工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué))-8-彎曲剛度

1、TSINGHUA UNIVERSITY整理課件1 范欽珊教育教學(xué)工作室 FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s Education & Teaching Studios Education & Teaching Studio 整理課件2返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY整理課件3返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY整理課件4TSINGHUA UNIVERSITY整理課件5TSINGHUA UNIVERSITY整理課件6返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY整理課件7返回返回TSINGHUA UNIV

2、ERSITY整理課件8TSINGHUA UNIVERSITY整理課件9 在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，中性軸相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的這一曲線稱為梁的撓度曲線撓度曲線（deflection curve）。）。 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件10 根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列彎矩、彎曲

3、剛度之間存在下列關(guān)系：關(guān)系： EIM1TSINGHUA UNIVERSITY整理課件11橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用），用w表示；表示；變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，稱為轉(zhuǎn)角（稱為轉(zhuǎn)角（slope），用），用 表示；表示；TSINGHUA UNIVERSITY整理課件12橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移軸向位移或水平位移水平位移（horizontal displacement），用u表示。 在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度w相比為高階小量，

4、故通常不予考慮。 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件13 在在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：在下列關(guān)系： 在小變形條件下，撓度曲線較為在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即平坦，即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有于是有tanddxwxwddw w（x），稱為撓度方程（），稱為撓度方程（deflection equation）。）。 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件14TSINGHUA UNIVERSITY整理課件15 機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過(guò)大時(shí)機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過(guò)大時(shí)(圖中虛線所示圖中虛線所示)，兩齒

5、輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這就會(huì)影響兩個(gè)齒輪之間的嚙合，撓度和轉(zhuǎn)角，這就會(huì)影響兩個(gè)齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。以致不能正常工作。 同時(shí)，還會(huì)加大齒輪磨損，同時(shí)將在轉(zhuǎn)動(dòng)同時(shí)，還會(huì)加大齒輪磨損，同時(shí)將在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生很大的噪聲。的過(guò)程中產(chǎn)生很大的噪聲。 此外，當(dāng)軸的變形很大時(shí)，軸在支承處也此外，當(dāng)軸的變形很大時(shí)，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。大增加，降低軸和軸承的使用壽命。 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件16TSINGHUA UNIVERSITY

6、整理課件17返回返回TSINGHUA UNIVERSITY整理課件18TSINGHUA UNIVERSITY整理課件19TSINGHUA UNIVERSITY整理課件20EIM123222dd1dd1xwxwTSINGHUA UNIVERSITY整理課件212d1dwx22322dd1d1dwxwxEIMxw22ddTSINGHUA UNIVERSITY整理課件22EIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw,TSINGHUA UNIVERSITY整理課件23 采用向下的采用向下的w坐標(biāo)系，有坐標(biāo)系，有EIMxw22ddTSINGHUA UNIVERSITY整理課

7、件24EIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwllddTSINGHUA UNIVERSITY整理課件25TSINGHUA UNIVERSITY整理課件26TSINGHUA UNIVERSITY整理課件27梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。角。 左端固定、右端自左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為布載荷集度為q ，梁的彎曲剛，梁的彎曲剛度為度為EI 、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為l。q、EI 、l均已知。均已知。TSINGHUA UNIVERSITY整理課件28 建立建立Oxw坐標(biāo)

8、系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即無(wú)需分段。無(wú)需分段。 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件29 從坐標(biāo)為從坐標(biāo)為x的任意截面處截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束的任意截面處截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程： 21( )02M xq lxxl xTSINGHUA UNIVERSITY整理

9、課件3021( )02M xq lxxl 將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得 212EIwMq lx TSINGHUA UNIVERSITY整理課件31積分后，得到積分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxDTSINGHUA UNIVERSITY整理課件32固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD TSINGHUA UNIVERSITY整理課件33316EIwEIq lxC 4124EIwq

10、 lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEITSINGHUA UNIVERSITY整理課件34336qlxlEI 434424qwlxl xlEI 從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。 于是，將 x = l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEITSINGHUA UNIVERSITY整理課件35加力點(diǎn)加力點(diǎn)B的撓度和的撓度和支承支承A、C處的轉(zhuǎn)角。處的轉(zhuǎn)角。簡(jiǎn)支梁受力如簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。圖所示。FP、EI、l均為已均為已知。知。TSINGHUA UNIVERSITY整理課件36 因

11、為因?yàn)锽處作用有集中力處作用有集中力FP，所以需要分為，所以需要分為AB和和BC兩段兩段建立彎矩方程。建立彎矩方程。 首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承梁在支承A、C二處的約束力分別二處的約束力分別如圖中所示。如圖中所示。 在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0l/4范圍內(nèi)各截面上的范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端彎矩，只需要考慮左端A處的約束力處的約束力3FP/4；而確定梁在；而確定梁在l/4l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力處的約束力3FP/4和荷載和荷載FP。TSINGHUA UNIVERSIT

12、Y整理課件37 于是，于是，AB和和BC兩段的彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxlTSINGHUA UNIVERSITY整理課件38 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlxTSINGHUA UNIVERSITY整理課件39積分后，得積分后，得 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI11

13、3P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw其中，其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。段梁交界處的連續(xù)條件確定。 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件4012P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw 在支座在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即兩處撓度應(yīng)為零，即x0， w10; xl， w20 因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以

14、AB段與段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2TSINGHUA UNIVERSITY整理課件4112P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2D1D2 =02P211287lFCCTSINGHUA UNIVERSITY整理課件42 將所得的積分常數(shù)代入后將所得的積分常數(shù)代入后,得得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

