.9)2 2 2g(v) D v u v uv a(v u) (v u)(2v u a) (3.10)因?yàn)?v-u )總是正數(shù)，故當(dāng)3u+a>0時(shí)，(3.9)和(3.10)都非負(fù)，即g(u) <D<

18、g(v),說明在-,)上g(x)是f(x)的乙函數(shù)；3當(dāng) 3v+a< 0 時(shí)，(3.9)和(3.10)都非正，即 g(v) < D< g(u)，說明在 ,a上g(x)也是f(x)的乙函數(shù).這肯定了在 (°°,)上 g(x)3是f(x)的乙函數(shù).上面求出來的乙函數(shù)和用取極限方法求出來的導(dǎo)數(shù)是一樣的.普普通通的推理和天才巨匠的方法得到了相同的結(jié)論.奇怪的是，這樣平常的推理，過去居然沒人提到！由定義直接推出：定理3.2(i)函數(shù)g(x)=0是常數(shù)函數(shù)f(x)=C 的乙函數(shù).(ii) 函數(shù)g(x)=k是一次函數(shù)f(x)=kx+b的乙函數(shù).(iii) 若函數(shù)g(x)

19、是f(x)的乙函數(shù)，則函數(shù)kg (x)是kf (x) +c的乙函數(shù).(iv) 若函數(shù)g(x)是f(x)的乙函數(shù)，則函數(shù)kg (kx+c)是f(kx +c)的乙函數(shù).乙函數(shù)還有什么用？下面的定理說明，乙函數(shù)用處很大.定理3.3 設(shè)在區(qū)間I上函數(shù)g(x)是f(x)的乙函數(shù)，在I的 任意子區(qū)間u , v上，若g(x)為正則f(x)遞增；若g(x)為負(fù)則f (x) 遞減；若g(x)為0則f(x)為常數(shù).根據(jù)乙函數(shù)的定義就知道，這個(gè)命題顯然成立.上面諸例中得到的乙函數(shù)其實(shí)就是導(dǎo)數(shù).在當(dāng)前的高中教材中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)增減是導(dǎo)數(shù)的最重要的應(yīng)用，可是道理說不清楚.在大學(xué)里非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程里，也只

20、能講一部分道理，不要求完全嚴(yán)謹(jǐn)證明.因?yàn)樯婕皩?shí)數(shù)理論，板限概念和連續(xù)性， 完全說清楚至少要兩周的課時(shí).現(xiàn)在，平平常常的推理，就說清楚 了.既直觀又嚴(yán)謹(jǐn).由例3.8和定理3.3，三次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定以及最大最 小值問題就完全而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q了.新方法的好處露出了冰山一角.4導(dǎo)數(shù)概念上面幾個(gè)例子中找出來的乙函數(shù)，除了例 3.7，在有定義的 閉區(qū)間上都是差商有界的.差商有界的函數(shù)有何特色呢？定理4.1 (差商有界函數(shù)的局部保號(hào)性)設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間I上差商有界，且對(duì)任意實(shí)數(shù) A和u I有f(u)>A(或f(u)vA)，則有 一個(gè)包含u的開區(qū)間，使對(duì)一切x I都有f(x)> A(或f(x

21、)<A).證明 由f(x)在區(qū)間I上差商有界，有正數(shù)M使得對(duì)于任意x I 有 I f(x) f (u)| M |x u |，也就是f (u) M |x u| f(x) f(u) M |x u I (4.1)于是當(dāng)|x u| f(u) A (或|x u| -妙)時(shí)，就有MMf (x) f (u) M f (u) A A(或f(x) f (u) M A f(u) A) (4.2)MM證畢.保號(hào)性表明，差商有界函數(shù)在每個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值在某種意義 上是有代表性的.它能代表附近一小片的函數(shù)值.這樣具有保號(hào)性的 函教在實(shí)際問題中才有意義，才不至于因?yàn)樽宰兞康囊稽c(diǎn)誤差而引起 函數(shù)值的大波動(dòng)，不至產(chǎn)生“差

