算法設(shè)計(jì)與分析基礎(chǔ)習(xí)題答案

1、.習(xí)題1.1 5.證明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)對每一對正整數(shù)m,n都成立.Hint:根據(jù)除法的定義不難證明: 如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v; 如果d整除u,那么d也能夠整除u的任何整數(shù)倍ku.對于任意一對正整數(shù)m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；顯然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。數(shù)對(m,n)和(n,r)具有相同的公約數(shù)的有限非空集，其中也包括了最大公約數(shù)。故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.對于第一個(gè)數(shù)小于第二個(gè)數(shù)的一對數(shù)字,歐幾里得算法將會(huì)如何處理"該算法在處理這種輸

2、入的過程中,上述情況最多會(huì)發(fā)生幾次"Hint:對于任何形如0<=m<n的一對數(shù)字,Euclid算法在第一次疊代時(shí)交換m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且這種交換處理只發(fā)生一次.7.a.對于所有1m,n10的輸入, Euclid算法最少要做幾次除法"(1次) b. 對于所有1m,n10的輸入, Euclid算法最多要做幾次除法"(5次) gcd(5,8)習(xí)題1.2 1.(農(nóng)夫過河)P農(nóng)夫 W狼 G山羊 C白菜2.(過橋問題)1,2,5,10-分別代表4個(gè)人, f手電筒4. 對于任意實(shí)系數(shù)a,b,c, 某個(gè)算法能求方程ax2+bx+c=0的實(shí)

3、根,寫出上述算法的偽代碼(可以假設(shè)sqrt(x)是求平方根的函數(shù))算法Quadratic(a,b,c)/求方程ax2+bx+c=0的實(shí)根的算法/輸入:實(shí)系數(shù)a,b,c/輸出:實(shí)根或者無解信息If a0 Db*b-4*a*cIf D>0 temp2*a x1(-b+sqrt(D)/temp x2(-b-sqrt(D)/temp return x1,x2 else if D=0 return b/(2*a) else return “no real roots”else /a=0 if b0 return c/b else /a=b=0 if c=0 return “no real numb

4、ers” else return “no real roots”5. 描述將十進(jìn)制整數(shù)表達(dá)為二進(jìn)制整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)算法a.用文字描述b.用偽代碼描述解答： a.將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)的算法 輸入：一個(gè)正整數(shù)n輸出：正整數(shù)n相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)第一步：用n除以2，余數(shù)賦給Ki(i=0,1,2.)，商賦給n第二步：如果n=0，則到第三步，否則重復(fù)第一步第三步：將Ki按照i從高到低的順序輸出b.偽代碼 算法 DectoBin(n)/將十進(jìn)制整數(shù)n轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)的算法/輸入：正整數(shù)n/輸出：該正整數(shù)相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，該數(shù)存放于數(shù)組Bin1.n中i=1while n!=0 do Bini=n%2;n=(int

5、)n/2;i+;while i!=0 doprint Bini;i-;9.考慮下面這個(gè)算法,它求的是數(shù)組中大小相差最小的兩個(gè)元素的差.(算法略)對這個(gè)算法做盡可能多的改進(jìn).算法 MinDistance(A0.n-1)/輸入:數(shù)組A0.n-1/輸出:the smallest distance d between two of its elements習(xí)題1.3 考慮這樣一個(gè)排序算法,該算法對于待排序的數(shù)組中的每一個(gè)元素,計(jì)算比它小的元素個(gè)數(shù),然后利用這個(gè)信息,將各個(gè)元素放到有序數(shù)組的相應(yīng)位置上去.a.應(yīng)用該算法對列表”60,35,81,98,14,47”排序b.該算法穩(wěn)定嗎"c.該算法

6、在位嗎"解:a. 該算法對列表”60,35,81,98,14,47”排序的過程如下所示:b.該算法不穩(wěn)定.比如對列表”2,2*”排序c.該算法不在位.額外空間for S and Count4.(古老的七橋問題)習(xí)題1.41.請分別描述一下應(yīng)該如何實(shí)現(xiàn)下列對數(shù)組的操作,使得操作時(shí)間不依賴數(shù)組的長度.a.刪除數(shù)組的第i個(gè)元素(1<=i<=n)b.刪除有序數(shù)組的第i個(gè)元素(依然有序)hints:a. Replace the ith element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace t

7、he ith element with a special symbol that cannot be a value of the arrays element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the ith position is empty.(“l(fā)azy deletion”)習(xí)題2.11 歐幾里得算法的時(shí)間復(fù)雜度歐幾里得算法, 又稱輾轉(zhuǎn)相除法, 用于求兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù). 算法的思想很簡單, 基于下面的數(shù)論等式 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)其中g(shù)cd(a, b)表示a和b的最大公約數(shù), m

