有限元復習問題

1、1有限元程序設(shè)計的基本原理是什么？實際上就是最小勢能原理，不同之處，即技術(shù)核心所在就是采用分段離散的方式來組合出全場幾 何域上的試函數(shù)，而不是直接尋找全場上的試函數(shù)。2有限元程序的具體實現(xiàn)步驟？請以桿系結(jié)構(gòu)為例子進行闡述說明。Ansys步驟：1進入ANSYS ； 2設(shè)置計算類型；3選擇單元類型；4定義材料參數(shù)；5定義截面; 6生成幾何模型；7網(wǎng)格劃分；8模型施加約束；9分析計算；10結(jié)果顯示；11退出系統(tǒng)。3你所了解的有限元軟件都有哪些？An sys/abuqe/markd 等4.計算力學涉及哪些領(lǐng)域？計算力學的應用范圍已擴大到固體力學、巖土力學、水力學、流體力學、生物力學等領(lǐng)域。5解決計算固

2、體力學的靜力問題都有哪些常用方法？在固體力學領(lǐng)域應用最廣泛的數(shù)值方法是有限元法， 其他數(shù)值方法還有有限差分法、加權(quán)殘量法、 邊界元法、有限條法、自由網(wǎng)格法等 。6為什么要采用有限元方法來解決工程問題？與常規(guī)解析方法有什么不同？運用有限元方法解決工程實際問題時， 不管是簡單結(jié)構(gòu)或者是復雜的結(jié)構(gòu)， 其求解過程是完全相 同的，由于每個步驟都具有標準化和規(guī)范性的特征， 可以在計算機上進行編程而自行實現(xiàn)， 這是常規(guī) 解析方法無法實現(xiàn)的。7從物理模型到有限元求解結(jié)果，中間存在哪些可能誤差？有限元分析是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個

3、合適的（較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件 （如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單 的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復 雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。按位移法求解的有限元法中，應力解答的精度要小于位移解答精度的原因：應用位移元進行有限元分析時，未知場函數(shù)是位移，從系統(tǒng)平衡方程解得的是各個結(jié)點的位移值。：=B ；嚴.：r ： = Q 廠D 代 B ；嚴!而應變矩陣也：是插值函數(shù)N 對坐標進行求導后得到的矩陣。求導一次，插值多項式的次數(shù)就 降低一次。所以通過導數(shù)運算得到

4、的應變 門和應力精度較位移 G降低了，即利用以上兩式得到 的應變和應力的解答可能具有較大的誤差。應力解的誤差表現(xiàn)于：單元內(nèi)部不滿足平衡方程單元 與單元的交界面上應力一般不連續(xù)在力的邊界上一般不滿足力的邊界條件用非協(xié)調(diào)單元反而比協(xié)調(diào)單元精度高的原因：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只 有以結(jié)點位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對單元的變形進行了約束和限制， 使單元的剛度較實際 連續(xù)體加強了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的 Ik 1較小。&有限元分析的兩種典型力學模型是什么？我們目前常用的模型是哪類？集中參數(shù)模型（彈簧一質(zhì)點體系）、基

5、于連續(xù)力學模型（梁、桁架、板殼）9桿系結(jié)構(gòu)包括那些類型？哪些結(jié)構(gòu)可以采用桿系結(jié)構(gòu)模擬，請舉例說明。用桿件相互連接組成的幾何不變體系。如連續(xù)梁、桁架、剛架、拱、懸索結(jié)構(gòu)、網(wǎng)架結(jié)構(gòu)等。10有限元法的基本思路？有限元方法的基本思路：在具備大規(guī)模計算能力的前提下，將復雜的幾何物體等效離散為一系列 的標準形狀幾何體，再在標準的幾何體上研究規(guī)范化的試函數(shù)表達及其全場試函數(shù)的構(gòu)建，然后利用最小勢能原理建立起力學問題的線性方程組。有限單元法解題步驟：結(jié)構(gòu)的離散化，即單元網(wǎng)格劃分；選擇位移模式；分析單元的力學 特征，利用幾何方程導出結(jié)點位移表示的單元應變， 利用本構(gòu)方程建立單元內(nèi)任意一點的應力與應變的關(guān)系，利用

