2018-2019學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二《空間幾何體》全章復(fù)習(xí)與鞏固(知識講解+例題演練)

1、空間幾何體結(jié)構(gòu)及其三視圖【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).（2）能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖表示的立體模型，會用材料(如紙板)制作模型，并會用斜二測法畫出它們的直觀圖.（3）通過觀察用平行投影與中心投影這兩種方法畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1多面體的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱（以三棱柱為例）如圖：平面ABC與平面A1B1C1間的關(guān)系是

2、平行，ABC與A1B1C1的關(guān)系是全等各側(cè)棱之間的關(guān)系是：A1AB1BC1C，且A1A=B1B=C1C（2）棱錐（以四棱錐為例）如圖：一個面是四邊形，四個側(cè)面是有一個公共頂點的三角形（3）棱臺棱臺可以由棱錐截得，其方法是用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分為棱臺2旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體都可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到，畫出旋轉(zhuǎn)出下列幾何體的平面圖形及旋轉(zhuǎn)軸要點二空間幾何體的三視圖和直觀圖1空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的開關(guān)和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖2空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀

3、圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：（1）原圖形中x軸y軸z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸y軸的夾角為45o（或135o），z軸與x軸和y軸所在平面垂直；（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行、平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中減半3平行投影與中心投影平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點要點詮釋：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上的區(qū)別是：（1）觀察角度：三視圖是從三個不同位置觀察幾何體而畫出的圖形；直觀圖是從某一點觀察幾何體而畫出的圖形；（2）投影效果：三視圖是正投影下的平面圖形，直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形要點三空

4、間幾何體的表面積和體積1旋轉(zhuǎn)體的表面積名稱圖形表面積圓柱S=2r（r+）圓錐S=r（r+）圓臺 球2幾何體的體積公式（1）設(shè)棱（圓）柱的底面積為S，高為h，則體積V=Sh；（2）設(shè)棱（圓）錐的底面積為S，高為h，則體積V=Sh；（3）設(shè)棱（圓）臺的上下底面積分別為，S，高為h，則體積V=（+S）h；（4）設(shè)球半徑為R，則球的體積V=要點詮釋：1對于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決2重點掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型3要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長（正）方體、三棱錐等幾何體的三視圖【典型例題】類型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例

5、1若沿ABC三條邊的中位線折起能拼成一個三棱錐，則ABC（ ） A一定是等邊三角形 B一定是銳角三角形 C可以是直角三角形 D可以是鈍角三角形【思路點撥】在三棱錐的展開圖中：過底面任意一個頂點的三個角，應(yīng)滿足1+23，其中3為底面三角形的內(nèi)角，進而逐一分析ABC為不同形狀時沿ABC三條邊的中位線能否拼成一個三棱錐，最后結(jié)合討論結(jié)果，可得答案【答案】B【解析】在三棱錐的展開圖中： 過底面任意一個頂點的三個角，應(yīng)滿足1+23，當(dāng)ABC為銳角三角形時， 三個頂點處均滿足此條件，故能拼成一個三棱錐，當(dāng)ABC為為直角三角形時， 在斜邊中點E處不滿足條件，故不能拼成一個三棱錐，同理當(dāng)ABC為鈍角三角形時，

6、在鈍角所對邊中點處不滿足條件，故不能拼成一個三棱錐，綜上可得：ABC一定是銳角三角形，故選B【總結(jié)升華】本題考查的知識點是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，三角形形狀的判斷，其中正確理解：三棱錐的展開圖中，過底面任意一個頂點的三個角，應(yīng)滿足1+23，其中3為底面三角形的內(nèi)角，是解答的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為（ ） A梯形 B平行四邊形C可能是梯形也可能是平行四邊形 D不確定【思路點撥】根據(jù)平面ABFE平面DCGH和面面平行的限制定理得EFGH，再由FGEH得四邊形EFGH為平行四邊形【答案】B【解析】平面AB

7、FE平面DCGH，且平面EFGH分別截平面ABFE與平面DCGH得直線EF與GH，EFGH同理，F(xiàn)GEH，四邊形EFGH為平行四邊形故答案為B例2如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（ ） A該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體B該幾何體有12條棱、6個頂點C該幾何體有8個面，并且各面均為三角形D該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形【思路點撥】根據(jù)幾何體的直觀圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，由此判斷選項A、B、C正確，選項D錯誤【答案】D【解析】根據(jù)幾何體的直觀圖，得該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、

8、NA、NB、NC和ND，共12條；頂點是M、A、B、C、D和N共6個；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8個，且每個面都是三角形所以選項A、B、C正確，選項D錯誤故選D【總結(jié)升華】本題考查了利用空間幾何體的直觀圖判斷幾何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問題舉一反三：【變式】用一個平面去截正面體，使它成為形狀，大小都相同的兩個幾何體，則這樣的平面的個數(shù)有（ ）A6個 B7個 C10個 D無數(shù)個【思路點撥】根據(jù)幾何體的性質(zhì)判斷正四面體是中心對稱幾何體，利用中心對稱幾何體的性質(zhì)判斷即可【答案】D【解析】正四面體是中心對稱圖形，平面過正四面體的中心，則分成為形狀，大小

