因式分解的方法技巧

1、因式分解的常用方法 第一部分：方法介紹 多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng) 用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用.初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、運(yùn)用公式法. 在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因 式分

2、解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b); (2) (a b)2=a22ab+b2a2 2ab+b2=(a b)2; (3) (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4) (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); 例.已知a,b,c是ABC的三邊，且a2b2c2

3、abbcca, 則ABC的形狀是() A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D 等腰直角三角形 解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca (ab)2(bc)2(ca)20abc 三、分組分解法. (一)分組后能直接提公因式 例 1、分解因式：amanbmbn 分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提，也不能運(yùn)用 公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有 a,后兩項(xiàng)都含有 b,因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。 解：原式=(aman)(bmbn) A =a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！ =(m

4、n)(ab) 例 2、分解因式：2ax10ay5bybx 解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 第三、四項(xiàng)為一組。 解：原式=(2ax10ay)(5bybx) =2a(x5y)b(x5y) =(x5y)(2ab)= 解法二：第一、四項(xiàng)為一組； 第二、三項(xiàng)為一組。 原式=(2axbx)(10ay5by) =x(2ab)5y(2ab) (2ab)(x5y) 練習(xí)：分解因式 1、a2abacbc2、xyxy1 (二)分組后能直接運(yùn)用公式 例 3、分解因式：x2y2axay 分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式=(x2y2)(ax

5、ay) =(xy)(xy)a(xy) =(xy)(xya) 例 4、分解因式：a22abb2c2 解：原式=(a22abb2)c2 22 =(ab)c =(abc)(abc) 練習(xí)：分解因式 3、x2x9y23y4、x2y2z22yz 綜合練習(xí)：(1)x3x2yxy2y3 22 (2)axbxbxaxab (3) x2 6xy9y216a28a1 22 (4) a6ab12b9b4a (5)a42a3a29 , ,、，2,2,2,2 (6)4ax4aybxby /r22 (7)x2xyxzyzy 2_2_ (8)a2ab2b2ab1 (9)y(y2)(m1)(m1)(10)(ac)(ac)b(

6、b2a) (11)a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc(12)a3b3c33abc 四、十字相乘法. (一)二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的二次三項(xiàng)式 直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)進(jìn)行分解。 特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是 1; (2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積； (3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。 思考：十字相乘有什么基本規(guī)律 例.已知0vaw5,且a為整數(shù)，若2x23xa能用十字相乘法分解因 式，求符合條件的a. 解析： 凡是能十字相乘的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c,都要求b24ac0而且是一個(gè)完全平方數(shù)。 于是98a為完全平方數(shù)，a1 例 5、分解因式：x25x6 分析：將 6 分成

7、兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于 5。 由于 6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2 X3 的分解適合，即 2+3=5。12 解：x25x6=x2(23)x231_J3 =(x2)(x3)1x2+1x3=5 用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。 例 6、分解因式：x27x6 解：原式=x2(1)(6)x(1)(6)1 二4二： =(x1)(x6)1-6 (-1)+(-6)=-7 x210 x24 2. （二）二次項(xiàng)系數(shù)不為 1 的二次二項(xiàng)式axbxc 條件：(1)aa1a2 (2)cc1c2 2

8、axbxc=(axc1)(a2xc?) 例 7、分解因式：3x211x10 分析:練習(xí) 5、分解因式(1)x214x24(2)a2 2 15a36(3)x 4x5 練習(xí) 6、分解因式（1）x2x2 一一2一一一一 (2)y2y15 (3)ba1c2a2cl ba1c2a2c1 分解結(jié)果: a2 c2 3-5 (-6)+(-5)=-11 解：3x211x10=(x2)(3x5) 練習(xí)7、分解因式：(1)5x27x6(2)3x27x2 （三）二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的齊次多項(xiàng)式 22 例 8、分斛因式：a8ab128b 分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相 乘法進(jìn)行分解。 1