6、變分原理建立單元的平衡方程； 集合所有單元的平衡方程，建立整個結(jié)構(gòu)的平衡方程 （即總的平衡方程），包括將剛度集成總剛，以及將單元的等效結(jié)點力列陣集成總的荷載列陣；求 解結(jié)點位移和計算單元應力，包括邊界條件修正；解方程，得到未知問題的節(jié)點值；后處理。11.掌握直接剛度法，掌握單元剛度矩陣合成整體剛度矩陣，掌握子塊搬家。12能夠采用直接剛度法求解簡單的桁架結(jié)構(gòu)受力。作業(yè)一（去年考題）P99P10513. 掌握桁架單元的整體坐標和單元坐標的轉(zhuǎn)換過程。作業(yè)一（去年考題）P99P10514. 勢能，應變能和外力功之間的關(guān)系是什么？勢能=應變能-外力功15. 求解數(shù)學模型的三種模式？強形式：偏微分方程+邊

7、界條件；弱形式：加權(quán)余量法、迦遼金法；變分形式：瑞利-里茲法16. 了解加權(quán)余量法的基本概念和實現(xiàn)流程，掌握迦遼金法（Galerkin加權(quán)殘值法）的計算。加權(quán)余量法求解流程：1.初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題的邊界條件對嘗試函數(shù)進行 修正，以簡化求解3.寫出加權(quán)余數(shù)表達式（迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù)）4.令權(quán)余數(shù)表達式在各嘗試函 數(shù)下為0,得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解。迦遼金法（Galerkin加權(quán)殘值法）：作業(yè)二第1題，P56。17. 了解變分原理的基本概念。18. 彈性力學對應的變分原理是什么？我們常用的是哪一種？彈性力學對應的變分原理是能量法， 具體有最小勢能原

8、理和最小余能原理， 其中最小勢能原理用 于位移法，是以位移作為基本的未知數(shù)；最小余能原理用于力法，以應力作為基本未知數(shù)求解。目前 常用的是最小勢能原理。19. 什么是最小勢能原理，其表述？A設(shè)有滿足位移邊界條件BC（u）的許可位移場，其中真實的位移場 ui使物體的總勢能取最小值,即：Amin 卩【（uj 二 U - WuiBC（u）20. 了解最小勢能原理的變分基礎(chǔ)，掌握桿系以及梁單元的變分原理及其推導過程 P65 （作業(yè)二）。1、桿單元，左邊固定，右邊施加一集中力麗舲關(guān)十I"煞-鬥品(£)-(EA-)為()辦.n考慮到許可位移場的性質(zhì)，它事先已滿足位移邊界條件，因此在位移

9、邊界上，它的微分增量為零,由變分方法，對泛函取極值，令 I丨=0由于u是變分增量，具有任意性，要是上式恒滿足，則有:Settin° (lie coeftlcients of 8ii in (0上)and Sli at L to zero sepeintely, => Euler Equation (EA) 00 < x < L=> Natoal bedx dxEA p = 0, at x = Zdx »2、受均布外荷載簡支梁的平面彎曲問題pTrf*v_咕討B(tài)C(u): vjr=MK-i=OBC(p): M|r.o=EJv-U=OV (x)其該問題的最

10、小勢能原理，其數(shù)學變分提法為：設(shè)有滿足位移邊界條件的許可位移場函數(shù) 中真實的一組v'（使得以下泛函取極小值，即應變能<T£dQ. *- f <7v£YdQ. a g 2外力功2刃-T何(需 )2 tZv 一 J g(JC)v(0tZv雷単普畑十心用下面來證明，由（2<55）式所得到的鞏工）就是真實的解-2 ：1 2 木陽=*Elj2（貯）就需皿一"診；泳以上的符號§為變分符號（即復合函數(shù)求微分），對上我右端的第一項作兩次分部積分，有二EI（空）應(2-56)clr-EI（豊）亦"EI（磐疋沐(2-57)二航（彩h -血

11、$（気）1“ 0；心咗乳1“ +嚴（售）血將（2-57）ft回（2加）中，考慮到許可位移場性質(zhì)（2-豳）（它滿足位移邊界條件因此在位移邊界上:r它 的微分增量為零）.即, 駙4%丄二0*則（2-56）變?yōu)轭I(lǐng)沖/（黑）|»砂（黑）|“ +JEI（獸）如血由聶小勢能原理*對系統(tǒng)的勢能口取板值，令m =0P-5S.(2-59：懐）h -【M（敕“爭可（診 _気占131¥二0(2-60：由于乳及丘（奚）具有任意性，要使（2-60）式恒満足，貝皿有(2-61：(2-62：EI(-如=0(2-<53：這就是力的邊界條件BC0） （2-51） （2-52）式以及平衡方程（249）式

