復(fù)化辛卜生公式在公路中線坐標(biāo)計(jì)算中的應(yīng)用

1、公式(1)n-1藝 cosa k+cosai)k=1n-1藝 sina k+sina i)k=1【摘 要】在現(xiàn)有公路中線坐標(biāo)計(jì)算的公式中，對于直線、圓曲線、緩和曲線（或卵形曲線）等中樁坐標(biāo)的計(jì)算需用切線支距公式等不同的公式。而用復(fù)化辛卜生公式不僅能解決不同線形的坐標(biāo)計(jì)算所需多個公式問 題，而且計(jì)算的方向完全是可逆的，其計(jì)算精度也可根據(jù)需要自行判斷決定。【關(guān)鍵詞】辛卜生公式中線坐標(biāo)計(jì)算應(yīng)用在公路中線坐標(biāo)計(jì)算中，我們通常采用切線支距公式等不同公式來計(jì)算直線或曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)。但當(dāng) 計(jì)算不同的線形時(shí)就需用不同的計(jì)算公式，這就為計(jì)算帶來不便。尤其是在設(shè)有較小圓曲線半徑（即相對于 半徑越小而緩和曲線越長

2、時(shí)）的緩和曲線（或卵形曲線）上的坐標(biāo)計(jì)算時(shí)，如公式選用不當(dāng)或切線支距公式 所帶項(xiàng)數(shù)較少時(shí)就會出現(xiàn)較大的計(jì)算誤差，即便是能對切線支距公式進(jìn)行多項(xiàng)展開，也會增加計(jì)算的難度。 而用復(fù)化辛卜生公式不僅能解決不同曲線線型和直線上的坐標(biāo)計(jì)算問題，而且用復(fù)化辛卜生公式計(jì)算完全是可逆的（即：可順前進(jìn)方向也可逆向計(jì)算），尤其在計(jì)算第二緩和曲線和卵形曲線時(shí)顯得尤為方便。用辛卜生公式計(jì)算坐標(biāo)的精度可由人為或程序自行判斷，其計(jì)算結(jié)果也完全能保證施工放樣時(shí)坐標(biāo)計(jì)算的精度要求。因此，可以說復(fù)化辛卜生公式是一個計(jì)算公路中線各種線形坐標(biāo)的通用公式。下面筆者就該公 式在公路中線坐標(biāo)計(jì)算中的具體應(yīng)用進(jìn)行實(shí)例解析（本文以卵形曲線坐

3、標(biāo)的計(jì)算為例）、復(fù)化辛卜生公式n-1HX=XA+ 6 (cosa a+4 藝 cosa k+ 26k=0n-1Y=W+ H (sina a+4 藝 sina k+2 26k=0Ya 曲線元線元起點(diǎn)y坐標(biāo)a a曲線曲線元起方點(diǎn)切線方位角a 村-mBmes角 玄卜曲線曲線元等分點(diǎn)求點(diǎn)處方位角方位角a i曲線元上待求點(diǎn)處切線方位角，可用如下3種方法計(jì)算:1 利用公式（3）求得曲率代入公式（2）計(jì)算2利用曲線元上已知推算起點(diǎn)和終點(diǎn)曲率用內(nèi)插法求得曲率代入公式（2）計(jì)算3利用切線角公式計(jì)算 注1: 3a為推算起點(diǎn)的切線方位角，以實(shí)際推算方向?yàn)榍斑M(jìn)方向，而不是指路線設(shè)計(jì)的前進(jìn)方向。 式中：H= Zi- Z

4、a 詡ai=aA 均0（ p + p）（Zi- Za） n（公式 2）注2:當(dāng)樁號順推算曲線元前進(jìn)方向遞增且為左轉(zhuǎn)時(shí)取 -當(dāng)樁號順推算曲線元前進(jìn)方向遞增且為右轉(zhuǎn)時(shí)取 +當(dāng)樁號順推算曲線元前進(jìn)方向遞減且為左轉(zhuǎn)時(shí)取 +當(dāng)樁號順推算曲線元前進(jìn)方向遞減且為右轉(zhuǎn)時(shí)取 -p= pA + （ pB- pa） （ZlZa） Zb-Za）（ 公式 3）Z i 待求點(diǎn)樁號Z a 曲線兀推算起點(diǎn)樁號Z b 曲線元終點(diǎn)樁號Pi 曲線元上待求點(diǎn)曲率PA 曲線兀推算起點(diǎn)曲率PB 曲線兀終點(diǎn)曲率二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西寧立交A匝道一卵形曲線（相關(guān)參數(shù)見圖一、圖二、圖三,其計(jì)算略。），相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見表