8、od是模運(yùn)算, 即求a除以b的余數(shù). 算法如下:輸入: 兩個(gè)整數(shù)a, b輸出: a和b的最大公約數(shù)function gcd(a, b:integer):integer; if b=0 return a; else return gcd(b, a mod b);end function歐幾里得算法是最古老而經(jīng)典的算法, 理解和掌握這一算法并不難, 但要分析它的時(shí)間復(fù)雜度卻并不容易. 我們先不考慮模運(yùn)算本身的時(shí)間復(fù)雜度(算術(shù)運(yùn)算的時(shí)間復(fù)雜度在Knuth的TAOCP中有詳細(xì)的討論), 我們只考慮這樣的問題: 歐幾里得算法在最壞情況下所需的模運(yùn)算次數(shù)和輸入的a和b的大小有怎樣的關(guān)系"我們不妨

9、設(shè)a>b>=1(若a<b我們只需多做一次模運(yùn)算, 若b=0或a=b模運(yùn)算的次數(shù)分別為0和1), 構(gòu)造數(shù)列un: u0=a, u1=b, uk=uk-2 mod uk-1(k>=2), 顯然, 若算法需要n次模運(yùn)算, 則有un=gcd(a, b), un+1=0. 我們比較數(shù)列un和菲波那契數(shù)列Fn, F0=1<=un, F1=1<=un-1, 又因?yàn)橛蓇k mod uk+1=uk+2, 可得uk>=uk+1+uk+2, 由數(shù)學(xué)歸納法容易得到uk>=Fn-k, 于是得到a=u0>=Fn, b=u0>=Fn-1. 也就是說如果歐幾里得算法

10、需要做n次模運(yùn)算, 則b必定不小于Fn-1. 換句話說, 若 b<Fn-1, 則算法所需模運(yùn)算的次數(shù)必定小于n. 根據(jù)菲波那契數(shù)列的性質(zhì), 有Fn-1>(1.618)n/sqrt(5), 即b>(1.618)n/sqrt(5), 所以模運(yùn)算的次數(shù)為O(lgb)-以b為底數(shù) = O(lg(2)b)-以2為底數(shù)，輸入規(guī)模也可以看作是b的bit位數(shù)。習(xí)題2.27.對下列斷言進(jìn)行證明:(如果是錯(cuò)誤的,請舉例)a. 如果t(n)O(g(n),則g(n)(t(n)b.>0時(shí),(g(n)= (g(n)解:a. 這個(gè)斷言是正確的。它指出如果t(n)的增長率小于或等于g(n)的增長率，那

11、么 g(n)的增長率大于或等于t(n)的增長率 由 t(n)c·g(n) for all nn0, where c>0 則： for all nn0b. 這個(gè)斷言是正確的。只需證明。設(shè)f(n)(g(n),則有： for all n>=n0, c>0 for all n>=n0, c1=c>0即：f(n)(g(n)又設(shè)f(n)(g(n),則有： for all n>=n0,c>0 for all n>=n0,c1=c/>0即：f(n)(g(n)8證明本節(jié)定理對于下列符號也成立：a.符號b.符號證明：a。we need to proo

12、f that if t1(n)(g1(n) and t2(n)(g2(n), then t1(n)+ t2(n)(maxg1(n), g2(n)。由 t1(n)(g1(n)， t1(n)c1g1(n) for all n>=n1, where c1>0由 t2(n)(g2(n)，T2(n)c2g2(n) for all n>=n2, where c2>0那么，取c>=minc1,c2,當(dāng)n>=maxn1,n2時(shí)： t1(n)+ t2(n)c1g1(n)+ c2g2(n)c g1(n)+c g2(n)cg1(n)+ g2(n)cmax g1(n), g2(n)

13、所以以命題成立。b. t1(n)+t2(n) (證明：由大的定義知，必須確定常數(shù)c1、c2和n0，使得對于所有n>=n0，有：由t1(n)(g1(n)知，存在非負(fù)整數(shù)a1,a2和n1使：a1*g1(n)<=t1(n)<=a2*g1(n)-(1)由t2(n)(g2(n)知，存在非負(fù)整數(shù)b1,b2和n2使： b1*g2(n)<=t2(n)<=b2*g2(n)-(2)(1)+(2):a1*g1(n)+ b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n) <= a2*g1(n)+ b2*g2(n)令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，則C1*(g1