12、*若再對（2J6）取一次變分即求取勢能的二次變分，有dx(2-64：由于耳/>0,則有護口 >0(2-65：21. 了解一般彈性問題的最小勢能原理的變分過程。P6722. 求解彈性問題，采用微分形式和積分形式有哪些不同之處？最常用的是哪種形式？求解過程、函數(shù)的要求及形式、泛函形式、技術(shù)關(guān)鍵、難易程度、求解精度、方程的最后形式、 方法的規(guī)范性、方法的通用性、解題范圍不同。由于工程問題非常復雜，要求所采用的方法具有較好 的規(guī)范性、較低的難度、較低的函數(shù)連續(xù)性要求、較明確的物理概念、較好的通用性。而基于最小勢 能原理的積分形式求解方法具有較明顯的綜合優(yōu)勢。23. 虛功原理的概念？變形體中

13、滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零，即巳亠-Pbb =0。24. 純彎梁的假設(shè)？當桿件受一對方向相反、作用面位于桿的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶作用時，桿件將發(fā)生彎曲變形， 受彎桿件常簡稱為梁。梁發(fā)生純彎時，其橫截面上只有彎矩一種內(nèi)力。根據(jù)平截面假定，梁的橫截面 在彎曲變形后仍保持為平面，且仍垂直于撓曲后的梁軸線。25. 什么是鐵木辛柯梁，與經(jīng)典梁的區(qū)別？鐵木辛柯梁：位移撓度的一階導數(shù)連續(xù)，如果對撓度函數(shù)和截面轉(zhuǎn)角進行獨立插值，并且考慮剪切變形的影響，這樣所構(gòu)造出來的梁單元。普通梁未考慮剪切變形的影響，而鐵木辛柯梁考慮了剪切變形的影響，

14、并對撓度函數(shù)進行獨立插 值。鐵木辛柯梁的撓度值包含了彎曲和剪切引起的變形，且長細比越小，對剪切變形的影響越大。26什么叫做剪切閉鎖，可以采用什么方法處理和避免？剪切閉鎖：除非書是常數(shù)（沒有彎曲變形），否則，dw/dx-書不會為零。避免產(chǎn)生剪切閉鎖的方法： 減縮積分、假設(shè)剪切應變、替代插值函數(shù)。27單元的剛度存儲有哪些方法？掌握半帶寬的計算。（去年考）帶寬：反應非零數(shù)據(jù)集中程度的一個指標。半帶寬存貯法：存貯上三角形（或下三角形）半帶寬以內(nèi)的元素。半寬帶的計算：di =（第i個單元中節(jié)點編號的最大差值 +1）'則整體剛度矩陣的最大半寬帶為d = max di （i=1,2,3,4 ,n）i

15、對于2D問題，=2，對于3D問題， = 328. 平面三節(jié)點三角形單元的特性？與四邊形相比，其精度如何？三節(jié)點三角形單元：是常應變單元，應變矩陣和應力矩陣為常數(shù)，對于應變梯度較大的區(qū)域，單 元劃分應適當密集，否則不能反映出應變的真實變化，從而導致較大的誤差。而四節(jié)點矩形單元，其 應變和應力為一次線形變化，這種單元的位移模式是完備和協(xié)調(diào)的， 因而比三節(jié)點常應變單元的精度 高。29. 三角形單元剛度矩陣的性質(zhì)，整體剛度矩陣的性質(zhì)。單元剛度矩陣k的性質(zhì)：單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義例如， kij表示單元第j個 自由度產(chǎn)生單位位移（j=1），其他自由度固定（=0）時，在第i個自由度產(chǎn)生的節(jié)點

16、力Fi；每一行或每 一列元素之和為零；對稱矩陣；奇異矩陣，即 k的行列式為零；常量矩陣。Kj的物理意義是：表示僅第j個自由度發(fā)生單位廣義位移時所引起的第i個自由度廣義力，它反 應了單元抵抗變形的能力。由于剛體位移不引起內(nèi)力，因此同一行或同一列的系數(shù)之和為零。整體剛度矩陣K的特性：對稱性；Kii >0；稀疏；帶狀矩陣；奇異；正定；各列 相加等于零。Kij的物理意義是：結(jié)構(gòu)第j個自由度發(fā)生單位廣義位移而其他自由度位移分量皆為零時所引起的 第i個自由度結(jié)點位移方向上結(jié)點力的大小。30. 掌握三角形單元剛度矩陣的計算，掌握三角形等效節(jié)點力的計算。31. 掌握總剛集成。掌握位移函數(shù)和形函數(shù)的概念，

