簡(jiǎn)單形式的柯西不等式ppt課件

1、12設(shè)設(shè) 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù). ., , ,a b c d()()2222abcd聯(lián)聯(lián) 想想由222abab 反映出的兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與乘積的大小關(guān)系,類比它的推導(dǎo)過程考慮與下面式子（涉及到四個(gè)實(shí)數(shù)，并且形式上也與平方和有關(guān)）有關(guān)的有什么不等關(guān)系:3 .,222222222222cbdadbcadcba 得展開這個(gè)乘積 ,2222222222bcadbdaccbdadbca 由于 ,222222bcadbdacdcba 即 .,2222220bdacdcbabcad 因此而.,式的含義式的含義習(xí)會(huì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二維形習(xí)會(huì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二維形通過后面的學(xué)通過后面的學(xué)項(xiàng)式項(xiàng)式式中每個(gè)括號(hào)內(nèi)都是兩式中每個(gè)

2、括號(hào)內(nèi)都是兩4.,.,4柯西不等式即二維或簡(jiǎn)單形式的的最簡(jiǎn)形式它是作用在數(shù)學(xué)和物理中有重要而且具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱的美感形式上規(guī)律明顯不僅排列個(gè)實(shí)數(shù)的特定數(shù)量關(guān)系式反映了inequalityCauchy柯柯西西不不等等式式于于是是我我們們有有式式中中的的等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)從從上上面面的的探探究究過過程程可可以以.,0 bcad.,122222等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)則都是實(shí)數(shù)若簡(jiǎn)單形式的柯西不等式定理bcadbdacdcbadcba?的證明嗎的證明嗎你能簡(jiǎn)明地寫出定理你能簡(jiǎn)明地寫出定理思考思考15證法一：如圖：證法一：如圖：XoYA(a,b)B (c,d)設(shè)設(shè) 是平面上任意的是平

3、面上任意的 兩個(gè)向量，兩個(gè)向量， 的夾角為的夾角為( , ),( , )a bc d 與那么：那么：cos 上式兩邊同時(shí)取絕對(duì)值，得：上式兩邊同時(shí)取絕對(duì)值，得：| |cos|. 又又 ，|cos| 1所以：所以：| 顯然，等號(hào)成立的條件是：向量顯然，等號(hào)成立的條件是：向量 共線。共線。( , )( , )a bc d 與| 即：將將式用坐標(biāo)表示，可得：式用坐標(biāo)表示，可得：2222abcdacbd即：即： 22222abcdacbd67證法（三）：證法（三）：（利用比較法）利用比較法） 22222abcdacbd2222222222222a ca db cb da cabcdb d222222(

4、)0.a dabcdb cadbc所以：所以： 22222abcdacbd顯然，上式當(dāng)且僅當(dāng)顯然，上式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)，“ = ” 號(hào)成立。號(hào)成立。 0adbc89.柯西不等式的幾何意義.0 ,之間的夾角為與有向量中設(shè)在平面直角坐標(biāo)系如圖dcbaxOy . |cos|,cos|, 所以我們有義的定內(nèi)積根據(jù)向量數(shù)量積 ba, dc,xyO,|cos|1 因?yàn)? | 所以 得向量的坐標(biāo)表示不等式二維用平面,.|兩邊平方2222dcbabdac .22222dcbabdac 得.,式式西西不不等等式式的的柯柯二二維維形形稱稱之之為為所所以以應(yīng)應(yīng)量量相相對(duì)對(duì)二二維維向向式式與與10. 0.,.,.,

5、1|cos|,.,0,kcdkcdbcaddckbakkbcad故即使這時(shí)存在非零實(shí)數(shù)以上不等式取等號(hào)共線時(shí)和即向量則當(dāng)且僅當(dāng)量都不是零向和如果向量式取等號(hào)以上不等則中有零向量和如果向量 ., |,等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則個(gè)個(gè)向向量量是是兩兩設(shè)設(shè)式式的的向向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2二維形式的柯西不等式是向量二維形式的柯西不等式是向量形式的柯西不等式的坐標(biāo)表示形式的柯西不等式的坐標(biāo)表示11 ?4,221121221121關(guān)系嗎個(gè)實(shí)數(shù)蘊(yùn)涵著何種大小這你能發(fā)現(xiàn)的邊長(zhǎng)關(guān)系根據(jù)的坐標(biāo)分別為設(shè)點(diǎn)中系標(biāo)坐角面直在平如圖觀察yxyxP

6、OPyxyxPPOxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,12Oxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,213 .圖圖,22122122222121yyxxyxyx容易發(fā)現(xiàn)的邊長(zhǎng)關(guān)系及三角形根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以如圖.,式中的等號(hào)成立式中的等號(hào)成立兩旁時(shí)兩旁時(shí)在原點(diǎn)在原點(diǎn)并且點(diǎn)并且點(diǎn)在同一直線上在同一直線上與原點(diǎn)與原點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)OPPOPP2121).(inequalityletriang 叫做二維形式的叫做二維形式的不等式不等式三角不等式三角不等式13簡(jiǎn)單形式的柯西不等式的一些變式變式 1:a2b2 c2d2|acbd|

7、(當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時(shí)， 等號(hào)成立)變式 2：(ab)(cd)( ac bd)2.(a，b，c，dR，當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時(shí)，等號(hào)成立)變式 3:a2b2 c2d2|ac|bd|(當(dāng)且僅當(dāng)|ad|bc|時(shí)，等號(hào)成立) 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 22222|dcba 2222dcba. |bdacdbca 14例 1:設(shè),1,a bRab 求證:114ab .例題講解15例 2 已知 3x22y26，求證：2xy 11.例題講解16規(guī)律方法 1.二維形式的柯西不等式可以理解為四個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的一種不等關(guān)系，對(duì)誰與誰組合是有順序的，不是任意的搭配，因此要仔細(xì)體會(huì)，加強(qiáng)記

8、憶例如，(a2b2)(d2c2)(acbd)2是錯(cuò)誤的，而應(yīng)有(a2b2)(d2c2)(adbc)2.2柯西不等式取等號(hào)的條件也不容易記憶，如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等號(hào)成立的條件是adbc，可以把a(bǔ)，b，c，d看作成等比，則adbc來聯(lián)想記憶17例 3 求函數(shù) y5 x1 102x的最大值例題講解18規(guī)律方法2 利用柯西不等式求最值先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；而有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一19例4 已知a，bR，且ab1.求證：(axby)2ax2by2.例題講解20定理定理1:(簡(jiǎn)單形式的柯西不等式簡(jiǎn)單形式的柯西不等式) .,)()(,22222等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)則都是實(shí)數(shù)若bc