22、之毫厘，謬之千里”的后果.一般說來，具有保號(hào)性的函數(shù)叫做連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)是一 類比差商有界函數(shù)更廣泛的函數(shù).上面提到的函數(shù)y=G在o , 1上不是差商有界的，但卻是連續(xù)的.在中學(xué)如果講連續(xù)函數(shù)，涉及更多 的概念，增加了推理的難度.從應(yīng)用范圍和思想方法來看，差商有界 的函數(shù)足夠廣泛也足夠說明思路和方法的實(shí)質(zhì)， 但推理要干凈利落得 多.進(jìn)一步看，差商有界的乙函數(shù)有何特色呢？定理4.2 若在I上f(x)是F(x)的乙函數(shù)，且f(x)在I上差商有界，則有正數(shù)M使對(duì)I上的任意兩點(diǎn)u和u+h,和任意的s u , u+h(或s u+h , u)有|F(u h) F(u) f(s)h| Mh2(4.3)或等

23、價(jià)地，hz 0時(shí)有 | F(u h) F(u) f(s)| M |h|(4.4)h證明 由乙函數(shù)的意義，對(duì)I上的任意兩點(diǎn)u和u+h,有u ,u+h(或u+h , u)上的兩點(diǎn)p和q,使得f(p)F(u h) F(u)f(q) (4.5)將(4.5)的各項(xiàng)同減f (s)得f(p) f(s) F(u ? F(u) f(s)f(q)f(s) (4.6)h注意到p、q和s都在u和u+h之間，又因?yàn)閒(x)在I上差 商有界，故有正數(shù)M使得|f(q)f(s)| M|q s| M |h|(4.7)|f(p) f(s)| M|p s| M |h|結(jié)合(4.6)和(4.7)得到(4.4)，去分母后得到(4.3)

24、.而(4.3)當(dāng) h=0時(shí)仍成立.證畢.不等式(4.4)表明，當(dāng)乙函數(shù)差商有界時(shí)，只要h =v-u足夠小，甲函數(shù)在u , v上的差商和乙函數(shù)在u , v上的函數(shù)值就能非常 接近，要多么接近就可以多么接近，也就是說，當(dāng)時(shí)間段足夠小的時(shí) 候，平均速度和瞬時(shí)速度的差可以要多么小就多么小.或者說，當(dāng)函 數(shù)的曲線上兩點(diǎn)足夠接近時(shí)，過兩點(diǎn)的割線的斜率和其中一點(diǎn)處切線 的斜率的差，可以要多么小就多么小.這在物理上和幾何上都很合理， 很符合直觀的想象，現(xiàn)在我們淡化甲函數(shù)乙函數(shù)這些臨時(shí)性的語言，向傳統(tǒng)的數(shù) 學(xué)概念靠攏.定義4.1 (強(qiáng)可導(dǎo)的定義)設(shè)函數(shù)y=F(x)在I上有定義，如果存在一個(gè)定義在I上的函數(shù)f (

25、x)和正數(shù)M使得對(duì)I上的任意 點(diǎn)x和x+h(這里h可正可負(fù))成立不等式|F(x h) F(x) f (x)h| Mh2(4.8)或等價(jià)的不等式|F(U h F(u)仙| m |h|(4.9)h則稱函數(shù)y=F(x)在I上強(qiáng)可導(dǎo)，并稱f (x)是F(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn) 稱為F(x)的導(dǎo)數(shù)，記做F (x) f(x)或y f(x)，或dy f (x).dx由定理4. 2和強(qiáng)可導(dǎo)的上述定義，立刻得到：推論4.1 若在I上f(x)是F(x)的乙函數(shù)，且f(x)在I上差商有界，則F (x)強(qiáng)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)就是f(x).強(qiáng)可導(dǎo)函數(shù)是否可能有多于一個(gè)的導(dǎo)數(shù)呢？定理4.3 (強(qiáng)可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)唯一性)若F(x)在I上