14、+g2)<= t1(n)+t2(n) <=c2(g1+g2)-(3)不失一般性假設(shè)max(g1(n),g2(n)=g1(n).顯然，g1(n)+g2(n)<2g1(n)，即g1+g2<2max(g1,g2)又g2(n)>0，g1(n)+g2(n)>g1(n),即g1+g2>max(g1,g2)。則（3）式轉(zhuǎn)換為：C1*max(g1,g2) <= t1(n)+t2(n) <=c2*2max(g1,g2)所以當(dāng)c1min(a1,b1),c22c2=2max(c1,c2)，n0max(n1,n2)時(shí)，當(dāng)n>=n0時(shí)上述不等式成立。證畢。10

15、. 切忌算法走的步數(shù)和人真實(shí)走的步數(shù)的區(qū)別，算法是不需要走回頭路的。習(xí)題2.4解下列遞推關(guān)系 （做a,b）當(dāng)n>1時(shí)a.解：當(dāng)n>1時(shí)b.解：對于計(jì)算n!的遞歸算法F(n)，建立其遞歸調(diào)用次數(shù)的遞推關(guān)系并求解。解：考慮下列遞歸算法，該算法用來計(jì)算前n個(gè)立方的和：S(n)=13+23+n3。算法S(n) /輸入：正整數(shù)n /輸出：前n個(gè)立方的和if n=1 return 1else return S(n-1)+n*n*na. 建立該算法的基本操作次數(shù)的遞推關(guān)系并求解b. 如果將這個(gè)算法和直截了當(dāng)?shù)姆沁f歸算法比，你做何評價(jià).解：a.6. 漢諾塔的非遞歸問題請見F:work繼續(xù)教育算法設(shè)

16、計(jì)與分析基礎(chǔ)7. a. 請基于公式2n=2n-1+2n-1，設(shè)計(jì)一個(gè)遞歸算法。當(dāng)n是任意非負(fù)整數(shù)的時(shí)候，該算法能夠計(jì)算2n的值。 b. 建立該算法所做的加法運(yùn)算次數(shù)的遞推關(guān)系并求解 c. 為該算法構(gòu)造一棵遞歸調(diào)用樹，然后計(jì)算它所做的遞歸調(diào)用次數(shù)。 d. 對于該問題的求解來說，這是一個(gè)好的算法嗎.解:a.算法power(n)/基于公式2n=2n-1+2n-1,計(jì)算2n/輸入:非負(fù)整數(shù)n/輸出: 2n的值If n=0 return 1Else return power(n-1)+ power(n-1)c.8.考慮下面的算法 算法 Min1(A0.n-1) /輸入:包含n個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)組A0.n-1If

17、 n=1 return A0Else tempMin1(A0.n-2)If tempAn-1 return tempElse return An-1a.該算法計(jì)算的是什么"b.建立該算法所做的基本操作次數(shù)的遞推關(guān)系并求解解:a.計(jì)算的給定數(shù)組的最小值for all n>1n=1b.9.考慮用于解決第8題問題的另一個(gè)算法,該算法遞歸地將數(shù)組分成兩半.我們將它稱為Min2(A0.n-1)算法 Min(Ar.l)If l=r return AlElse temp1Min2(Al.(l+r)/2)Temp2Min2(Al.(l+r)/2+1.r)If temp1temp2 return

18、 temp1Else return temp2a.建立該算法所做的的操作次數(shù)的遞推關(guān)系并求解b.算法Min1和Min2哪個(gè)更快"有其他更好的算法嗎"解:a.習(xí)題2.54.假設(shè)n格梯子有f(n)種方法。 則： f(1) = 1 f(2) = 2 對n>2，有： f(n) = （先上一格，再上n-1格的方法數(shù)） + （先上兩格，再上n-2格的方法數(shù)） 即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 所以f(n)是Fibonacci數(shù)列的第n+1項(xiàng). *include <stdio.h> long fib(int n) if (n = 1 | n = 2) r

19、eturn 1; return fib(n - 1) + fib(n - 2); main() int n; scanf("%d", &n); printf("%ldn", fib(n+1); return 0; 習(xí)題2.6考慮下面的排序算法,其中插入了一個(gè)計(jì)數(shù)器來對關(guān)鍵比較次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù).算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n個(gè)可排序元素的一個(gè)數(shù)組A0.n-1/output:所做的關(guān)鍵比較的總次數(shù)count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j>0 and Aj>v do cou

20、ntcount+1 Aj+1Aj jj+1 Aj+1vreturn count比較計(jì)數(shù)器是否插在了正確的位置"如果不對,請改正.解:應(yīng)改為:算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n個(gè)可排序元素的一個(gè)數(shù)組A0.n-1/output:所做的關(guān)鍵比較的總次數(shù)count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j>=0 and Aj>v do countcount+1 Aj+1Aj jj-1 if j>=0 count=count+1 Aj+1vreturn count7. b gcd（m,n）算法性能最壞情況下為兩個(gè)整數(shù)為斐

