備考2022練習2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（全國卷ⅱ）（含解析版）

1、2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（全國卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）=（）A2+4iB24iC2+4iD24i2（5分）設集合A=x|x|3，B=x|0，則AB=（）AB（3，4）C（2，1）D（4，+）3（5分）已知ABC中，cotA=，則cosA=（）ABCD4（5分）函數(shù)在點（1，1）處的切線方程為（）Axy2=0Bx+y2=0Cx+4y5=0Dx4y+3=05（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為（）ABCD6（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，則|=（）

2、ABC5D257（5分）設a=log3，b=log2，c=log3，則（）AabcBacbCbacDbca8（5分）若將函數(shù)y=tan（x+）（0）的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)y=tan（x+）的圖象重合，則的最小值為（）ABCD9（5分）已知直線y=k（x+2）（k0）與拋物線C：y2=8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=（）ABCD10（5分）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）A6種B12種C24種D30種11（5分）已知雙曲線的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若=4，則C的離心率為（）ABCD

3、12（5分）紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“”的面的方位（）A南B北C西D下二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（xy）4的展開式中x3y3的系數(shù)為 14（5分）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a5=5a3，則= 15（5分）設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C若圓C的面積等于，則球O的表面積等于 16（5分）求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10

4、分）設ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos（AC）+cosB=，b2=ac，求B18（12分）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（）證明：AB=AC；（）設二面角ABDC為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小19（12分）設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（nN*）（1）設bn=an+12an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項公式20（12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨

5、機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核（）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望21（12分）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為，（）求a，b的值；（）C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由22（12分）設函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個極值點x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：f（x2）2009年全國統(tǒng)一

6、高考數(shù)學試卷（理科）（全國卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）=（）A2+4iB24iC2+4iD24i【考點】A5：復數(shù)的運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】首先進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分子和分母進行乘法運算，整理成最簡形式，得到結果【解答】解：原式=，故選：A【點評】本題考查復數(shù)的乘除運算，是一個基礎題，在近幾年的高考題目中，復數(shù)的簡單的運算題目是一個必考的問題，通常出現(xiàn)在試卷的前幾個題目中2（5分）設集合A=x|x|3，B=x|0，則AB=（）AB（3，4）C（2，1）D（4，+）【考點】1E：交集及其運算

7、菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】先化簡集合A和B，再根據(jù)兩個集合的交集的意義求解【解答】解：A=x|x|3x|x3或x3，B=x|0=x|1x4，AB=（3，4），故選：B【點評】本題屬于以不等式為依托，求集合的交集的基礎題，也是高考常會考的題型3（5分）已知ABC中，cotA=，則cosA=（）ABCD【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關系菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系cosA轉(zhuǎn)化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的關系式，進而與sin2A+cos2A=1聯(lián)立方程求得cosA的值【解答】解：cotA=A為鈍角，cosA0排除A和B，再由cotA=，和sin2A+

8、cos2A=1求得cosA=，故選：D【點評】本題考查同角三角函數(shù)基本關系的運用主要是利用了同角三角函數(shù)中的平方關系和商數(shù)關系4（5分）函數(shù)在點（1，1）處的切線方程為（）Axy2=0Bx+y2=0Cx+4y5=0Dx4y+3=0【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】欲求切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而問題解決【解答】解：依題意得y=，因此曲線在點（1，1）處的切線的斜率等于1，相應的切線方程是y1=1×（x1），即x+y2=0，故選：B【點評】本小題主要考查

9、直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力屬于基礎題5（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為（）ABCD【考點】LM：異面直線及其所成的角菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；31：數(shù)形結合；44：數(shù)形結合法；5G：空間角【分析】由BA1CD1，知A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，由此能求出異面直線BE與CD1所形成角的余弦值【解答】解：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，BA1CD1，A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，設AA1

10、=2AB=2，則A1E=1，BE=，A1B=，cosA1BE=異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為故選：C【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)6（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，則|=（）ABC5D25【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】5A：平面向量及應用【分析】根據(jù)所給的向量的數(shù)量積和模長，對|a+b|=兩邊平方，變化為有模長和數(shù)量積的形式，代入所給的條件，等式變?yōu)殛P于要求向量的模長的方程，解方程即可【解答】解：|+|=，|=（+）2=2+2+2=50，得|=

11、5故選：C【點評】本題考查平面向量數(shù)量積運算和性質(zhì)，根據(jù)所給的向量表示出要求模的向量，用求模長的公式寫出關于變量的方程，解方程即可，解題過程中注意對于變量的應用7（5分）設a=log3，b=log2，c=log3，則（）AabcBacbCbacDbca【考點】4M：對數(shù)值大小的比較菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】利用對數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性進行求解當a1時函數(shù)為增函數(shù)當0a1時函數(shù)為減函數(shù)，如果底a不相同時可利用1做為中介值【解答】解：，故選A【點評】本題考查的是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，這里需要注意的是當?shù)撞幌嗤瑫r可用1做為中介值8（5分）若將函數(shù)y=tan（x+）（0）的圖象向右平移個單位長度后，與函