26、強(qiáng)可導(dǎo)；f(x)和g(x)都是F(x)的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)一切x I,f(x) g(x)證明 用反證法.假設(shè)有 xo I，使得f(x。)g(x。)d 0 取h使xo h I且|h|洽|，由F(x)強(qiáng)可導(dǎo)，有M>O使I"。? F(x0)f(xo)| M|h|hF(x° h) F(Xo) |hg(xo)| M |h|(4.10)于是得|d | | f (xo) g(xo)|(F(x。h) F(xo)hg(Xo)(F(x。h) F(Xo)hf(X。)(F(x。h) F(x。)hg(Xo)(F(xo h) F(x°)hf(Xo)2M|h| |d|(4.11)這推出2<

27、1，矛盾.證畢,定理4.3告訴我們，一個(gè)函數(shù)的乙函數(shù)中，至多只有一個(gè)是差商有界的，它就是導(dǎo)數(shù).直觀上看，它就是例2.1中要求的瞬時(shí)速 度，就是例2.2中要求的切線的斜率.5導(dǎo)數(shù)計(jì)算初步用強(qiáng)可導(dǎo)的定義來計(jì)算導(dǎo)數(shù)，和前面計(jì)算乙函數(shù)的方法相比各有千秋.但用于探索計(jì)算的法則，有時(shí)更方便，規(guī)律性更強(qiáng).例5.1驗(yàn)證函數(shù)f(x)x3在任意區(qū)間a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，且(X3) 3x2解根據(jù)函數(shù)的差分計(jì)算結(jié)果得| f(x h) f (x) 3x2h|3xh2 h3 | |3x h | h23(| a | b |)h 2(5.1)取M=3(|a|+|b|)，由強(qiáng)可導(dǎo)定義，即得所要結(jié)論.例5.2 驗(yàn)證函數(shù)F(x) -

28、 土在任意不含0的閉區(qū)間a , b上x強(qiáng)可導(dǎo)，且(-)gx x解計(jì)算函數(shù)的差分得到F(x h) F(x)hx(x h)h h2x x(x h)(5.2)移項(xiàng)，并且設(shè) m=min|a|,|b|，則有|F(x h)h2 |2x(x h) x2(x h)h22m(5.3)取M A，由強(qiáng)可導(dǎo)定義即得所要結(jié)論.m例5.3驗(yàn)證函數(shù)G(x) .x在在任意不含0的閉區(qū)間a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，且(、&)計(jì)算函數(shù)的差商和的差，得到2jxG(x h) G(x) 1 h2.x_1L|7Xh 仮 2仮| (Jx h 仮)2x/X( h Vx)取M=h8a. ah2 x( x hx)2(5.4)由強(qiáng)可導(dǎo)定義即得所要

29、結(jié)論例5. 4 驗(yàn)證：(i)f(x)=ax+b在任意區(qū)間I上強(qiáng)可導(dǎo)，且(ax b) a (5.5)(ii)f(x) xn (n為正整數(shù))在任意區(qū)間a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，且(xn)nxn1 (5.6)解(i) 由于 |f(x+h)- f(x) - ah|=|a(x+h)- ax - ah|=0< h2，由定義可知f(x)=ax +b 強(qiáng)可導(dǎo)，且f (x) a .n(ii)由于f(xh)f(x)nn(x h) xn 1k nnx hCnxk 2khk得| f(x h)f(x)nnx1h| |nk n k k .CnXh |2n(|a|b|)n2h2(5.7)k 2取M=2n(|a| |b|)n