21、波那鍥數(shù)列,即k時(shí)間最長時(shí)，最小的整數(shù)對必定為斐波那鍥數(shù)列。9. 我認(rèn)為埃拉托色尼篩的效率為根號n。10. gcd(a,b)復(fù)雜性估計(jì)c = a % b ; c < a/2; 在算法中即表現(xiàn)為n（余數(shù)）每兩次循環(huán)至少減少為原來的一半，所以該算法時(shí)間復(fù)雜度估算為 2logn = O( logn ); 由于能力有限，更精確復(fù)雜的時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算還沒有掌握。在最壞的情況下（如m和n是兩個(gè)相鄰的斐波那契數(shù)時(shí)）可以稍微改進(jìn)成1.44logn。歐幾里德算法在平均情況下的性能需要大量篇幅的高度復(fù)雜的數(shù)學(xué)分析，其迭代的平均次數(shù)約為（12ln2lnn）/pi2+1.47。習(xí)題3.14. a.設(shè)計(jì)一個(gè)蠻力算

22、法,對于給定的x0,計(jì)算下面多項(xiàng)式的值:P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0并確定該算法的最差效率類型.b.如果你設(shè)計(jì)的算法屬于(n2),請你為該算法設(shè)計(jì)一個(gè)線性的算法.C.對于該問題來說,能不能設(shè)計(jì)一個(gè)比線性效率還要好的算法呢"解:Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高冪到低冪用蠻力法計(jì)算多項(xiàng)式p在給定點(diǎn)x的值/輸入:P0.n是多項(xiàng)式按低冪到高冪的常系數(shù),以及定值x/輸出: 多項(xiàng)式p在給定點(diǎn)x的值p=0.0for i=n to 0 do power=1 for j=1 to i do power=pow

23、er*x p=p+Pi*powerreturn p算法效率分析:基本操作:兩個(gè)數(shù)相乘,且M(n)僅依賴于多項(xiàng)式的階ntha above algorithms is very inefficient, because we repute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move fromthe lowest term to the highest and pute xi by using xi-1.Algorithms BetterBruteForceP

24、olynomialEvaluation(P0.n,x)/由高冪到低冪用蠻力法計(jì)算多項(xiàng)式p在給定點(diǎn)x的值/輸入:P0.n是多項(xiàng)式按低冪到高冪的常系數(shù),以及定值x/輸出: 多項(xiàng)式p在給定點(diǎn)x的值 P=P0 power=1 for i1 to n do powerpower*x pp+Pi*power return p基本操作乘法運(yùn)算總次數(shù)M(n):c.不行.因?yàn)橛?jì)算任意一個(gè)多項(xiàng)式在任意點(diǎn)x的值,都必須處理它的n+1 個(gè)系數(shù).例如: (x=1,p(x)=an+an-1+.+a1+a0,至少要做n次加法運(yùn)算) 5.應(yīng)用選擇排序?qū)π蛄衑xample按照字母順序排序.6.選擇排序是穩(wěn)定的嗎"(不

25、穩(wěn)定)  回到主題，現(xiàn)在分析一下常見的排序算法的穩(wěn)定性，每個(gè)都給出簡單的理由。  (1)冒泡排序         冒泡排序就是把小的元素往前調(diào)或者把大的元素往后調(diào)。比較是相鄰的兩個(gè)元素比較，交換也發(fā)生在這兩個(gè)元素之間。所以，如果兩個(gè)元素相等，我想你是不會(huì)再無聊地把他們倆交換一下的；如果兩個(gè)相等的元素沒有相鄰，那么即使通過前面的兩兩交換把兩個(gè)相鄰起來，這時(shí)候也不會(huì)交換，所以相同元素的前后順序并沒有改變，所以冒泡排序是一種穩(wěn)定排序算法。 (2)選擇排序     

26、0; 選擇排序是給每個(gè)位置選擇當(dāng)前元素最小的，比如給第一個(gè)位置選擇最小的，在剩余元素里面給第二個(gè)元素選擇第二小的，依次類推，直到第n-1個(gè)元素，第n個(gè)元素不用選擇了，因?yàn)橹皇Ｏ滤粋€(gè)最大的元素了。那么，在一趟選擇，如果當(dāng)前元素比一個(gè)元素小，而該小的元素又出現(xiàn)在一個(gè)和當(dāng)前元素相等的元素后面，那么交換后穩(wěn)定性就被破壞了。比較拗口，舉個(gè)例子，序列5 8 5 2 9， 我們知道第一遍選擇第1個(gè)元素5會(huì)和2交換，那么原序列中2個(gè)5的相對前后順序就被破壞了，所以選擇排序不是一個(gè)穩(wěn)定的排序算法。 (3)插入排序     插入排序是在一個(gè)已經(jīng)有序的小序列的基礎(chǔ)上，一次插

