有限元習(xí)題與答案

1、習(xí)題2.1 解釋如下的概念：應(yīng)力、應(yīng)變，幾何方程、物理方程、虛位移原理。解 應(yīng)力是某截面上的應(yīng)力在該處的集度。 應(yīng)變是指單元體在某一個(gè)方向上有一個(gè)U的伸長量，其相對變化量就是應(yīng)變。表示在x軸的方向上的正應(yīng)變，其包括正應(yīng)變和剪應(yīng)變。 幾何方程是表示彈性體內(nèi)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系，其完整表示如下： 物理方程：表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的方程某一點(diǎn)應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系如下：虛位移原理：在彈性有一虛位移情況下，由于作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力系，在相應(yīng)的虛位移上虛功總和為零，即為：若彈性體在已知的面力和體力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么使彈性體產(chǎn)生虛位移，所有作用在彈性體上的體力在虛位移上所做的工就等

2、于彈性體所具有的虛位能。2.2說明彈性體力學(xué)中的幾個(gè)基本假設(shè)。 連續(xù)性假設(shè)：就是假定整個(gè)物體的體積都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，不存在任何間隙。 完全彈性假設(shè)：就是假定物體服從虎克定律。 各向同性假設(shè)：就是假定整個(gè)物體是由同意材料組成的。 小變形和小位移假設(shè)：就是指物體各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，并且其應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都小于1。2.3簡述線應(yīng)變與剪應(yīng)變的幾何含義。線應(yīng)變：應(yīng)變和剛體轉(zhuǎn)動與位移導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，剪應(yīng)變表示單元體棱邊之間夾角的變化。2.4 推到平面應(yīng)變平衡微分方程。解：對于單元體而言其平衡方程：在平面中有 代入上式的 2.5 如題圖2.1所示，被三個(gè)表面隔離出來平面應(yīng)力狀態(tài)中的一點(diǎn)，求和

3、的值。解：x方向上：聯(lián)立二式得：2.6相對于xyz坐標(biāo)系，一點(diǎn)的應(yīng)力如下某表面的外法線方向余弦值為，求該表面的法相和切向應(yīng)力。解：該平面的正應(yīng)力全應(yīng)力該平面的切應(yīng)力2.7一點(diǎn)的應(yīng)力如下MP求主應(yīng)力和每一個(gè)主應(yīng)力方向的方向余弦；球該店的最大剪應(yīng)力。解：設(shè)主平面方向余弦為，由題知將代入得即 ，。最大剪應(yīng)力（1）當(dāng)時(shí)代入式（2.21）（2）當(dāng)時(shí)代入式（2.21）且2.8已知一點(diǎn)P的位移場為，求該點(diǎn)p(1,0,2)的應(yīng)變分量。解：p點(diǎn)沿坐標(biāo)方向的位移分量為u,v,w點(diǎn)p(1,0,2)處線應(yīng)變?yōu)?，剪?yīng)變?yōu)椋?.9一具有平面應(yīng)力場的物體，材料參數(shù)為E、v。有如下位移場其中，a、b、c、d是常量。求討論位移

4、場的相容性解： 因?yàn)?所以滿足相容性條件有廣義胡克定律得又則2.10一具有平面應(yīng)力場的物體，材料性質(zhì)是E=210GPa,v=0.3.并且有如下位移場當(dāng)x=0.050m,y=0.020m時(shí)，求物體的應(yīng)力和應(yīng)變。位移場是否相容？解：由廣義胡克定律，滿足相容性條件2.11對于一個(gè)沒有任何體積力的圓盤，處于平面應(yīng)力狀態(tài)。其中a, b, c, d, e, f, g, h是常量。為了使應(yīng)力滿足平衡方程和相容方程，這些常量的約束條件是什么？解：由題意得：，代入平衡方程根據(jù)廣義胡克定律：代入相容方程 （2）代入（1）得其中2.13 根據(jù)彈性力學(xué)平面問題的幾何方程，證明應(yīng)變分量滿足下列方程，并解釋該方程的意義。