30、2 ,由定義可知，f(x) xn強(qiáng)可導(dǎo)，且 f (x) nxn 1由例5.4(i)可以推出，常數(shù)函數(shù)是強(qiáng)可導(dǎo)的，其導(dǎo)數(shù)為0.上面得到的結(jié)論和前面求乙函數(shù)所得可謂殊途同歸.下面對(duì)求導(dǎo)運(yùn)算基本法則作初步探討.定理5.1 (求導(dǎo)運(yùn)算的線性性質(zhì))若F(x)和G(x)都在a ,b上強(qiáng)可導(dǎo),f(x)和g(x)分別是F(x)和G(x)的導(dǎo)數(shù)，貝S(i) 對(duì)任意常數(shù)c, cF (x)在a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)是cf(x)；即(cF(x) cF(x) (5.8)(ii) F(x)+G(x)在a，b上強(qiáng)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為f(x)+g(x)；即(F(x) G(x) F (x) G(x) (5.9)(iii) 設(shè)

31、cmo,貝S F(cx+d)在口,X(或,心c cc c上強(qiáng)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)是cf(cx+d);即(F(cx d) cF (cx d) (5.10)證明(i)由F(x)在a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，f(x)是F(x)的導(dǎo)數(shù)，有M>O使2|F(x +h) - F(x) -f(x)h|< Mh于是得 |cF(x +h) - cF(x) -cf(x)h|< |cM|=M1h2，這證明了所要結(jié)論.(ii) 由F(x)和G(x)都在a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，f(x)和g(x)分別是F(x)和G(x)的導(dǎo)數(shù),有M>0使F(xh)F(x)f (x)hMh22(5.11)G(xh)G(x)g(x)hM

32、h.立得| F(x h) G(xh)(F(x)G(x)(f(x)g(x)h | 2Mh2(5.12)這證明了所要結(jié)論(這個(gè)法則如果用乙函數(shù)的辦法推導(dǎo)可要辛苦多了，不信你試試).(iii) 由F(x)在a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，f(x)是F(x)的導(dǎo)數(shù)，有M>O使在a , b上有|F(x +h) - F(x) -f(x)h|< Mhu cx dv c(x h) d記 R(x) F(u) F(cx d)(5.13)R(x h) F(v) F(c(xh) d)r(x) cf (cx d)則當(dāng)x和x+h在a d,bcd(或b d，- d)上時(shí)，對(duì)應(yīng)的V ccc和 u在a,b 上.此時(shí)有|R(x

33、h) R(x) r(x)h| F(c(x h) d) F(cx d) cf(cx d)h|F(v) F(u) f(u)(v u)| M(v u)2 (Mc2)h2(5.14)這證明了 R(x)=F(u)=F(cx+d)強(qiáng)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為r(x)=cf(cx+d).至此，多項(xiàng)式求導(dǎo)問題已經(jīng)完全解決了.利用強(qiáng)可導(dǎo)的定義不等式，有時(shí)可以做方便的近似計(jì)算.例 如求平方根的近似值.例5.5 用例5.3中得到的不等式(5.4)估計(jì)-404 ,解 在不等式(5.4)中，取x=a=4, h=0. 04 ;去分母得到20.000025-0.040.0442M| 8 4,4亦即 |、而-2.01 | < 0.0

34、00025.可見.4042.01，誤差不超過0.000025.6導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及其和乙函數(shù)的關(guān)系從定理4.3和定理5.1的證明看到，不等式(4.8)和(4.9)是很方便的工具.定理4.2指出，從差商有界的乙函數(shù)可以推出這兩 個(gè)不等式.反過來呢？下面就來探討這個(gè)問題.定理6.1 (強(qiáng)酉導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)差商有界)設(shè)F(x)在I上強(qiáng)可導(dǎo)，F(xiàn) (x) f (x)(x I)則存在M>O使得對(duì)任意u, v I，有 | f (u) f (v)| M |u v |證明 記h= u-v ,由強(qiáng)可導(dǎo)定義可知有 M>Q使對(duì)任意u,v I , 有F(u) F(v) f (v)h Mh22(6.1)F(v) F(