27、入一個(gè)元素。當(dāng)然，剛開始這個(gè)有序的小序列只有1個(gè)元素，就是第一個(gè)元素。比較是從有序序列的末尾開始，也就是想要插入的元素和已經(jīng)有序的最大者開始比起，如果比它大則直接插入在其后面，否則一直往前找直到找到它該插入的位置。如果碰見一個(gè)和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后順序沒有改變，從原無序序列出去的順序就是排好序后的順序，所以插入排序是穩(wěn)定的。 (4)快速排序    快速排序有兩個(gè)方向，左邊的i下標(biāo)一直往右走，當(dāng)ai <= acenter_index，其中center_index是中樞元素的數(shù)組下標(biāo)，一般取為數(shù)組第0

28、個(gè)元素。而右邊的j下標(biāo)一直往左走，當(dāng)aj > acenter_index。如果i和j都走不動(dòng)了，i <= j, 交換ai和aj,重復(fù)上面的過程，直到i>j。 交換aj和acenter_index，完成一趟快速排序。在中樞元素和aj交換的時(shí)候，很有可能把前面的元素的穩(wěn)定性打亂，比如序列為 5 3 3 4 3 8 9 10 11， 現(xiàn)在中樞元素5和3(第5個(gè)元素，下標(biāo)從1開始計(jì))交換就會(huì)把元素3的穩(wěn)定性打亂，所以快速排序是一個(gè)不穩(wěn)定的排序算法，不穩(wěn)定發(fā)生在中樞元素和aj交換的時(shí)刻。 (5)歸并排序    歸并排序是把序列遞歸地分成短序列，遞歸出口是短

29、序列只有1個(gè)元素(認(rèn)為直接有序)或者2個(gè)序列(1次比較和交換),然后把各個(gè)有序的段序列合并成一個(gè)有序的長序列，不斷合并直到原序列全部排好序。可以發(fā)現(xiàn)，在1個(gè)或2個(gè)元素時(shí)，1個(gè)元素不會(huì)交換，2個(gè)元素如果大小相等也沒有人故意交換，這不會(huì)破壞穩(wěn)定性。那么，在短的有序序列合并的過程中，穩(wěn)定是是否受到破壞.沒有，合并過程中我們可以保證如果兩個(gè)當(dāng)前元素相等時(shí)，我們把處在前面的序列的元素保存在結(jié)果序列的前面，這樣就保證了穩(wěn)定性。所以，歸并排序也是穩(wěn)定的排序算法。 (6)基數(shù)排序   基數(shù)排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次類推，直到最高位。有時(shí)候有些屬性是有優(yōu)

30、先級順序的，先按低優(yōu)先級排序，再按高優(yōu)先級排序，最后的次序就是高優(yōu)先級高的在前，高優(yōu)先級相同的低優(yōu)先級高的在前?；鶖?shù)排序基于分別排序，分別收集，所以其是穩(wěn)定的排序算法。 (7)希爾排序(shell)    希爾排序是按照不同步長對元素進(jìn)行插入排序，當(dāng)剛開始元素很無序的時(shí)候，步長最大，所以插入排序的元素個(gè)數(shù)很少，速度很快；當(dāng)元素基本有序了，步長很小，插入排序?qū)τ谟行虻男蛄行屎芨?。所以，希爾排序的時(shí)間復(fù)雜度會(huì)比o(n2)好一些。由于多次插入排序，我們知道一次插入排序是穩(wěn)定的，不會(huì)改變相同元素的相對順序，但在不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動(dòng)，

31、最后其穩(wěn)定性就會(huì)被打亂，所以shell排序是不穩(wěn)定的。 (8)堆排序   我們知道堆的結(jié)構(gòu)是節(jié)點(diǎn)i的孩子為2*i和2*i+1節(jié)點(diǎn)，大頂堆要求父節(jié)點(diǎn)大于等于其2個(gè)子節(jié)點(diǎn)，小頂堆要求父節(jié)點(diǎn)小于等于其2個(gè)子節(jié)點(diǎn)。在一個(gè)長為n的序列，堆排序的過程是從第n/2開始和其子節(jié)點(diǎn)共3個(gè)值選擇最大(大頂堆)或者最小(小頂堆),這3個(gè)元素之間的選擇當(dāng)然不會(huì)破壞穩(wěn)定性。但當(dāng)為n/2-1, n/2-2, .1這些個(gè)父節(jié)點(diǎn)選擇元素時(shí)，就會(huì)破壞穩(wěn)定性。有可能第n/2個(gè)父節(jié)點(diǎn)交換把后面一個(gè)元素交換過去了，而第n/2-1個(gè)父節(jié)點(diǎn)把后面一個(gè)相同的元素沒有交換，那么這2個(gè)相同的元素之間的穩(wěn)定性就被破壞了。所以