5、一?，F(xiàn)用辛卜生公式來計(jì)算卵形曲線中樁坐標(biāo)：00HZ AK0+444.032200 .Ao -C30554/ 02+&3342圖一表一：卵形曲線相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)主點(diǎn)坐標(biāo)切線方位角樁號XYOZHAK0+0909987.40310059.378921726.2HY1AK0+1609968.98110125.3411322351.6YH1AK0+223.7159910.60310136.7912052433.6HY2AK0+271.8819880.43810100.9042512418.5YH2AK0+384.0329922.31610007.9093370454.2HZAK0+444.03299

6、81.36310000.0000000012'o1584%Hxz +彳耳 舊 QRI-7三圖-（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐標(biāo)（逆向），n取2等分用公式、公式（2）計(jì)算+247.798處曲線曲率及切線方位角p +247.798=1 75+(1 P0-1 T5) X (247.798-271.881)- (223.715-271.881)=0.016666667a+247.798=71 ° 24' 18.5 ” +90 X (0.016666667+1 - 75) X (247.798-271.881)- n=50° 42' 2

7、6.37 ”其它各點(diǎn)依次代入公式計(jì)算，結(jié)果見表二:O25O(25IIZ.R葛5)(3.6 )、屛50° 42'2S 37"71°"61° 37' 52.22"J4' 18 匚5"38' 0. 96"表二：曲率及切線方位角計(jì)算表樁號n等分點(diǎn)處曲線曲率n等分點(diǎn)處 切線方位角O)?2n等分點(diǎn)處曲線曲率2n等分點(diǎn)處 切線方位角O)?公式(3)計(jì)算內(nèi)插法 計(jì)算公式(3)計(jì)算內(nèi)插法 計(jì)算+271.8810.013333333=1/75712418.5+259.8400.0150.0156137

8、52.2+247.7980.0166666670.016666667504226.4+235.7570.0183333330.01833333333838 0.96+223.7150.02=1/50252436切線方位角圖示1將表中計(jì)算出的數(shù)據(jù)代入公式(1)求得+223.715中樁坐標(biāo)如下:X=9880.438+(271.881-223.715)2 心(cos71 24' 18.5” +4(cos61 37'52.22” +COS38 38' 0.96” )+2cos50 42' 26.37” + cos25 24' 35.99 ” )=9910.597

9、5(設(shè)計(jì)值：9910.603)Y=10100.904+(271.881-223.715) 2 書興(sin71 2°' 18.5” +4(sin61 37' 52.22” +sin38 38' 0.96” )+2sin50 42' 26.37” + sin25 2°' 35.99” )=10136.7945 (設(shè)計(jì)值：10136.791)注2:圖示中括號內(nèi)方位角為設(shè)計(jì)給定值(二)由+223.715推算Zi=+271.881的坐標(biāo)(順向)，n取2等分用公式計(jì)算+247.798處曲線曲率及方位角：p +247.798=1 0-(1 叼5-

10、1 為0) X (247.798-223.715)十271.881-223.715)=0.0166666667a+247.798=205° 24' 33.6” +90 X (0.016666667+1 越0) X (247.798-223.715)玄=230 °42' 23.98”勺71524' 18其它各點(diǎn)依次代入公式計(jì)算，結(jié)果見表三：樁號n等分點(diǎn)處曲線曲率n等分點(diǎn)處 切線方位角O)?2n等分點(diǎn)處曲線曲率2 n等分點(diǎn)處 切線方位角O)?公式(3)計(jì)算內(nèi)插法 計(jì)算公式(3)計(jì)算內(nèi)插法 計(jì)算+223.7150.02=1/5020524 33.6+235

11、.7570.0183333330.01833333332183758.6+247.7980.0166666660.01666666623042 24.0+259.8400.0150.0152413749.8+271.8810.013333333=1/752512418.5表三：曲率及切線方位角計(jì)算表24'16. 111(37'4 9. 83"0*(251 °6"才251 °° 24'33' 23 0 ° 4% 23.98"205-57"241 °。37' 58. 5

12、7218 37切線方位角圖示2X=9910.603+(271.881-223.715)2 書興(cos205 24' 33.6”+4(cos218 37' 58.87” +cos241 37' 49.83 ” )+2cos230 42' 23.98” + cos251 24' 16.11” )=9880.4431(設(shè)計(jì)值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715) 2書興(sin205 24 33.6” +4(sin218 37' 58.87” +sin241 37' 49.83”)+2sin230 42