35、u) f (u)( h ) Mh于是有|f(u) f(v)h| |F(u) F(v) f(v)h (F(v) F(u) f (v)( h)|F(u) F(v) f (v)h | |F(v) F(u) f(v)( h)| 2Mh2(6.2)兩端約去|h|，即得所要的結(jié)論.定理6.2 (導(dǎo)數(shù)不變號(hào)則函數(shù)單調(diào))若F(x)在a , b上強(qiáng)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)f(x)在a , b上恒非負(fù)，則F(x)在a , b上單調(diào)不減； 若f(x)在a,b上恒非正，則F(x)在a,b上單調(diào)不增.證明 設(shè)f(x)在a,b上恒非負(fù).用反證法.設(shè)對(duì)于a,b上任意的u , u+ h (h>0),有F(u +h)-F(u)=d&

36、lt;O(6.3)取整數(shù)n 業(yè)，將區(qū)間u,u+h等分為n段，其中必有一段|d |v,v h使得-nF(v -) F(v) d 0 (6.4)nn因?yàn)閒 (v)> 0,由強(qiáng)可導(dǎo)定義得:I |d| |F(v -) F(v)nn于是|nd | Mh2，由nf (v)(-) | M(-)2(6.5)n n遊推出2<1,矛盾.這證明了 F在a , | d |b上單調(diào)不減.若f(x)在a,b上恒非正，則-f(x)在a , b上恒非負(fù)，于是-F(x)在a,b上單調(diào)不減，從而F(x)在a,b上單調(diào)不增.證畢,定理6.3 (估值定理)若F(x)在I上強(qiáng)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為f(x).則對(duì)I上任意兩點(diǎn)u<

37、;v,總有u , u上的兩點(diǎn)p和q,使有f (p)(v u) F(v) F(u) f(q)(v u) (6.6)證明 在u , v上構(gòu)造一個(gè)函數(shù)G(x) F(x) (F(v) F(u)(x u) (6.7)v u則有G(u) G(v)，并且G(x)強(qiáng)可導(dǎo)，G(x) f(x) F(v) F(u) (6.8)v u若G(x)在u , v上不變號(hào)，由定理 6.2知G(x)單調(diào)，由G(u) G(v)推出G(x)在U , U上為常數(shù)，從而恒有G (x)0，從(6.8)推出(6.6);若G(x)在u , v上變號(hào)，即有u,v上的兩點(diǎn)p和q,使 G'(p) <0 而G(q)>0,從(6.

38、8)也推出(6.6).證畢.+綜合定理6. 3、定理6.1和推論4.1，得到我們所期待的預(yù)料中的結(jié)論:定理6.4 函數(shù)F(x)在a,b上強(qiáng)可導(dǎo)且F (x) f(x)的充要條件，是F (x)在a , b上有差商有界的乙函數(shù)f(x).至此，在強(qiáng)可導(dǎo)的意義下， 導(dǎo)數(shù)和乙函數(shù)的關(guān)系水落石出 這 樣，一方面把常常使人困惑的導(dǎo)數(shù)概念化為清清楚楚的乙函數(shù)概念， 另一方面把找尋乙函數(shù)的計(jì)算化為比較簡(jiǎn)便的有章可循的導(dǎo)數(shù)計(jì)算， 所有這一切，都繞過了極限和無窮小，下面的推論都是顯然的推論6.1 (導(dǎo)數(shù)的正負(fù)和函數(shù)增減性的關(guān)系)若函數(shù)F在a,b 上強(qiáng)可導(dǎo)， F (x) f (x) 則(1) 若，f(x)在a,b上恒非

39、負(fù)(正)，且不在a，b的任何 子區(qū)間上恒等于0,則F(x)在a，b上嚴(yán)格遞增(減)；(2) 若f(x)在a，b上恒為0,則F(x)在a，b上為常數(shù).推論6.2(導(dǎo)數(shù)相等的函數(shù)僅相差一常數(shù))若F(x)和G(x)都在a ,b上強(qiáng)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)和G(x)的導(dǎo)數(shù)都是f(x)，則(F(x) 一 G(x) 在a , b上為常數(shù)，推論6.3 若 F(x)在a , b上強(qiáng) 可導(dǎo)且 F(a)=F(b),F (x) f (x).若 F (x)在a , b上不是常數(shù)，則必有 p a,b, q a,b,使得 f(p) 0 f (q)7 定積分和微積分基本定理直觀地說，函數(shù) f(x) 在區(qū)間 u ，v 上的定積分，就是