32、，堆排序不是穩(wěn)定的排序算法。 7.用鏈表實(shí)現(xiàn)選擇排序的話,能不能獲得和數(shù)組版相同的(n2)效率"Yes.Both operationfinding the smallest element and swapping it can be done as efficiently with the linked list as with an array. 9.a.請證明,如果對列表比較一遍之后沒有交換元素的位置,那么這個(gè)表已經(jīng)排好序了,算法可以停止了.b.結(jié)合所做的改進(jìn),為冒泡排序?qū)懸欢蝹未a.c.請證明改進(jìn)的算法最差效率也是平方級的.Hints:第i趟冒泡可以表示為:如果沒有發(fā)生交換位

33、置,那么:b.Algorithms BetterBubblesort(A0.n-1)/用改進(jìn)的冒泡算法對數(shù)組A0.n-1排序/輸入:數(shù)組A0.n-1/輸出:升序排列的數(shù)組A0.n-1countn-1 /進(jìn)行比較的相鄰元素對的數(shù)目flagtrue /交換標(biāo)志while flag do flagfalse for i=0 to count-1 do if Ai+1<Ai swap(Ai,Ai+1) flagtrue countcount-1c最差情況是數(shù)組是嚴(yán)格遞減的,那么此時(shí)改進(jìn)的冒泡排序會(huì)蛻化為原來的冒泡排序.10.冒泡排序是穩(wěn)定的嗎"(穩(wěn)定)習(xí)題3.2對限位器版的順序查找算法

34、的比較次數(shù):在最差情況下在平均情況下.假設(shè)成功查找的概率是p(0<=p<=1)Hints:Cworst(n)=n+1在成功查找下,對于任意的I,第一次匹配發(fā)生在第i個(gè)位置的可能性是p/n,比較次數(shù)是i.在查找不成功時(shí),比較次數(shù)是n+1,可能性是1-p.4. 本題翻譯有問題，原題類似與：前一段時(shí)間看到一道 Google 的面試題在各大論壇被炒得很火，題目如下：“有一個(gè)100層高的大廈，你手中有兩個(gè)相同的玻璃圍棋子。從這個(gè)大廈的某一層扔下圍棋子就會(huì)碎，用你手中的這兩個(gè)玻璃圍棋子，找出一個(gè)最優(yōu)的策略，來得知那個(gè)臨界層面?！鳖}目雖然看起來簡單，但是仔細(xì)想想，此題中蘊(yùn)含的算法道理以及實(shí)用價(jià)值

35、還是很值得好好研究一下。石頭在網(wǎng)上也看到了不少熱心朋友的解法（CSDN、ChinaUnix），看過之后感覺還是挺有啟發(fā)的，于是總結(jié)一下，主要的算法有以下幾種：<1> 等分段求最小值：這種算法先假設(shè)把大樓分成等高的 x 段，這樣在最差的情況下，要確定臨界段，我們需要投擲 100/x-1 次，確定了臨界段之后要確定臨界層，我們需要再投擲 x-1 次。這樣，問題就成了求函數(shù) f(x)=(100/x-1)+(x-1) 的最小值問題。由于 f(x) 存在最小值且只有一個(gè)駐點(diǎn)，所以當(dāng) x=10 時(shí) f(x) 取得最小值，最小值為18。<2> 假設(shè)投擲次數(shù)是均勻分布的，那么

36、為了使最壞情況的投擲數(shù)最小，我們希望無論臨界段在哪里，總的投擲數(shù)都不變（也就是說將投擲數(shù)均勻分布）。這樣我們就可以假設(shè)第一次投擲的層數(shù)是 f，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，可以得到如下方程式 f+(f-1)+.+2+1>=99，即 f(f+1)/2>=99 的最小整數(shù)解，解出結(jié)果等于14。程序算法如下： 按結(jié)果分析看來，方法一的最小值的確比較?。?0）但是問題是最大值無法確定（比如假設(shè)臨界層在第99層則需要仍19下）；而方法二的算法好在能得出一個(gè)固定的臨界層值，這樣便于一些問題的處理?？偟膩碚f，石頭認(rèn)為兩種方法各有所長，雖然方法二看起來的確更接近出題者的本意，但是如果將棋子本身破碎的概