5、證明：彈性力學(xué)平面問題的幾何方程為： ， ， ，將方程，分別對y和x求二階偏導(dǎo)并相加得：等式右端項(xiàng)，該方程為相容方程中的第一式，其意義為彈性體內(nèi)任一點(diǎn)都有確定的位移，且同一點(diǎn)不可能有連個(gè)不同的位移，應(yīng)變分量應(yīng)滿足相容方程，否則，變形后的微元體之間有可能出現(xiàn)開裂與重疊。2.14 假設(shè)Airy應(yīng)力函數(shù)為，其中為常數(shù)，求，并求這些變量間的約束關(guān)系。解：由，對該應(yīng)力函數(shù)求偏導(dǎo)得;對以上兩式的偏導(dǎo)可求得：考慮相容性條件,將上式代入可得各常量間的關(guān)系如下：2.15 對給定的應(yīng)力矩陣，求最大Tresca和Von.Mises應(yīng)力。將Von Mises應(yīng)力和Tresca應(yīng)力 20 10 10進(jìn)行比較，= 10

6、20 10 Mpa。10 10 20 z xy xz解：由Tresca準(zhǔn)則：= y yz 故有s=20Mpa，max=s/2=10Mpa z1=（x+y）/2=30Mpa 2=10Mpa由Von Mises準(zhǔn)則：2s2=6（xy2+yz2+yz2）解得s=30Mpa 30 -15 202.16 一點(diǎn)出的應(yīng)力狀態(tài)由應(yīng)力矩陣給出，即= -15 -25 10 Mpa，若E=70Gpa， 20 10 40 =0.33，求單位體積的應(yīng)變能。解：單位體積應(yīng)變能：=1/2Ex2+y2+z2-2u(xy+yz+zz)+2(1+u)(xy2 +xz2+yz2)u=（E-2）/2 =0.33帶入可得：=420.7

7、5J3.11 如圖3.11所示的平面三角形單元，厚度t=1cm，彈性模量E=2.0*105mpa，泊松比=0.3，試求插值函數(shù)矩陣N，應(yīng)變矩陣B，應(yīng)力矩陣S，單元剛度矩陣Ke。解：此三角形單元可得：2=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8

8、b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0B=1/2* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 0 1 0.3 0D=E/(1-2)* 1 0 =E/0.91* 0.3 1 0 0 0 (1-)/2 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0S=D*B=E/0.91* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0K=BT*D*B*

9、t*=E/36.4* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0 1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7K=BT*D*B*t*=E/36.4* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下圖中所示的三角形的單元插值函數(shù)矩陣及應(yīng)變矩陣，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u

10、2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力，求出主應(yīng)力及方向。若在單元jm邊作用有線性分布面載荷（x軸），求結(jié)點(diǎn)的的載荷分量。解：如圖2=64/3，解得以下參數(shù)：a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；N1=64/3*(19-3x-y) N2=64/3*(-2-3x-3y)N3=64/3*(6-x+4y)故N= Ni 0 Nj 0 Nm 0 0 Ni 0 Nj 0 Nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0B=1/2* 0 ci 0 cj

11、0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0=64/3* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 0D=E/(1-2)* 1 0 0 0 (1-)/2 1 0 -3 0 4 0 -1 0單元應(yīng)力矩陣S=D*B= E/13(1-2)* 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-)/2 -1 -3 -3 4 4 -1 2 1.1 -3 -u 4 3u -1 4u 2.4單元應(yīng)力=S*q= E/13(1-2)* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2 (u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-

12、1)/2 2.4 1.43.13 解：二維單元在x,y坐標(biāo)平面內(nèi)平移到不同位置，單元剛度矩陣相同，在平面矩陣180°時(shí)變化，單元作上述變化時(shí)，應(yīng)力矩陣不變化。（0,1）（2,1）3.14（2,0）（0,0）yx解：令，而，單元單元：由和擴(kuò)充KZ（總剛度陣）而，其中，化簡得：則，3.15如圖所示有限元網(wǎng)格，單元厚度，彈性模量，泊松比?；卮鹣率鰡栴}：（1）結(jié)點(diǎn)如何編號才能使結(jié)構(gòu)剛度矩陣帶寬最??？（2）如何設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動？ （3）形成單元剛度矩陣并集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣。（4）如果施加一定載荷，擬定求解步驟。(1) (2) （3）解：1、節(jié)點(diǎn)編號如圖(2)所示；2、如圖(

13、3)設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動；3、如圖(2)所示各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(以m為單位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12)解：單元號123456相鄰結(jié)點(diǎn)134557225466343678對于單元號1：；對于單元號2：；對于單元號3：；對于單元號4：；對于單元號5：；對于單元號6：；平面三角形單元的面積均為 彈性矩陣均為 應(yīng)變矩陣應(yīng)力矩陣單元剛度矩陣結(jié)構(gòu)剛度矩陣為：若施加一定載荷，求解步驟為：1、對單元編號，并列出各單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)號；2、計(jì)算外載荷的