9、都相同的兩個幾何體，可判斷這樣的平面有無數(shù)個，故選D類型二空間幾何體的三視圖例3在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）【思路點撥】由正視圖和俯視圖想到三棱錐和圓錐【解析】由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體應(yīng)為一個半圓錐和一個有一側(cè)面（與半圓錐的軸截面為同一三角形）垂直于底面的三棱錐的組合體，故其側(cè)視圖應(yīng)為D【總結(jié)升華】（1）空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形（2）在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，能看見的輪廓線和棱用實線表示，擋住的線要畫成虛線舉一反三：【變式】若某幾何體的三視圖如圖所示

10、，則此幾何體的直觀圖是（ ） 【答案】A【解析】A中，的三視圖：，滿足條件；B中，的側(cè)視圖為：，與已知中三視圖不符，不滿足條件；C中，的側(cè)視圖和俯圖為：，與已知中三視圖不符，不滿足條件；D中，的三視圖為：，與已知中三視圖不符，不滿足條件；故選A例4將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（ ）【思路點撥】根據(jù)主視圖和俯視圖作出幾何體的直觀圖，找出所切棱錐的位置，得出答案【解析】由主視圖和俯視圖可知切去的棱錐為，棱在左側(cè)面的投影為，故選B舉一反三：【變式1】某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為（ ）

11、 A B C D【思路點撥】三視圖復(fù)原可知幾何體是圓錐的一半，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)，求出幾何體的表面積【答案】A【解析】由題目所給三視圖可得，該幾何體為圓錐的一半，那么該幾何體的表面積為該圓錐表面積的一半與軸截面面積的和又該半圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，所以側(cè)面積為，底面積為，觀察三視圖可知，軸截面為邊長為2的正三角形，所以軸截面面積為，則該幾何體的表面積為故選A【變式2】一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積是（ ） A1 B2 C3 D4【思路點撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個四棱錐，其較長的側(cè)棱長已知，底面是一個正方形，對角線長度已知，故先求出底面積，再求出此四棱錐

12、的高，由體積公式求解其體積即可【答案】B【解析】由題設(shè)及圖知，此幾何體為一個四棱錐，其底面為一個對角線長為2的正方形，故其底面積為由三視圖知其中一個側(cè)棱為棱錐的高，其相對的側(cè)棱與高及底面正方形的對角線組成一個直角三角形由于此側(cè)棱長為，對角線長為2，故棱錐的高為此棱錐的體積為故選B【總結(jié)升華】本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是四棱錐的體積，其公式為底面積高三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”三視圖是新課標(biāo)的新增

13、內(nèi)容，在以后的高考中有加強的可能類型三幾何體的直觀圖例5如圖所示，正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是 （） A6 B8C23 D22【思路點撥】由斜二測畫法的規(guī)則知在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸，長度保持不變，已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度為原來一半【答案】B【解析】根據(jù)水平放置平面圖形的直觀圖的畫法，可得原圖形是一個平行四邊形，如圖，對角線OB2，OA1，AB3，所以周長為8故選B【總結(jié)升華】本題考查的知識點是平面圖形的直觀圖，其中斜二測畫法的規(guī)則，能夠幫助我們快速的在直觀圖面積和原圖面積之間進行轉(zhuǎn)

14、化舉一反三：【變式】對于一個底邊在x軸上的正三角形ABC，邊長AB=2，采用斜二測畫法做出其直觀圖，則其直觀圖的面積是_【思路點撥】如圖所示，AB=AB=2，作CDx，可得因此其直觀圖的面積【答案】【解析】如圖所示， AB=AB=2，作CDx，則其直觀圖的面積故答案為：類型四空間幾何體的表面積與體積例6有一根長為3cm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？【思路點撥】把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離【解析】把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖），由題意知B

15、C=3cm，AB=4cm，點A與點C分別是鐵絲的起止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度AC=5cm，故鐵絲的最短長度為5cm【總結(jié)升華】把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是高考的一個熱點舉一反三：【變式】如圖是某個圓錐的三視圖，請根據(jù)正視圖中所標(biāo)尺寸，則俯視圖中圓的面積為_，圓錐母線長為_【答案】圓半徑r=10，面積S=100，圓錐母線例7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是_cm2，體積是_cm3 【思路點撥】由三視圖可得，原幾何體為由四個棱長為2 cm的小正方體所構(gòu)成的，代入體積公式和面積公式計算即可【答案】72，32【解析】由三視圖可得，原幾何體為由四個棱長為2 cm的小正方體所構(gòu)成的，則其表面積為22(246)=72 cm2，其體積為423=32，故答案為：72，32【總結(jié)升華】本題考查了由三視圖求幾何體的體積和表面積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量，考查空間想象力舉一反三：【變式】如圖是某簡單組合體的三視圖，則該組合體的體積為（ ） A