15、22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處處的撓度和支承處A和和C的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角分別為分別為 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEITSINGHUA UNIVERSITY整理課件43 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件

16、確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程TSINGHUA UNIVERSITY整理課件44返回返回TSINGHUA UNIVERSITY整理課件45TSINGHUA UNIVERSITY整理課件46TSINGHUA UNIVERSITY整理課件47TSINGHUA UNIVERSITY整理課件48TSINGHUA UNIVERSITY整理課件49簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的截面的撓度撓度wC ；B截面的截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 B。TSINGHUA UNIVE

17、RSITY整理課件50321CCCCwwww1. .將梁上的載荷變將梁上的載荷變?yōu)槿N簡(jiǎn)單的情形。為三種簡(jiǎn)單的情形。123BBBBTSINGHUA UNIVERSITY整理課件512. .由撓度表查得由撓度表查得三三種情形種情形下下C截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB33323131161241TSINGHUA UNIVERSITY整理課件523. 應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加作用時(shí)的結(jié)果分別疊加 將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，

18、分別得到梁分別得到梁C截面的撓度和支座截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811TSINGHUA UNIVERSITY整理課件53TSINGHUA UNIVERSITY整理課件54TSINGHUA UNIVERSITY整理課件55懸臂梁懸臂梁受力如圖所示，受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的截面的撓度撓度wC和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 C。TSINGHUA UNIVERSITY整理課件561. . 首先，將梁上的載荷首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形變成有表可查的情形 為了利用撓度表中關(guān)于梁為了利用撓度表中關(guān)于梁全長(zhǎng)承受

19、均布載荷的計(jì)算結(jié)果，全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端計(jì)算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效果，在果，在AB段還需再加上集度段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。相同、方向相反的均布載荷。 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件57 分別畫出這兩種情形下的分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別形下自由端

20、的撓度和轉(zhuǎn)角分別為為 再將處理后的梁分解再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角角 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件58兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為角分別為再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,TSINGHUA UNIVERSITY整理課件5

21、9將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加疊加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487TSINGHUA UNIVERSITY整理課件60返回返回TSINGHUA UNIVERSITY整理課件61TSINGHUA UNIVERSITY整理課件62TSINGHUA UNIVERSITY整理課件63TSINGHUA UNIVERSITY整理課件64TSINGHUA UNIVERSITY整理課件65 wwmax maxTSINGHUA UNIVERSITY整理課件66鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其

22、他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的處的許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 BTSINGHUA UNIVERSITY整理課件67根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。為此，需按下列步處的轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。驟計(jì)算。BEIlaFB3P由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件68由撓度表中查得承受集中載荷

23、的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 BEIlaFB3P B根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有 TSINGHUA UNIVERSITY整理課件69B根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有 B其中，其中， 的單位為的單位為rad（弧度），而（弧度），而 的單位為（的單位為（）（度），）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑 111mmm10111m100.52063101802120643-493dTSINGHUA UNIVERSITY整理課件70返回返回TSINGHUA UNIVERSITY整理課件71T

24、SINGHUA UNIVERSITY整理課件72TSINGHUA UNIVERSITY整理課件73TSINGHUA UNIVERSITY整理課件74TSINGHUA UNIVERSITY整理課件75TSINGHUA UNIVERSITY整理課件76TSINGHUA UNIVERSITY整理課件77TSINGHUA UNIVERSITY整理課件783-3=04-3=1lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFBTSINGHUA UNIVERSITY整理課件79532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFByTSINGHUA UNIVERSITY整

25、理課件80 0ByBBBFwqwwFBxBl AMAFAyFAxFByTSINGHUA UNIVERSITY整理課件81Bl AMAFAyFByTSINGHUA UNIVERSITY整理課件82MBBl AMAFAyFAxFBxFByTSINGHUA UNIVERSITY整理課件83MBBl AMATSINGHUA UNIVERSITY整理課件84 0ByBBBBFqMMBBl AMATSINGHUA UNIVERSITY整理課件85B AlTSINGHUA UNIVERSITY整理課件86FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0B

26、l AMAFAyFAxFBTSINGHUA UNIVERSITY整理課件87wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFBTSINGHUA UNIVERSITY整理課件88FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFAxFBTSINGHUA UNIVERSITY整理課件89返回返回TSINGHUA UNIVERSITY整理課件90TSINGHUA UNIVERSITY整理課件91

27、TSINGHUA UNIVERSITY整理課件92二梁的受力二梁的受力( (包括載荷與約束力包括載荷與約束力) )是否相同？是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正確回答這些問(wèn)題，有利于理解位移與變形之間的相正確回答這些問(wèn)題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系?；リP(guān)系。TSINGHUA UNIVERSITY整理課件93FPABC TSINGHUA UNIVERSITY整理課件94TSINGHUA UNIVERSITY整理課件95TSINGHUA UNIVERSITY整理課件96 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及

28、約束條件，畫試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀出梁的撓度曲線的大致形狀TSINGHUA UNIVERSITY整理課件97TSINGHUA UNIVERSITY整理課件98TSINGHUA UNIVERSITY整理課件99TSINGHUA UNIVERSITY整理課件100 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀出梁的撓度曲線的大致形狀TSINGHUA UNIVERSITY整理課件101TSINGHUA UNIVERSITY整理課件102TSINGHUA UNIVERSITY整理課件103Bl A BBBBBMqlq2 BBBBBMwqlwqww2MBFByMAFAyBl AMAFAyMBFByTSINGHUA UNIVERSITY整理課件1040AB= 0ABAAAABqMMBl Al ABMB