橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)推薦

1、橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)100條橢 圓12標(biāo)準(zhǔn)方程：34點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.5PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).6以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.7以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.8設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9橢圓（abo）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.11若在橢圓外 ，則過(guò)Po作

2、橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12AB是橢圓的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14若在橢圓內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15若PQ是橢圓（ab0）上對(duì)中心張直角的弦，則.16若橢圓（ab0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1) ;(2) .17給定橢圓：（ab0）, ：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)上一定點(diǎn)M(.(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過(guò)點(diǎn).18設(shè)為橢圓（或圓）C: (a0,. b0)上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦,且弦P0P1, P0P

3、2斜率存在，記為k1, k 2, 則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)的充要條件是.19過(guò)橢圓 (a0, b0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為， .21若P為橢圓（ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則.22橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).23若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)0e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).24P為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),F1,F2為二

4、焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.25橢圓（ab0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱(chēng)的充要條件是.26過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.27過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28P是橢圓（ab0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.29設(shè)A,B為橢圓上兩點(diǎn)，其直線AB與橢圓相交于,則.30在橢圓中，定長(zhǎng)為2m（oma）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時(shí), .31設(shè)S為橢圓（ab0）的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，

5、有,);當(dāng)時(shí)，有,.32橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34設(shè)橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.35經(jīng)過(guò)橢圓（ab0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.37MN是經(jīng)過(guò)橢圓（ab0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦，若AB是經(jīng)過(guò)橢圓中心O且平行于MN的弦，則.38MN是經(jīng)過(guò)橢圓（ab0）焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O的半弦，則.39設(shè)橢圓（a

6、b0）,M(m,o) 或(o, m)為其對(duì)稱(chēng)軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為對(duì)稱(chēng)軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：(或)上.40設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.41過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.42設(shè)橢圓方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.43設(shè)A、B、C、D為橢圓上四點(diǎn),AB、CD所在直

7、線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.44已知橢圓（ab0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為橢圓的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S形成的軌跡方程是().45設(shè)ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).46過(guò)橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47設(shè)A（x1 ,y1）是橢圓（ab0）上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離, 分別是A到橢

8、圓兩焦點(diǎn)的距離，則.48已知橢圓（ ab0）和（ ），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則AB=|CD.49已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則.50設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .51設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52L是經(jīng)過(guò)橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.53L是橢圓（ a

9、b0）的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54L是橢圓（ ab0）的準(zhǔn)線，E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55已知橢圓（ ab0），直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與橢圓左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，則（當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時(shí)右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)A、F1、B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)）.56設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .57設(shè)A、B

10、是橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過(guò)B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58設(shè)A、B是橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)），外部的兩點(diǎn)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，（若B P交橢圓于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿(mǎn)足；（2）若過(guò)B點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足.59設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.60過(guò)橢圓（ ab0）的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD則.61到橢圓

11、（ ab0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.62到橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63到橢圓（ ab0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64已知P是橢圓（ ab0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.65橢圓的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).66設(shè)橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為,是橢圓上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為的直線，過(guò)分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67已知橢圓（ ab0）

12、的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).68OA、OB是橢圓（ a0,b0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(2) 以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是.69是橢圓（ab0）上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(且).70如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F

13、2在L同側(cè)直線 和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.71AB是橢圓（ab0）的長(zhǎng)軸，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的切線與過(guò)A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72設(shè)點(diǎn)為橢圓（ ab0）的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓過(guò)定點(diǎn)的任一弦，當(dāng)弦AB平行（或重合）于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí).當(dāng)弦AB垂直于長(zhǎng)軸所在直線時(shí), .73橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切.74橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn).75橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與a-c.76橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a

14、-c.77橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). 注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn).78橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.79橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).80橢圓焦三角形中,橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81橢圓焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82橢圓焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83橢

15、圓焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng).84橢圓焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn).85橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.87橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線.88橢圓焦三角形中,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以?xún)山稽c(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩焦點(diǎn).89. 已知橢圓(包括圓在內(nèi))上有一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作直線及的平行線，與直線分別交于,為