9、 8bX： 2 -16b 8b+(-16b)=-8b 解：a28ab128b2=a28b(16b)a8b(16b) =(a8b)(a16b) 練習(xí) 8、分解因 3 22222 (1)x3xy2y(2)m6mn8n(3)aab6b （四）二次項(xiàng)系數(shù)不為 1 的齊次多項(xiàng)式 例 9、2x27xy6y2 1-2y把xy看作一個(gè)整體 1、1， 2-3y1-2 (3) 10 x217x3 2 (4) 6y211y10 -22 例 10、xy3xy2 (-3y)+(-4y尸-7y(-1)+(-2)= -3 解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2) 練習(xí)9、分解因式：(1)15x27xy

10、4y2(2)a2x26ax8 綜合練習(xí)10、(1)8x67x31(2)12x21僅y15y2 22 (3)(xy)3(xy)10(4)(ab)4a4b3 22-22，一、22 (5)xy5xy6x(6)m4mn4n3m6n2 222222 x4xy4y2x4y3(8)5(ab)23(ab)10(ab) 222222 (9)4x4xy6x3yy10(10)12(xy)11(xy)2(xy) 思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc 五、換元法。 例 13、分解因式(1)2005x2(200521)x2005 (2)(x1)(x2)(x3)(x6)x2 解：(1)設(shè) 2005=a,則原式

11、=ax2(a21)xa =(ax1)(xa) (2005x1)(x2005) (2)型如abcde的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。 原式=(x27x6)(x25x6)x2 設(shè)x25x6A,則x27x6A2x ，原式=(A2x)Ax2=A22Axx2 22_2 =(Ax)=(x6x6) ,22.2.,22. 1) (xxyy)4xy(xy) 2) )(x23x2)(4x28x3)90 (3)(a21)2(a25)24(a23)2 例 14、分解因式(1)2x4x36x2x2 觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)一一是關(guān)于 x的降哥排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少 1, 并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式屬

12、于“等距離多項(xiàng)式”。 方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。 解：原式=x2(2x2x6-y)=x22(x2口)(x)6 xxxx 1 1 設(shè)xt,則x2St22xx .原式=x22(t22)t6=x22t2t10 2 221 =x2t5t2=x2x-5x2 xx _c2122 -x,2x5x,x2=2x5x2x2x1 xx =(x1)2(2x1)(x2) 練習(xí) 13、分解因式 (2)x44x3x24x1 解：原式=x2(x24x1-)=x2x22 xxx 12,912 設(shè)設(shè)x-y,貝貝Uxy2xx ，原式=x2(y24y3)=x2(y1)(y3) 2112.2 =x(x1

13、)(x3)=xx1x3x1xx 練習(xí) 14、(1)6x47x336x27x6 (2)x42x3x212(xx2) 六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。 例 15、分解因式（1）x33x24 解法 1拆項(xiàng)。 解法 2添項(xiàng)。 原式=x313x23 原式=x33x24x4x4 =(x31)(x6 x31x311) =(x1)(x2x1)3(x1)(x1) =(x1)(x2x13x3) =(x1)(x24x4)= =(x1)(x2)2= ，24、，、，、 =x(x3x4)(4x4) =x(x1)(x4)4(x1) 2、 (x1)(x4x4) (x1)(x2) x9x6x33 解：原式=(x91)(x61)(x31

14、) =(x31)(x6 x31)(x31)(x31)(x31) =(x1)(x2x1)(x62x33) 練習(xí) 15、分解因式 (1)x39x8 (3) x47x21 (5)x4y4(xy)4 (2)(x1)4(x21)2(x1)4 422 (4) xx2ax1a (6)2a2b22a2c2 2c24-4 2bcabc 七、待定系數(shù)法。 例 16、分解因式x2xy6y2x13y6 分析：原式的前 3 項(xiàng)x2xy6y2可以分為（x3y）（x2y）,則原多項(xiàng)式 必定可分為（x3ym）（x2yn） 解：設(shè)x2xy6y2x13y6=(x3y m)(x2yn) (x3ym)(x2yn)=x2xy6y2(m