12、數(shù)y=tan（x+）的圖象重合，則的最小值為（）ABCD【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】根據(jù)圖象的平移求出平移后的函數(shù)解析式，與函數(shù)y=tan（x+）的圖象重合，比較系數(shù)，求出=6k+（kZ），然后求出的最小值【解答】解：y=tan（x+），向右平移個單位可得：y=tan（x）+=tan（x+）+k=k+（kZ），又0min=故選：D【點評】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的圖象的平移，待定系數(shù)法的應用，考查計算能力，是?？碱}9（5分）已知直線y=k（x+2）（k0）與拋物線C：y2=8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|

13、，則k=（）ABCD【考點】K8：拋物線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】根據(jù)直線方程可知直線恒過定點，如圖過A、B分別作AMl于M，BNl于N，根據(jù)|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，進而可知，進而推斷出|OB|=|BF|，進而求得點B的橫坐標，則點B的坐標可得，最后利用直線上的兩點求得直線的斜率【解答】解：設拋物線C：y2=8x的準線為l：x=2直線y=k（x+2）（k0）恒過定點P（2，0）如圖過A、B分別作AMl于M，BNl于N，由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，則，|OB|

14、=|BF|，點B的橫坐標為1，故點B的坐標為，故選：D【點評】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)考查了對拋物線的基礎知識的靈活運用10（5分）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）A6種B12種C24種D30種【考點】D5：組合及組合數(shù)公式菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】根據(jù)題意，分兩步，先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數(shù)，進而由事件間的相互關系，分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，分兩步，由題意可得，所有兩人各選修2門的種數(shù)C42C42=36，兩人所選兩門都相同的有為C42=6種，都不同的種數(shù)為C42=6，故選：C【

15、點評】本題考查組合公式的運用，解題時注意事件之間的關系，選用直接法或間接法11（5分）已知雙曲線的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若=4，則C的離心率為（）ABCD【考點】I3：直線的斜率；KA：雙曲線的定義菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】設雙曲線的有準線為l，過A、B分別作AMl于M，BNl于N，BDAM于D，由直線AB的斜率可知直線AB的傾斜角，進而推，由雙曲線的第二定義|AM|BN|=|AD|，進而根據(jù)，求得離心率【解答】解：設雙曲線的右準線為l，過A、B分別作AMl于M，BNl于N，BDAM于D，由直線AB的斜率為，知直線AB的傾斜角為60

16、76;BAD=60°，由雙曲線的第二定義有：=，故選：A【點評】本題主要考查了雙曲線的定義解題的關鍵是利用了雙曲線的第二定義，找到了已知條件與離心率之間的聯(lián)系12（5分）紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“”的面的方位（）A南B北C西D下【考點】LC：空間幾何體的直觀圖菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】16：壓軸題【分析】本題考查多面體展開圖；正方體的展開圖有多種形式，結合題目，首先滿足上和東所在正方體的方位，“”的面就好確定【解答】解：如圖所示故選B【點評】本題主要考查多面體的展開圖的復原

17、，屬于基本知識基本能力的考查二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（xy）4的展開式中x3y3的系數(shù)為6【考點】DA：二項式定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】先化簡代數(shù)式，再利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x，y的指數(shù)都為1求出x3y3的系數(shù)【解答】解：，只需求展開式中的含xy項的系數(shù)的展開式的通項為令得r=2展開式中x3y3的系數(shù)為C42=6故答案為6【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具14（5分）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a5=5a3，則=9【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】根據(jù)等差數(shù)列的等

18、差中項的性質(zhì)可知S9=9a5，S5=5a3，根據(jù)a5=5a3，進而可得則的值【解答】解：an為等差數(shù)列，S9=a1+a2+a9=9a5，S5=a1+a2+a5=5a3，故答案為9【點評】本題主要考查了等差數(shù)列中等差中項的性質(zhì)屬基礎題15（5分）設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C若圓C的面積等于，則球O的表面積等于8【考點】LG：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】本題可以設出球和圓的半徑，利用題目的關系，求解出具體的值，即可得到答案【解答】解：設球半徑為R，圓C的半徑為r，因為由得R2=2故球O的表

19、面積等于8故答案為：8，【點評】本題考查學生對空間想象能力，以及球的面積體積公式的利用，是基礎題16（5分）求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上【考點】N8：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】14：證明題；16：壓軸題【分析】如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，菱形ABCD各邊中點分別為M、N、P、Q，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACBD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四點在以O為圓心OM為半徑的圓上【解答】已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O求證：

20、菱形ABCD各邊中點M、N、P、Q在以O為圓心的同一個圓上證明：四邊形ABCD是菱形，ACBD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，OM=ON=OP=OQ=AB，M、N、P、Q四點在以O為圓心OM為半徑的圓上所以菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上【點評】本題考查了四點共圓的判定方法也考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）設ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos（AC）+cosB=，b2=ac，求B【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關系；HP：正弦定