37、率也考慮進(jìn)去就不一定了（當(dāng)然，一般來說層數(shù)越高破碎的概率應(yīng)該越大，但是我們試想一下如果假設(shè)棋子破碎的幾率是和層數(shù)成反比，那么使用方法一是否會(huì)有更好的效果呢.）。然而不管出題者的意圖是什么，我覺得這個(gè)題目所引出的數(shù)學(xué)模型還是很有實(shí)用意義的，特別在一些數(shù)據(jù)挖掘應(yīng)用中。我猜想這些算法是不是與 Google 數(shù)據(jù)庫的技術(shù)內(nèi)幕有什么聯(lián)系呢 . 前幾天和一個(gè)業(yè)內(nèi)的前輩談起下一代互聯(lián)網(wǎng)的技術(shù)趨勢，說到了所謂的“算法時(shí)代”的話題，看來關(guān)注一些有趣的算法也不錯(cuò)呢 . 不知不覺時(shí)間又晚了，還是先休息吧 ：）6.給出一個(gè)長度為n的文本和長度為m的模式構(gòu)成的實(shí)例,它是蠻力字符串匹配算法的一個(gè)最差輸入.并指出,對于這樣

38、的輸入需要做多少次字符比較運(yùn)算.Hints:文本:由n個(gè)0組成的文本模式:前m-1個(gè)是0,最后一個(gè)字符是1比較次數(shù): m(n-m+1)7.為蠻力字符匹配算法寫一個(gè)偽代碼,對于給定的模式,它能夠返回給定的文本中所有匹配子串的數(shù)量.Algorithms BFStringmatch(T0.n-1,P0.m-1)/蠻力字符匹配/輸入:數(shù)組T0.n-1長度為n的文本,數(shù)組P0.m-1長度為m的模式/輸出:在文本中匹配成功的子串?dāng)?shù)量count0for i0 to n-m do j0 while j<m and Pj=Ti+j jj+1 if j=m countcount+1return count8

39、.如果所要搜索的模式包含一些英語中較少見的字符,我們應(yīng)該如何修改該蠻力算法來利用這個(gè)信息.Hint:每次都從這些少見字符開始比較,如果匹配, 則向左邊和右邊進(jìn)行其它字符的比較.習(xí)題3.3奇數(shù)派問題：證明如下：容易驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)成立；假設(shè)n=k時(shí)如果成立，那當(dāng)n=k+2時(shí)，k+2個(gè)人記為點(diǎn) A1，A2，A（k+2），d=min(AiAj),不妨設(shè)A（k+1）A（k+2）的距離為d，則A（k+1）和A（k+2）相互是距離最近的點(diǎn)，收到彼此的派：如果A（k+1）和A（k+2）還收到其他人的派，其他k個(gè)人至多有k-1個(gè)派，利用抽屜原理，其他k個(gè)人中必有一個(gè)人沒有派；如果A（k+1）和A（k+2）沒有收

40、到其他人的派，其他k個(gè)人相互在擲派，利用歸納假設(shè)，其他k個(gè)人中必有一個(gè)沒有派，n=k+2時(shí)命題成立。7. 凸包問題找那些x、y坐標(biāo)最小或者最大的10.該問題可以用下圖表示：該問題即轉(zhuǎn)化為把3x+5y這條直線平行移動(dòng)，越在上面k值越大，即轉(zhuǎn)為求陰影部分的某個(gè)極點(diǎn)。習(xí)題3.4注意該題的假設(shè)（所以不需要排列組合算法再去生成旅行線路），只需要對每條線路求出最短路徑的長度再比較這些路徑，所以，該問題的基本操作為加法。下面談?wù)勁帕薪M合的遞歸和非遞歸算法：（一時(shí)興起，與本題無關(guān)）全排列的遞歸算法給定數(shù)字1n，輸出從中選出m個(gè)數(shù)的排列和組合。為了簡單起見，采用遞歸算法來描述，首先解決排列問題：這個(gè)算法不太漂亮

41、，用到了兩個(gè)全局變量：int     ARR = 1,2,3,4,5;     / 用來輸出的全局緩沖區(qū)int     PERM_LEN;       / 排列的長度void permutation( int arr, int n, int m )   int i; if(  m= 0 )    for(i=0;i<PERM_LEN

42、;+i)      printf(" %d",ARRi);  printf("n");  return;  for(i=0; i<n; +i)     swap( arri, arr0 );  permutation( arr+1, n-1, m-1 );  swap( arri, arr0 );  算法比較簡單，不詳細(xì)說明了。組合