15、n)x(3n2m)ymn 2-22-2 xxy6yx13y6=xxy6y (mn)x(3n2m)ymn 對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得 mn1 3n2m13,解得 mn6 .原式=(x3y2)(x2y3) 解此多項(xiàng)式。例 17、（1）當(dāng)m為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2 y2mx5y6能分解因式，并分 (2)如果x3ax2bx8有兩個(gè)因式為x1和x2,求ab的值。 (1)分析：前兩項(xiàng)可以分解為(xy)(xy),故此多項(xiàng)式分解的形式必 為(xya)(xyb) 2 ymx5y6=(xya)(xyb) 解：設(shè)x2 (2)分解因式x23xy2y25x7y6 (3)已知：x22xy3y26x14yp能分解成兩個(gè)一次因

16、式 之積，求常數(shù) p 并且分解因式。 (4)k為何值時(shí)，x22xyky23x5y2能分解成兩個(gè)一次 因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。 2222 則x2 y2mx5y6=x2 2 y(ab)x(ba)yab 比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得: abm ba5,解得: ab6 當(dāng)m1時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解; 當(dāng)m1時(shí)，原式=(xy2)(xy3)； 當(dāng)m1時(shí)，原式=(xy2)(xy3) (2)分析：x3ax2 bx8是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘, 因此第三個(gè)因式必為形如xc的一次二項(xiàng)式。 解：設(shè)x3ax2bx8=(x1)(x2)(xc) 貝貝Ux3ax2bx8=x3(3c)x2 (23c)x2c a3ca

17、7 b23c解得b14, 2c8c4 1-ab=21 22 練習(xí) 17、(1)分斛因式x3xy10yx9y2 第二部分：習(xí)題大全 經(jīng)典一： 一、填空題 1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 2 分解因式：m345-4m=. 3.分解因式：x2-4y2=. 4分解因式：x24x4=。 5.將 x-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則 n 的值 為. lc2222 6、若xy5,xy64uxyxy=,2x2y=。二、選擇題 32-223 7、多項(xiàng)式15mn5mn20mn的公因式是() A、5mnB、5mnC、5mnD、5mn 8、下列各式從左到右的

18、變形中，是因式分解的是() 八八a3a3a29a2b2abab A、B、 23 m2m3mm2m 10 .下列多項(xiàng)式能分解因式的是（） 2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4 2 11 .把（xy）（yx）分解因式為（） A.(xy)(xy1)B.(yx)(xy1) C.(yx)(yx1)D.(yx)(yx+1) 12 .下列各個(gè)分解因式中正確的是() A. 10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c) B. (ab)2(ba)2=(ab)2(ab+1) C. x(b+ca)y(abc)a+bc=(b+ca)(x+y1) D. (a2b)(3a+b)-5(2ba)2=(a2b

19、)(11b2a) 13 .若 k-12xy+9x2是一個(gè)完全平方式，那么 k 應(yīng)為() .4C 三、把下列各式分解因式： 14、nxny15、4m29n2 C、 a24a5aa4 (A)x2-y(B)x 16、 17 a32a2bab2 五、解答題 20、如圖，在一塊邊長(zhǎng)a=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個(gè)邊長(zhǎng)b=3.33cm 的正方形。求紙片剩余部分的面積。 21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑 222 dOx416x 18、 19 2 、9(mn) 2 16(mn). 22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫(xiě)出第(5)個(gè)等式。 2 x1x1x1 x41x21x

20、1x1 x81x41x21x1x1 x161x81x41x21x1x1 (5) 經(jīng)典二： 因式分解小結(jié) 知識(shí)總結(jié)歸納 因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。 1 .因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； 2 .因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3 .分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止； 4 .公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式； 5 .結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫(xiě)成哥的形式； 6 .題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7 .因式分解的一般步驟是：

21、(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首 先看有無(wú)公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不 能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利 用公式法繼續(xù)分解； (2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、 試除法、拆項(xiàng)(添項(xiàng))等方法； 下面我們一起來(lái)回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。 1. 通過(guò)基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例 1.分解因式 x5x4x3x2X1 分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把 x5x4x3和 x2x1 分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取 公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把 x5x4,x3x2