16、原點(diǎn)，則：.（1）；（2）.90. 過(guò)平面上的點(diǎn)作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91. 點(diǎn)為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，則：.92. 點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，已知，則的軌跡方程是.雙曲線12標(biāo)準(zhǔn)方程：34點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.5PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).6以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.7以焦點(diǎn)半徑

17、PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切.8設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10若在雙曲線（a0,b0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.11若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14若在雙曲

18、線（a0,b0）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15若PQ是雙曲線（ba 0）上對(duì)中心張直角的弦，則.16若雙曲線（ba 0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1) ;(2) .17給定雙曲線：（ab0）, ：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)上一定點(diǎn)M(.(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過(guò)點(diǎn).18設(shè)為雙曲線（a0,b0）上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k 2, 則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)的充要條件是.19過(guò)雙曲線（a0,bo）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)

19、）.20雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為， .21若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.22雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,.23若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)1e時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).24P為雙曲線（a0,b0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.25雙曲線（a0,b0）

20、上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱(chēng)的充要條件是.26過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.27過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28P是雙曲線（a0，b0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.29設(shè)A,B為雙曲線（a0,b0，）上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線相交于,則.30在雙曲線中，定長(zhǎng)為2m（m）0）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時(shí), .31設(shè)S為雙曲線（a0,bo）的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在雙曲線上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);當(dāng)時(shí)，有.32雙曲線（

21、a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33雙曲線（a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.35經(jīng)過(guò)雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與雙曲線上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36已知雙曲線（ba 0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.37MN是經(jīng)過(guò)雙曲線（a0,b0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過(guò)雙曲線中心O且平行于MN的弦，則.38MN是經(jīng)過(guò)雙曲線（ab0）焦點(diǎn)的任一

22、弦(交于同支)，若過(guò)雙曲線中心O的半弦，則.39設(shè)雙曲線（a0,b0）,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：上.40設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.41過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.42設(shè)雙曲線方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而

23、且.43設(shè)A、B、C、D為雙曲線（a0,bo）上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.44已知雙曲線（a0,b0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為雙曲線的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)，R、S形成的軌跡方程是().45設(shè)ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線上，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與雙曲線相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).46過(guò)雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47設(shè)A（x1

24、,y1）是雙曲線（a0,b0）上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離, 分別是A到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則.48已知雙曲線（a0,b0）和（ ），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則AB=|CD.49已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則或.50設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a0,b0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .51設(shè)過(guò)雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線實(shí)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52L是經(jīng)過(guò)雙曲線

25、（a0,b0）焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.53L是經(jīng)過(guò)雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54L是雙曲線（a0,b0）焦點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55已知雙曲線（a0,b0），直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，則（當(dāng)且僅

26、當(dāng)ABx軸時(shí)取等號(hào)）.56設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .57設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過(guò)B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域），外部的兩點(diǎn)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，（若B P交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)

27、、滿(mǎn)足；（2）若過(guò)B點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足.59設(shè)是雙曲線的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.60過(guò)雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD,則.61到雙曲線（a0,b0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.62到雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63到雙曲線（a0,b0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64已知P是雙曲線（a0,b0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方

28、程是.65雙曲線的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和實(shí)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).66設(shè)雙曲線（a0,b0）實(shí)軸的端點(diǎn)為,是雙曲線上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為的直線，過(guò)分別作垂直于實(shí)軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67已知雙曲線（a0,b0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).68OA、OB是雙曲線（a0,b0,且）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(2) 以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是.69是雙曲線（a0,b0）上一個(gè)定點(diǎn)

29、，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(且).70如果一個(gè)雙曲線虛半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線 和雙曲線相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和雙曲線相交.71AB是雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的切線與過(guò)A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72設(shè)點(diǎn)為雙曲線（a0,b0）的內(nèi)部(（含焦點(diǎn)的區(qū)域）)一定點(diǎn)，AB是雙曲線過(guò)定點(diǎn)的任一弦.(1)如,則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線實(shí)軸