17、掌握二者之間的關(guān)系。位移函數(shù)U：是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學表達式，設(shè)為坐標的函數(shù)，由于有限元法采用能量原理 進行單元分析，因而必須事先設(shè)定位移函數(shù)。但在有限元中，當單元劃分得足夠小時，把位移函數(shù)設(shè) 定為簡單的多項式就可以獲得相當好的精確度。形函數(shù)N：是用單位結(jié)點位移分量來描述位移函數(shù)的插值函數(shù)。二者關(guān)系式：u（x）=N（x）qe 33選擇單元位移函數(shù)需要滿足的條件有哪些？選擇單元位移函數(shù)應滿足一下條件：1）反映單元的剛體位移與常量應變。2）相鄰單元在公共邊界上的位移連續(xù)，即單元之間不能重疊，也不能脫離 34什么是Co階和G階問題？Co型單元：指在泛函（勢能）中位移函數(shù)出現(xiàn)的最高階導數(shù)是 1階，在

18、單元交界面上具有 0階 的連續(xù)導數(shù)，即節(jié)點上只要求位移連續(xù)。一般的桿單元、平面問題單元、空間問題單元都是Co型單丿元。Ci型單元：指在泛函（勢能）中位移函數(shù)出現(xiàn)的最高階導數(shù)是 2階，在單元交界面上具有1階 的連續(xù)導數(shù)，即節(jié)點上除要求位移連續(xù)外，還要求 1階導數(shù)連續(xù)。梁單元、板單元、殼單元都是 Ci 型單元。35.掌握基于自然坐標的矩形單元形函數(shù)的推導。線性矩形單元，沿著12叭2二厶屮I +£"4線性矩形單元，沿著43,M43 =厶川 4 +Z2lW3沿著y軸平行線："=厶丁叭2 +乙織山卷去伽）“-應“ -1RM1同理：斗Where曙（冷）=丄（1 +貓）（1廿加

19、心 WA4若原點坐標為，:' " 1,則有：eL_A-Vh兀=心+%5aor<36了解基于面積坐標的三角形單元高階形式的推導。見書14637.了解serendipity單元形函數(shù)構(gòu)造。盡量在邊界上增加節(jié)點的單元叫做 serendipity單元，P25738可以采用哪些方法提高有限元的計算精度？不同單元連接時需要注意哪些問題？1、提高計算分析精度方法：h方法、p方法、r方法、自適應方法及組合方法 h-p adaptive。 、h方法：不改變各單元上基底函數(shù)的配置情況，只通過逐步加密有限元網(wǎng)格來使結(jié)果向正確 解逼近。 、p方法：保持有限元的網(wǎng)格剖分固定不變，增加各單元上基底

20、函數(shù)的階次，從而改善計算精 度。 、r方法：不改變單元類型和單元數(shù)目，通過移動節(jié)點來減少離散誤差，因而，單元的總自由 度保持不變。 、自適應方法：運用反饋原理，利用上一步的計算結(jié)果來修改有限元模型，其計算量較小，計 算精度卻得到顯著提高。2、不同單元連接時需要注意： 、單元之間不能沒有連接； 、連接要協(xié)調(diào)，兩節(jié)點的邊不能與三節(jié)點的邊相連接； 、邊節(jié)點不能與角節(jié)點連接。39.掌握等參單元的基本概念。等參元：幾何形狀函數(shù)矩陣N中的插值階次=位移形狀函數(shù)矩陣N中的插值階次。（超參元“>”， 亞參元“ V”）40掌握雅可比矩陣的計算，掌握等參單元等效節(jié)點力的計算。作業(yè)6 （去年考題）41.掌握等參變換的條件。對于兩個坐標系，即物理坐標系（x，y）和基準坐標系（E ,n ），若要進行一對一的變換，其條件 是雅可比行列式I JIM 0,等參單元的變換作為一種坐標變換也必須服從此條件。因為如果I JI =0, 基準坐標系（E ,n ）中的面積微元將對應于物理坐標系（x, y）的一個點，顯然這種變換不是一一對應 的。另外因為I JI =0，J1將不成立，所以兩個之間偏導數(shù)的變換式也就不可能實現(xiàn)。42 如何確定高斯積分的階數(shù)？為何高斯積分點上的精度最高？通過數(shù)值分析和測試確定合理的高斯積分的階數(shù)。積分的階