22、,x1 分別看成一組,此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。 解一：原式(x5x4x3)(x2x1) x3(x2x1)(x2x1) (x31)(x2x1) (x1)(x2x1)(x2x1) 解二：原式=(x5x4)(x3x2)(x1) x4(x1)x2(x1)(x1) (x1)(x4x1) (x1)(x42x21)x2 22 (x1)(xx1)(xx1) 2. 通過(guò)變形達(dá)到分解的目的 例 1.分解因式 x33x24 解一：將 3x2拆成 2x2x2,則有 原式 x32x2(x24) 2一一一一一一 x2(x2)(x2)(x2) 2 (x2)(x2x2) 2 (x1)(x2)2 解二：

23、將常數(shù) 4 拆成 13,則有 原式 x31(3x23) 2 (x1)(x2x1)(x1)(3x3) 八八2、 (x1)(x4x4) 2 (x1)(x2)2 3 .在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式(x24)(x210 x21)100 的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。 本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明：(x24)(x210 x21)100 (x 2)(x 2)(x 3)(x 7) 100 (x 2)(x 7)(x 2)(x 3) 100 (x2 5x 2 14)(x 5x 6) 100 設(shè) yx5x,則 原式(y14)(y6

24、)100y28y16(y4)2 無(wú)論 y取何值都有(y4)20 (x24)(x210 x21)100 的值一定是非負(fù)數(shù) 4 .因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式：(a2bc)3(ab)3(bc)3 分析：本題若直接用公式法分解，過(guò)程很復(fù)雜，觀察 a+b,b+c與 a+2b+c 的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè) a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B 原式(AB)3A3B3 n3223n33 A3AB3ABBAB 22 3A2B3AB2 3AB(AB) 3(ab)(bc)(a2bc) 說(shuō)明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要 的。 中考點(diǎn)撥 例 1.在 ABC

25、中，三邊 a,b,c滿足 a216b2c26abI0bc0 求證：ac2b 證明：a216b2c26abI0bc0 2_22_2_ a26ab9b2c210bc25b20 即(a3b)2(c5b)20 (a8bc)(a2bc)0 abc a8bc,即 a8bc0 于是有 a2bc0 即 ac2b 說(shuō)明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不 能丟分。 例 2.已知：x12,則 x3-4r xx3 解：x3-3-(x1)(x21-)xxx 1 12 (x-)(x)221 xx 2 12 11c 說(shuō)明：利用 x23(x-)22 等式化繁為易。xx 題型展示 1.若 x為任意整數(shù)，求

26、證：(7x)(3x)(4 解：(7x)(3x)(4x2)100 (x7)(x2)(x3)(x2)100 (x25x14)(x25x6)100 22 (x5x)8(x5x)16 (x25x4)20 2 (7x)(3x)(4x2)100 說(shuō)明：代數(shù)證明問(wèn)題在初二是較為困難的問(wèn)題。一個(gè)多項(xiàng)式的值不大于 100,即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形 成完全平方是一種常用的方法。 2. a2(a1)2(a2a)2分解因式，并用分解結(jié)果計(jì)算 6272422。 解：a2(a1)2(a2a)2 22-22 a2a22a1(a2a)2 222 2(a2a)1(a2a)222 (aa1) 2、

27、 x)的值不大于 100。 6272422(3661)24321849 說(shuō)明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算。 實(shí)戰(zhàn)模擬 1 .分解因式： (1) 3x510 x68x33x210 x822 (2)(a3a3)(a3a1)5 (3)x2xy3y3x5y2 (4)x37x6 2 .已知：xy6,xy1,求：x3y3的值。 3 .矩形的周長(zhǎng)是 28cm,兩邊 x,y使 x3x2yxy2y30,求矩形的面積。 6求證：n35n 是 6 的倍數(shù)。（其中 n 為整數(shù)） 5.已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且 222111111 abc1,a(-)b(-)c(-)3,求 a+b+c的值。 bccaab 已知：a