14、等效結(jié)點(diǎn)力，列出結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)載荷列陣；3、計(jì)算單元剛度矩陣，組集結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣4、引入邊界條件，即根據(jù)約束情況修正結(jié)構(gòu)有限元方程，特別是消除整體剛度矩陣的奇異性，得到考慮約束條件的可解的有限元方程。5、利用線性方程組的數(shù)值解法，對結(jié)構(gòu)的有限元方程進(jìn)行求解，得到所有各結(jié)點(diǎn)的位移向量。最后根據(jù)需要求解單元應(yīng)力。3.16一長方形薄板如圖所示。其兩端受均勻拉伸。板長12cm,寬4cm，厚1cm。材料，泊松比。均勻拉力。使用有限元法求解板的內(nèi)應(yīng)力，并和精確解比較（提示：可利用結(jié)構(gòu)對稱性，并用2個(gè)三角形單元對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散）。解：解：結(jié)點(diǎn)編號 12 34單元號12X坐標(biāo) 012 012相鄰結(jié)點(diǎn)13Y坐標(biāo) 00

15、 442234平面三角形單元的面積均為 應(yīng)力矩陣為：單元1的應(yīng)變距陣為：單元1的單元剛度矩陣為：單元2的應(yīng)變距陣為：單元2的單元剛度矩陣為：總剛度矩陣為：位移分量為：載荷列陣為：因?yàn)?可以得單元1的單元應(yīng)力： 單元2的單元應(yīng)力： 長方形薄板內(nèi)應(yīng)力的精確解為：拉應(yīng)力，用有限元法求解出的結(jié)果與精確解大致相等。3.17 驗(yàn)證三角形單元的位移差值函數(shù)滿足及。解：平面三角形形函數(shù)為：，其中，分別是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式。行列式中，任一行的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行的元素與其它行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，故有：當(dāng)，同時(shí)有，同理也有：，

16、即。3.18 推導(dǎo)如圖所示的9節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)。解:三維桿單元的形狀函數(shù)， 在局部坐標(biāo)系中令節(jié)點(diǎn)1,5,2所對應(yīng)的帶入式得到節(jié)點(diǎn)1,5,2僅在x方向上的形函數(shù)： 同理可得：由，即節(jié)點(diǎn)2,6,3，可得到沿著全局坐標(biāo)系y軸的形狀函數(shù)(通過變量輪換)，節(jié)點(diǎn)1的形函數(shù)即x，y方向的乘積：由此可得：同理可整理得：，3.19 如圖所示為一個(gè)桁架單元，端點(diǎn)力為U1，U2，端點(diǎn)位移為u1，u2，設(shè)內(nèi)部任一點(diǎn)的軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù)：推導(dǎo)其形函數(shù)矩陣N。解：軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù)，寫成向量形式為，設(shè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入向量形式的位移函數(shù)解得：則由位移函數(shù)可得形函數(shù)為：4.1 答：軸對稱三角形環(huán)

17、單元不是常應(yīng)變單元，如果彈性體的幾何形狀、約束條件及載荷都對稱于某一軸，則所有的位移應(yīng)變及應(yīng)力也是對稱于此軸，這樣問題稱為軸對稱。軸對稱三角形環(huán)單元與平面常應(yīng)變單元是不同的，軸對稱三角形環(huán)單元的應(yīng)變不是常數(shù)矩陣，其應(yīng)變矩陣B=B B B,其中B=，（i,j,m）。應(yīng)變分量，都是常量，但環(huán)向應(yīng)變不是常量，它與，中的r和z有關(guān)。4.2 答：軸對稱問題中，剛度自由度：環(huán)向位移，徑向位移，軸向位移。以三角環(huán)單元平均半徑、平均高度進(jìn)行計(jì)算的單元剛度矩陣，配合以精確積分所得的等效結(jié)點(diǎn)載荷矩陣，計(jì)算的結(jié)果還是不錯(cuò)的！4.3 軸對稱問題的兩個(gè)單元a和b，設(shè)材料的彈性模量為E，泊松比為 = 0.15，試手算這兩

18、個(gè)單元的剛度矩陣。解：對于單元，由題可知：單元a的截面面積為單元a的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以的剛度矩陣為對于單元，由題可知單元的截面面積為單元的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以單元的剛度矩陣為5.1 答：桿件受到縱向（平行于桿軸）載荷的作用，這樣桿件的拉壓問題；桿件受到橫向（垂直于桿軸）載荷的作用，這是梁的彎曲問題。桿件受到力相似到薄板就有，薄板受到縱向載荷的作用，這是平面應(yīng)力問題；薄板受到橫向載荷的作用，這是薄板的彎曲問題。薄板的彎曲可以認(rèn)為是梁彎曲的推廣，是雙向的彎曲問題，中面法線在變形后保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線，中面在變形后，其線段和