40、 f(x)在u , v上的這段函數(shù)曲線和x軸之間的這片曲邊梯形的代數(shù)面積.所謂代數(shù)面積，就是說，曲線 在z軸上方的部分面積為正，下方部分面積為負(fù)，正負(fù)相加得到的結(jié) 果(圖6).給了區(qū)間I上的函數(shù)f(x)，對(duì)于I中任意兩點(diǎn)u<v，對(duì)應(yīng)于 f(x)在u , v上的曲邊梯形的代數(shù)面積，可以看成二元函數(shù) S (u,v ) 的值.S(u , v)應(yīng)當(dāng)滿足兩個(gè)條件.一個(gè)條件是面積的可加性：u , v 上的面積加上v , w上的面積，等于u , w上的面積；第2個(gè)條件 是，u,v上的面積和區(qū)間u , v的長(zhǎng)度之比，應(yīng)當(dāng)是f(x)在u , v 上的平均值，根據(jù)面積的這些直觀酌性質(zhì)，抽象出下面的定義.定義

41、7.1 (積分系統(tǒng)和定積分)設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義；如果有一個(gè)二元函數(shù)S(u,v)(u I ,v I )，滿足(i) 可加性：對(duì)I上任意的u,v,w，叫有S(u,v) S(v,w) S(u,w)(ii) 中值性：對(duì)I上任意的u<v,在u , v上必有兩點(diǎn)p和q 使得 f(p)(v u) S(u,v) f(q)(v u)則稱S (u,v )是f(x)在I上的一個(gè)積分系統(tǒng).如果f(x)在I上有唯一的積分系統(tǒng)S (u,v ),則稱f(x)在(I 的子區(qū)間)u,v上可積，并稱數(shù)值S(u,v )是f(x)在u , v上的定 積分，記作S(u,v) u f (x)dx .表達(dá)式中的f(x)叫做被

42、積函數(shù)，x叫做積分變量， u 和 v 分別叫做積分的下限和上限用不同于u，v 的其他字母(如 t )來代替 x 時(shí)， S(u,x) 數(shù)值不變根據(jù)定義直接驗(yàn)證，可得下面的定理定理 7.1 設(shè) S(u,v) 是 f(x) 在 I 上的一個(gè)積分系統(tǒng)， c 是 I 上的一個(gè)點(diǎn)，令F(x)二S(c , x)，則在I上f(x)是F(x)的乙函數(shù)；反 過來，若在I上f(x)是F(x)的乙函數(shù)，令S(u, v)=F(v) 一 F(u)，則 S (u, v)是f(x)在I上的一個(gè)積分系統(tǒng).現(xiàn)在可以輕松地得到一個(gè)重要的結(jié)論了，定理 7.2 (微積分基本定理) 設(shè) F (x) 在 I 上強(qiáng)可導(dǎo)，F(xiàn) (x) f(x).令 S(u,v)=F(v)- F(u)，貝y S(u,v)是 f(x)在 I 上的唯一 積分系統(tǒng)，從而有vu f(x)dx F(v) F(u) (7.1)等式 (7.1) 就是著名的 牛頓一萊布尼茲公式 證明 由定理6.4 , F (x) f(x)是F(x)的乙函數(shù).由定理7.1 推出 S(u,v)=F(v)-F(u) 是 f(x) 在 I 上的積分系統(tǒng) .下面證明 S(u,v) 是 f(x) 在 I 上的唯一積分系統(tǒng).設(shè) R(u,v) 也是 f(x) 在 I 上的積分系統(tǒng).取 I 上任一定點(diǎn) c， 令G(x)=R(c,x)，則由