21、理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】本題考查三角函數(shù)化簡及解三角形的能力，關鍵是注意角的范圍對角的三角函數(shù)值的制約，并利用正弦定理得到sinB=（負值舍掉），從而求出答案【解答】解：由cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=，sinAsinC=又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，或（舍去），于是B=或B=又由b2=ac知ba或bc所以B=【點評】三角函數(shù)給值求值問題的關鍵就是分析已知角與未知角的關系，然后通過角的關系，選擇恰當?shù)墓?，即：如果角與角相等，

22、則使用同角三角函數(shù)關系；如果角與角之間的和或差是直角的整數(shù)倍，則使用誘導公式；如果角與角之間存在和差關系，則我們用和差角公式；如果角與角存在倍數(shù)關系，則使用倍角公式18（12分）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（）證明：AB=AC；（）設二面角ABDC為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小【考點】LQ：平面與平面之間的位置關系菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；14：證明題【分析】（1）連接BE，可根據(jù)射影相等的兩條斜線段相等證得BD=DC，再根據(jù)相等的斜線段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C與平面BCD所成

23、的線面角，只需求點B1到面BDC的距離即可，作AGBD于G，連GC，AGC為二面角ABDC的平面角，在三角形AGC中求出GC即可【解答】解：如圖（I）連接BE，ABCA1B1C1為直三棱柱，B1BC=90°，E為B1C的中點，BE=EC又DE平面BCC1，BD=DC（射影相等的兩條斜線段相等）而DA平面ABC，AB=AC（相等的斜線段的射影相等）（II）求B1C與平面BCD所成的線面角，只需求點B1到面BDC的距離即可作AGBD于G，連GC，ABAC，GCBD，AGC為二面角ABDC的平面角，AGC=60°不妨設，則AG=2，GC=4在RTABD中，由ADAB=BDAG，易

24、得設點B1到面BDC的距離為h，B1C與平面BCD所成的角為利用，可求得h=，又可求得，=30°即B1C與平面BCD所成的角為30°【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題19（12分）設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（nN*）（1）設bn=an+12an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項公式【考點】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】15：綜合題【分析】（1）由題設條件知b1=a22a1=3由Sn+1=4an+2和Sn=4an1+2相減得an+1

25、=4an4an1，即an+12an=2（an2an1），所以bn=2bn1，由此可知bn是以b1=3為首項、以2為公比的等比數(shù)列（2）由題設知所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列由此能求出數(shù)列an的通項公式【解答】解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a22a1=3由Sn+1=4an+2，則當n2時，有Sn=4an1+2，得an+1=4an4an1，所以an+12an=2（an2an1），又bn=an+12an，所以bn=2bn1（bn0），所以bn是以b1=3為首項、以2為公比的等比數(shù)列（6分）（2）由（I）可得bn=an+12

26、an=32n1，等式兩邊同時除以2n+1，得所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列所以，即an=（3n1）2n2（nN*）（13分）【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要掌握等比數(shù)列的證明方法，會求數(shù)列的通項公式20（12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核（）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望【考點】B3：分層抽樣方法；CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機

27、變量的期望與方差菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；48：分析法【分析】（）這一問較簡單，關鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可另外要注意此分層抽樣與性別無關（）在第一問的基礎上，這一問處理起來也并不困難直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在總的里面抽取2人的種數(shù)即可得到答案（）求的數(shù)學期望因為的可能取值為0，1，2，3分別求出每個取值的概率，然后根據(jù)期望公式求得結果即可得到答案【解答】解：（）因為甲組有10名工人，乙組有5名工人，從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核，根據(jù)分層抽樣的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名（）因為由上問求得；在甲中抽取2名工人，故從甲組抽取

28、的工人中恰有1名女工人的概率（）的可能取值為0，1，2，3， 0 12 3 P 故E=【點評】本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計題要容易在計算P（=2）時，采用求反面的方法，用直接法也可，但較繁瑣考生應增強靈活變通的能力21（12分）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為，（）求a，b的值；（）C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由【考點】K4：橢圓的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】15：綜合題；16：壓軸題【分析】（I）設F（c，0），則直線l的方程為xyc=0，由坐標

29、原點O到l的距離求得c，進而根據(jù)離心率求得a和b（II）由（I）可得橢圓的方程，設A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入橢圓的方程中整理得方程0由韋達定理可求得y1+y2和y1y2的表達式，假設存在點P，使成立，則其充要條件為：點P的坐標為（x1+x2，y1+y2），代入橢圓方程；把A，B兩點代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程求得c，進而求得P點坐標，求出m的值得出直線l的方程【解答】解：（I）設F（c，0），直線l：xyc=0，由坐標原點O到l的距離為則，解得c=1又，（II）由（I）知橢圓的方程為設A（x1，y1）、B（x2，y2）由題意知l的斜率為一定不為0，故不妨設l：x=my+1代入橢圓的方程中整理得（2m2+3）y2+4my4=0，顯然0由韋達定理有：，假設存在點P，使成立，則其充要條件為：點P的坐標為（x1+x2，y1+y2），點P在橢圓上，即整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6又A、B在橢圓上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0將x1x2=（my1+1）（my2+1）=