28、、b、c為三角形的三邊，比較 a2b2c2和 4a2b2的大小。 經(jīng)典三：因式分解練習(xí)題精選 一、填空：(30 分) 1、若x22(m3)x16是完全平方式，則m的值等于。 22,、2- 2、xxm(xn)貝貝Um=n= 3、2x3y2與12x6y的公因式是 mn2224 4、右、右xy=(xy)(xy)(xy),貝貝 Um=?n= 6. 21215、在多項(xiàng)式3y2?5y315y5中，可以用平方差公式分解因式的 6、若x22(m3)x16是完全平方式，則 m= 7、X2()x2(x2)(x) 2200420052006 8、已知1xxxx0,則x 9、若16(ab)2M25是完全平方式M= 2

29、_22_2 10、x6x_(x3),x9(x3) 11、若9x2ky2是完全平方式，則 k=。 12、若x24x4的值為 0,則3x212x5的值是。 13、若x2ax15(x1)(x15)則2=。 22 14、右、右xy4,xy6則xy。 15、方程x24x0,的解是。 二、選擇題：(10 分) 1、多項(xiàng)式a(ax)(xb)ab(ax)(bx)的公因式是() A、一、一 a、B、a(ax)(xb)C、a(ax)D、a(xa) 2、若mx2kx9（2x3）2，則 mk 的值分別是（） A、m=2,k=6,B、m=2k=12,C、m=4,k=-12、Dm=4,k=12、 222222/、2/、2

30、44 3、下列名式：xy,xy,xy,（x）（y）,xy中能 用平方差公 式分解因式的有（） 、1111、 4、計(jì)算（1手）（1不）（1滔）（1存）的值是（）23910 11 ,C.,D. 2010 、分解因式：（30 分） 432 1、 x2x35x 2、 、3x63x2 3、 25(x2y)24(2yx)2 22 4、x4xy14y 5、x5x 6、x31 A、1個(gè)，個(gè)，B、 2 個(gè), C、3 個(gè), D4 個(gè) A、 11 20 r2,2, 7、 axbxbxaxba 8、 x418x281 42 9、9x36y 10、(x1)(x2)(x3)(x4)24 四、代數(shù)式求值（15 分） 1、已

31、知2xy1,xy2,求2x4y3x3y4的值。 2、若 x、y互為相反數(shù)，且（x2）2（y1）24,求 x、 3、已知ab2,求（a2b2）28（a2b2）的值 五、計(jì)算：（15） 3 (1)3.662.66 4 20012000 11 22 (3)2562856222442 六、試說(shuō)明：（8 分） y的值 (2) 1、對(duì)于任意自然數(shù) n,（n7）2（n5）2都能被動(dòng) 24 整除。 2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇 數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。 七、利用分解因式計(jì)算（8 分） 1、一種光盤(pán)的外 D=1 米，內(nèi)徑的 d=厘米，求光盤(pán)的面積。（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字

32、） 2、正方形 1 的周長(zhǎng)比正方形 2 的周長(zhǎng)長(zhǎng) 96 厘米，其面積相差 960 平方厘米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。 八、老師給了一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)分別對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行了描述： 甲：這是一個(gè)三次四項(xiàng)式 乙：三次項(xiàng)系數(shù)為 1,常數(shù)項(xiàng)為 1。 丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式 ?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法 若這四個(gè)同學(xué)描述都正確請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的多項(xiàng)式，并將 它分解因式。（4 分） 經(jīng)典四: 因式分解 一、選擇題 1、代數(shù)式a3b2-1a2b3,1a3b4+a4b3,a4b2a2b4的公因式是() 22 A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3 2、用提提公因式

33、法分解因式5a(x-y)-10b-(x-y),提出的公因式應(yīng)當(dāng)為() A5a-10bB、5a+10bC、5(x-y)D、y-x 3、把一8m+12m+4m分解因式，結(jié)果是() A4m(2rn3m)B、4m(2rri+3m-1) C、4m(2m3m-1)D、2m(4rri6m+2) 4、把多項(xiàng)式一2x44x2分解因式，其結(jié)果是() A2(-x4-2x2)B、-2(x4+2x2)C、-x2(2x2+4)D、一2x2(x2+2) 5、(2)1998+(2)1999等于() A、-21998B21998C、-21999D21999 6、把16-x4分解因式，其結(jié)果是() A(2-x)4B、(4+x2)