13、' 23.98” + sin251 24' 16.11” )=10100.9008 (設(shè)計(jì)值：10100.904)由上可知，利用復(fù)化辛卜生公式計(jì)算路線坐標(biāo)時(shí)可順向或逆向計(jì)算。(三)前面正、反向的計(jì)算均是從卵形曲線部分推算的，現(xiàn)在我們以卵形曲線所在完整緩和曲線的推算起點(diǎn)HZ '=+368.213點(diǎn)來推算終點(diǎn)+223.715和中間點(diǎn)+271.881的坐標(biāo)緩和曲線切線角計(jì)算公式：p=90L2玄tRLs)公式則有方位角：ai=aA ±3= aA ±0L2 + tRLs)其中：R=50Ls=368.213-223.715=144.498注3 :公式(4)中&#

14、177;號判斷法則見注21.計(jì)算Zi=+223.715中樁坐標(biāo)7187.092"°24'16”旳 01' 44.0230' 09.97"99 ° 00' 05.6 "'93° 49'38.4 2"103°0105°01'34. 58'54' 02.9702.1表四：曲線元上等分點(diǎn)曲率及切線方位角計(jì)算表(n取4等分)n 等分點(diǎn)處n等分點(diǎn)處 切線方位角2n等分點(diǎn)處曲線2n等分點(diǎn)處 切線方位角樁號曲線曲率O曲率O公式(3)計(jì)算內(nèi)插法 計(jì)算公

15、式(2)計(jì)算公式(4)計(jì)算公式(3)計(jì)算內(nèi)插法 計(jì)算公式(2)計(jì)算公式(4)計(jì)算+368.2130 (直線上)108 12 02.1+350.1510.00250.0025106 54 25.16106 54 25.22+332.0890.0050.005103 01 34.33103 01 34.58+314.0260.00750.007596 33 28.8396 33 28.64+295.9640.010.0187 30 09.9787 30 9.97+277.9020.01250.012575 51 37.2275 51 37.54+259.8400.0150.01561 37 50.

16、5861 37 51.35+241.7770.01750.017544 48 48.2544 48 47.8+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58益"5切線方位角圖示3X=9890.293+(368.213-223.715)4 書興(cos108 12' 02.1 ” +4 X (cos106 54' 25.22” +cos96 33' 28.64”+ COS75 51' 37.54” + cos44 48' 47.8” )+2 X (cos103 01' 34.58” + cos87 30

17、9; 9.97” +cos61 37' 51.35” )+ COS25 24' 33.58 ”)=9910.5963(設(shè)計(jì)值：9910.603)丫=10006.838+ (368.213-223.715) 4為冷(sin108 1°' 02.1 ” +4 X (sin 106 54' 25.22” +sin96 33' 28.64”+ sin75 51' 37.54” + sin44 48' 47.8" )+2 X (sin103 01' 34.58” + sin87 30' 9.97" +s

18、in61 37' 51.35”) + sin25 24' 33.58” )=10136.7925(設(shè)計(jì)值：10136.791)2.計(jì)算zi=+271.881中樁坐標(biāo)表五：曲線元上等分點(diǎn)曲率及切線方位角計(jì)算表(n取4等分)樁號n 等分點(diǎn)處 曲線 曲率n等分點(diǎn)處 切線方位角O)?2n等分點(diǎn)處曲線 曲率2n等分點(diǎn)處 切線方位角O)?內(nèi)插法 計(jì)算公式(2)計(jì)算公式(4)計(jì)算內(nèi)插法 計(jì)算公式(2)計(jì)算公式(4)計(jì)算+368.2130108 12 02.1+356.1720.001666667107 37 32.49+344.1300.003333333105 54 02.97+332.0

19、890.005103 01 34.58+320.0470.00666666799 00 05.6+308.0060.00833333393 49 38.42+295.9640.0187 30 09.97+283.9230.01166666780 01 44.02+271.8810.013333333=1/7571 24 16.09+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58” 30' 09. 97"99° 00' 05.6 "87 3殳.1 .93° 49' 38.42 "44.0210

20、5 ° 54'103° 01'34. 58": 02.97"1O7° 37'32. 49"108° 12'切線方位角圖示4X=9890.293+(368.213-271.881)4 書興(cos108 12' 2.1” +4(cos107 37' 32.49” +cos103 01' 34.58”+ cos93 49' 38.42” + cos80 01' 44.02” )+2(cos105 54' 02.97” + cos99 00' 05.6" +cos87 30&#