19、面積的投影形狀保持不變（小撓度薄板）。已知中面的撓度，而縱向位移、，主要應(yīng)力分量，。某一點(diǎn)的位移：，。某一點(diǎn)的應(yīng)力：,彈性曲面微分方程,其中板的抗撓剛度。5.2 答：矩形薄板單元：薄板單元位移函數(shù)并不滿足連續(xù)性或相容性要求，采用這種位移函數(shù)的單元是非協(xié)調(diào)單元，這種四節(jié)點(diǎn)矩形彎曲單元變形后，其撓度面在單元間雖然互相連續(xù)，但其法向?qū)?shù)并不連續(xù)，單元間在變形后是不連續(xù)光滑（有棱）的，當(dāng)單元逐漸取小的時(shí)候，還能夠收斂于精確解。三角形薄板單元：常使用面積坐標(biāo)，分析表明，只以撓度 及其一階導(dǎo)數(shù) 作為節(jié)點(diǎn)的位移函數(shù)用一般的形狀函數(shù)是不可能構(gòu)造滿足相容性的薄板單元，需再加上二階導(dǎo)數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)。在相鄰單元之間

20、，撓度是連續(xù)的，但法向的斜率是不連續(xù)的，這種位移模式是非協(xié)調(diào)單云，收斂不如矩形單元，單元足夠小，節(jié)點(diǎn)增多，如六節(jié)點(diǎn)三角形，九節(jié)點(diǎn)三角形等。5.3談?wù)撛谄矫鎽?yīng)力和彎曲狀態(tài)組合的情況下，三角形剛度矩陣的特點(diǎn)（1） 平面內(nèi)的作用力產(chǎn)生的變形不影響彎曲變形，反之亦然（2） 節(jié)點(diǎn)把轉(zhuǎn)向 在兩種應(yīng)力狀態(tài)下都不加入到變形中，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力也不存在，將平面應(yīng)力狀態(tài)和彎曲狀態(tài)加以組合后，單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量是 要指出的是，在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)位移不包括 ，但為了下一步將局部坐標(biāo)系的單元剛度陣換到總體坐標(biāo)系下進(jìn)行集成，由于平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)力和平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移 互不影響，彎曲應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)

21、點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移互不影響，所以組合應(yīng)力狀態(tài)下的平板、薄板單元的單元剛度矩陣如下：，=其中矩陣和分別是平面應(yīng)力問題和薄板彎曲問題的相應(yīng)子矩陣，三角形單元的單元剛度矩陣是18×18矩陣。6.1 結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性：結(jié)構(gòu)的固有頻率及其相應(yīng)的模型，以及在隨著時(shí)間而變形的外加激振力的激勵下，機(jī)器或結(jié)構(gòu)被激起的位移，應(yīng)力或稱被激起的動力響應(yīng)，機(jī)械產(chǎn)品的動態(tài)性能是其重要的性能指標(biāo)，尤其對現(xiàn)代復(fù)雜、高速、重載精密機(jī)械系統(tǒng)，動態(tài)性能是影響其工作性能及產(chǎn)品指標(biāo)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，機(jī)械結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性問題早在上個(gè)世紀(jì)30年代就引起人們的重視，動態(tài)特性的發(fā)展為機(jī)械動態(tài)設(shè)計(jì)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。6.2 結(jié)構(gòu)離散

22、后，在運(yùn)動狀態(tài)各節(jié)點(diǎn)的動力平衡為：其中,分別以慣性力、阻尼力和動力載荷均為矢量，為彈性力，彈性力矢量可用節(jié)點(diǎn)位移和剛度矩陣表示為：=式中剛度矩陣的元素為節(jié)點(diǎn)j的單位位移在節(jié)點(diǎn)i引起的彈性力，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可利用質(zhì)量矩陣和節(jié)點(diǎn)加速度表示慣性如下：=式中質(zhì)量矩陣為節(jié)點(diǎn)j的單位加速度在節(jié)點(diǎn)i引起的慣性力，設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼（滯粘），可用阻尼矩陣C和節(jié)點(diǎn)速度，表示阻尼如下：=，將各式帶入：+=，記=，=。則運(yùn)動方程：+=6.3單元的質(zhì)量矩陣：= 質(zhì)量矩陣是對稱陣，各節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量互相耦合，即平動慣性和轉(zhuǎn)動慣性之間耦合，如果把單元的一致質(zhì)量集中的分配在它們的節(jié)點(diǎn)上，則此質(zhì)量矩陣成為集中質(zhì)量矩陣質(zhì)量分配原則：按靜