34、(4x2) C、(4+x2)(2+x)(2-x)D、(2+x)3(2-x) 7、把a(bǔ)4-2a2b2+b4分解因式，結(jié)果是() A、a2(a22b2)+b4B、(a2-b2)2C、(a-b)4D、(a+b)2(ab)2 8、把多項(xiàng)式2x22x+2分解因式，其結(jié)果是() 2 A(2x-1)2B、2(xI)2C、(x工)2D、1(x2222 -1)2 9、若9a2+6(k-3)a+1是完全平方式，則k的值是() A 4B、土2C、3D、4或2 10、一(2xy)(2x+y)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果() A4x2y2B、4x2+y2C、4x2y2D、4x2+y2 11、多項(xiàng)式x2+3x54分解因

35、式為() A(x+6)(x-9)B、(x-6)(x+9) C、(x+6)(x+9)D、(x-6)(x-9) 二、填空題 1、2x2-4xy-2x=(x-2y-1) 2、4a3b2-10a2b3=2a2b2() 3、(1a)mn+a1=()(mn1) 4、m(m-n)2(nm)2=()() 5、x2-()+16y2=()2 6、x2()2=(x+5y)(x5y) 7、a2-4(a-b)2=()-() 8、a(x+yz)+b(x+yz)c(x+yz)=(xz)() 9、16(x-y)2-9(x+y)2=()-() 10、(a+b)3(a+b)=(a+b)()( 11、x2+3x+2=()() 12

36、、已知x2+px+12=(x2)(x-6),貝Up=. 三、解答題 1、把下列各式因式分解。 (1)x22x3(2)3y3-6y2+3y (3)a2(x-2a)2-a(x-2a)2(4)(x-2)2-x+2 (7)(x1)2(3x2)+(23x)(8)a (9)x2-11x+24 (10)y 2_ -12y-28 2 (11)x2+4x5 (12)y 4-3y3-28y2 2、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。 (1)9992+999 (2)2022-542+256X352 1997 (3) 2 1997219961998 (5)25m210mrH-n2 x) (6)12a2b(xy)4ab(y 2+5a+6

37、3、已知：x+y=1,xy=1.求x3y+2x2y2+xy3的值。2 四、探究創(chuàng)新樂(lè)園 1、若ab=2,ac=1,求(bc)2+3(b-c)+-的值。 2、求證：11111110119=119X109經(jīng)典五： 因式分解練習(xí)題 一、填空題： 1. 4a5+8aa+2*4a=-la( 2. (a-3)(3-2a)=(3-a)(32a); 3. a?l_ab3=ab(ab)( 4. fl-a-1=( 5. O.OOQ9J=(汽 和1-1-)%1D 7.1釐一/+1=) 5. 取()二(2耳一)(+舐+夕)； 9. Y-J+2yz=1-()=1)(); 10. 2ax-10ay+5by-bx=2a()

38、-b(二(X)； 11. x2+3x_10-fx)(耳)二 12. 若m23nn2=(m+a)(m+b),貝a=,b=; 3131 N1 13. x-y=(x-yXoZ 14. J-bc+at*一恥=(一+北)-()=X 15. 當(dāng)m=f,x2+2(m3)x+25是完全平方式. 二、選擇題： 1 .下列各式的因式分解結(jié)果中，正確的是 A. a2b+7abb=b(a2+7a) B. 3x2y3xy-6y=3y(x2)(x+1) C. 8xyz6x2y2=2xyz(43xy) D. 2a2+4ab6ac=2a(a+2b3c) 2 .多項(xiàng)式m(n2)m?(2n)分解因式等于 A.(n2)(m+m2)

39、B.(n2)(m m2) C.m(n2)(m+1)D,m(n2)(m -1) 3 .在下列等式中，屬于因式分解的是 A. a(xy)+b(m+n)=ax+bm-ay+bn B. a22ab+b2+1=(ab)2+1 C. 4a2+9b2=(2a+3b)(2a+3b) D. x27x8=x(x7)8 4 .下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 A.a2+b2B.a2+b2 C.a2b2D.一(a2)+b2 5.若9x2+mxy+16y2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是 A. -12 B. 24 C. 12 D. 12 6 .把多項(xiàng)式an+4an+1分解得 A. an(a4a) B. an-1(a

40、31) C. an+1(a1)(a2a+1)D.an+1(a 1)(a2+a+1) 7 .若a2+a=1,貝Ua4+2a33a24a+3的值為 A.8B.7 C.10D.12 8 .已知x2+y2+2x6y+10=0,那么x,y的值分別為 A.x=1,y=3B.x=1, y=3 C.x=-1,y=3D,x=1, y=3 9 .把(m2+3m)48(m2+3m)2+16分解因式得 A.(m+1)4(m+2)2B.(m1)2(m2)2(m2+3m -2) C.(m+4)2(m1)2D.(m+1)2(m+2)2(m2+3m 2)2 10.把x27x60分解因式，得 A.(x-10)(x+6)B.(x

41、+5)(x -12) C.(x+3)(x-20)D.(x-5)(x +12) 11.把3x22xy8y2分解因式，彳馬 A.(3x+4)(x-2)B.(3x -4)(x+2) C.(3x+4y)(x-2y)D.(3x -4y)(x+2y) 12.把a(bǔ)2+8ab33b2分解因式，得 A.(a+11)(a-3)B.(a -11b)(a-3b) C.(a+11b)(a-3b)D.(a 11b)(a+3b) 13.把x43x2+2分解因式，得 A.(x22)(x2-1)B.(x2 -2)(x+1)(x-1) C.(x2+2)(x2+1)D.(x2+2)(x+1)(x-1) 14.多項(xiàng)式x2axbx+a

42、b可分解因式為 A.(x+a)(x+b)B.(x a)(x+b) C.(xa)(xb)D.(x +a)(x+b) 15 .一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，其x2項(xiàng)的系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)是12,且能分解因式，這樣的二次三項(xiàng)式是 A. x211x12或x2+11x12 B. x2x12或x2+x12 C. x24x12或x2+4x12 D.以上都可以 16 .下歹!J各式x3x2x+1,x2+yxyx,x22xy2+1,(x2+3x)2(2x+1)2中，不含有(x1)因式的有 A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 17 .把9x2+12xy36y2分解因式為 A. (x-6y+3)(x-6x-3)

43、B. -(x-6y+3)(x-6y-3) C. (x6y+3)(x+6y3) D. -(x-6y+3)(x-6y+3) 18 .下列因式分解錯(cuò)誤的是 A. a2bc+acab=(ab)(a+c) B. ab-5a+3b-15=(b-5)(a+3) C. x2+3xy2x6y=(x+3y)(x2) D. X26xy1+9y2=(x+3y+1)(x+3y1) 19 .已知a2X2 2x+b2是完全平方式，且a,b都不為零, 則a與b的關(guān)系為 C.相等的數(shù) 意有理數(shù) 20 .對(duì)x4+4進(jìn)行因式分解，所得的正確結(jié)論是 A.不能分解因式x2+2x+2 C.(xy+2)(xy8)-2)(xy-8) 21.

44、把a(bǔ)4+2a2b2+b4a2b2分解因式為 A.(a2+b2+ab)2B.(a2+b2+ab)(a2 +b2ab) C.(a2b2+ab)(a2b2ab)D.(a2+b2一 ab)2 A.互為倒數(shù)或互為負(fù)倒數(shù) B.互為相反數(shù) D.任 B.有因式 22. (3x-1)(x+2y)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式的分解結(jié)果 A.3x2+6xyx2yB.3x26xy +x-2y C.x+2y+3x2+6xyD.x+2y 3x26xy 23. 64a8b2因式分解為 A.(64a4-b)(a4+b)B.(16a2 -b)(4a2+b) C.(8a4-b)(8a4+b)D.(8a2 -b)(8a4+b) 24. 9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2因式分解為 A.(5xy)2B.(5x+y)2 C.(3x-2y)(3x+2y)D.(5x- 2y)2 25. (2y3x)2-2(3x-2y)+1因式分解為 A.(3x-2y-1)2B.(3x+2y+1)2 C.(3x-2y+1)2D.(2y-3x1)2 26.