23、力學(xué)平行力的分配法則，將單元的一致質(zhì)量矩陣用集中于節(jié)點(diǎn)外的質(zhì)量來代替，形函數(shù)計(jì)算所得的M稱為一致質(zhì)量矩陣。6.5 結(jié)構(gòu)阻尼（只與結(jié)構(gòu)本身材料性質(zhì)有關(guān)）結(jié)構(gòu)在自由振動過程中，如果沒有能量的耗散，振動將永遠(yuǎn)保持由初始條件決定的振幅持續(xù)不停，但實(shí)際上，結(jié)構(gòu)自由振動的振幅都會隨時(shí)間而衰減，經(jīng)過一定時(shí)間后，這是因?yàn)橄到y(tǒng)的能量因某些原因而消耗，這種能量的耗散作用稱阻尼，由阻尼使振動衰減的系統(tǒng)稱為阻尼系統(tǒng)。在結(jié)構(gòu)內(nèi)部阻尼是非粘線的，但它近似于線性的，彈性材料，特別是金屬材料表示一種結(jié)構(gòu)阻尼的性質(zhì)，這種阻尼是由于材料受力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力和變形之間產(chǎn)生了相位滯后。產(chǎn)生能量耗散的原因有結(jié)構(gòu)的內(nèi)摩擦（或粘性）構(gòu)

24、件接口處的摩擦、周圍介質(zhì)（如空氣、建筑物地基）的阻尼影響等，但有關(guān)阻尼的作用機(jī)理，目前尚未完全研究清楚。1.推導(dǎo)橫截面積為A的一維桁架架構(gòu)單元剛度矩陣。解：設(shè)桿件兩端點(diǎn)位i，j，為單元局部坐標(biāo)，表示單元任一截面的位置，則其發(fā)生的位移：u=a0+b1，v=b0+b1+b22+b33，即： u 1 0 0 0 0 = *（a0 b0 b1 a1 b2 b3）T v 1 0 0 2 2 H 記U=u,v=H* ，由i，j兩端的位移分量可得：=G* ,1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0其中G= 0 0 1 0 0 0 給上式左乘G-1,則有 1 0 0 L 0 0 0 1 L 0 L2 L

25、3 0 0 1 0 2L 3L2u=H* G-1*,令N= H* G-1N1=1-/L 0 0 /L 0 0, N2=0 1-3/L2+2/L3 *（1-/L）2 0 3/L2+2/L3 *（/L-1）*/L， 應(yīng)用幾何物理方程可得：= n = *=B* n 利用虛功原理推得：Ke=E*= EA/L 0 12EIZ/L3 對 0 6EIZ/L2 4EIZ/L 稱 -EA/L 0 0 -EA/L 0 -12EIZ/L3 -6EIZ/L2 0 -12EIZ/L3 0 -6EIZ/L2 2EIZ/L 0 -6EIZ/L2 -EA/L2.如圖2為一個(gè)平面超靜定桁架結(jié)構(gòu)，在載荷P的作用下，求各個(gè)桿的軸力

26、。此結(jié)構(gòu)可以看成由14,24,34三個(gè)桿組成的，每個(gè)桿單元的兩端為桿單元的結(jié)點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)的水平，鉛直位移分別用u、v表示。解：由題意可得：各桿件在局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣： 1 0 -1 0 0 0 0 0ke=EA/L -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0圖2 桁架超靜定結(jié)構(gòu)對于14桿轉(zhuǎn)角=/2+，cos=-cos，sin=sin， sin -cos 0 0 cos sin 0 0故T14= 0 0 sin -cos 0 0 cos sin sin2 sin* cos -sin2 -sin* cos對于K14=T14 T*K14 *T14=EA/L* -sin* cos cos2 sin* cos -cos2 -sin2 -sin* cos sin2 sin* cos sin* cos -cos2 -sin* cos cos2對于24桿轉(zhuǎn)角=90°，則有： 0 0 0 0 0 1 0 -1K24= EA/L* 0 0 0 0 0 -1 0 1對于34桿轉(zhuǎn)角=/2-，cos=cos，sin=-sin，cos -sin 0 0 -sin cos 0 0故