43、的遞歸算法void b( int n, int m ,int buff, int count ) if( m = 0 ) / 遞歸退出條件,打印回車  for( int i=0;i<count;+i)   printf("%d ", buffi );  printf("n");  return;   for( int i=0; i<= n - m; +i )   buffco

44、unt+ = n-i;  b( n-i-1, m-1,buff,count );  -count; 2. 假設(shè)輸入n個(gè)頂點(diǎn)用數(shù)組表示為vn，而輸入的路徑權(quán)重用二維數(shù)組t表示找出全排列的一半，即所有排列中只考慮v1在v2前面的排列,假設(shè)每種排列存入臨時(shí)數(shù)組K，用S寄存最小路徑。對每個(gè)排列，執(zhí)行(2)算出排列的路徑長度，如排列為kn，路徑長度為q=tk0,k1+tk1,k2+，如果該長度小于S,則S為q。3根據(jù)圖論，連通圖是否具有歐拉回路的充要條件是：G的每一個(gè)頂點(diǎn)的度是偶數(shù)。所以，只要判斷鄰接矩陣中每行的和是否是偶數(shù)即可。很容易得到這樣一個(gè)分配實(shí)

45、例，用它的成本矩陣描述為1 229該分配只有兩種方案，1+9或者2+2(1) 求出n個(gè)正整數(shù)的和K，如K為奇數(shù)，肯定無解。如為偶數(shù)，取K/2。 (2) 對n個(gè)數(shù)進(jìn)行排序，編號為a1an,最大數(shù)編號為n。(3) 子集中元素個(gè)數(shù)為1，從an開始找，直到ak<k/2。(4) 子集中元素個(gè)數(shù)為2，生成所有子集個(gè)數(shù)并窮舉查找和為k/2的子集。（5）子集中元素個(gè)數(shù)為P，生成所有子集個(gè)數(shù)并窮舉查找和為k/2的子集。直到檢查到P=n/2取整即可。方法一：對圖節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號，生成所有K的子集判斷子集中的元素是否兩兩相連，直到找到這樣的子集為止如果找不到這樣的子集就表示沒有k的完備子圖。的完備子圖。方法二：先

46、對圖的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號然后用下列回溯法找：如先從1號開始，找到連接1號且數(shù)字最小的點(diǎn)，如為q，則目前的序列為1,p,接著找與1數(shù)字次小的點(diǎn)，為q，判斷q是否與p相連，如有，繼續(xù)找，沒有，序列退到1，繼續(xù)找與1相連的q，再找與1相連的m等等.直找到序列中的點(diǎn)數(shù)為K為止,如與1所有的點(diǎn)都找遍了，再從2開始。總而言之，如果存在這樣的完備子圖，肯定能夠按節(jié)點(diǎn)序號排列，所以，以上的方法，后續(xù)序列節(jié)點(diǎn)的值也要找比序列中所有的值大的以節(jié)省時(shí)間。（如q>p）枚舉所有的排列，看看是否有序。(1)窮舉法：枚舉所有的幻方組合，看看是否滿足條件(2)網(wǎng)上幻方制作方法：（Magic_Square.pdf）（1）窮舉所

47、有的對應(yīng)表，按對應(yīng)表把算式進(jìn)行對應(yīng)，如果的確相等，即該算數(shù)對應(yīng)正確。題中字母共有8個(gè)，即所有情況為從10個(gè)字母中選出8個(gè)，同時(shí)S M不能為0，即取時(shí)的方法共為9（s不能為0）*8（m不能為0）*8!種。（2）見/wiki/Verbal_arithmetic。The solution to this puzzle is O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8, and S = 9用回溯法豪無疑問，M肯定為1，而S必定為9，或者8，S為9時(shí)，推出o必定為0，就這樣一步步推下去，不行就回溯。習(xí)題4.11.a.為一

48、個(gè)分治算法編寫偽代碼,該算法求一個(gè)n個(gè)元素?cái)?shù)組中最大元素的位置.b.如果數(shù)組中的若干個(gè)元素都具有最大值,該算法的輸出是怎樣的呢"c.建立該算法的鍵值比較次數(shù)的遞推關(guān)系式并求解.d.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個(gè)比較解:a.Algorithms MaxIndex(Al.r)Input:A portion of array A0.n-1 between indices l and r(lr)Output: The index of the largest element in Al.rif l=r return lelse temp1MaxIndex(Al.(l+r)/2)tem

49、p2MaxIndex(A(l+r)/2.r)if Atemp1Atemp2 return temp1else return temp2b.返回?cái)?shù)組中位于最左邊的最大元素的序號.c.鍵值比較次數(shù)的遞推關(guān)系式: C(n)=C( n/2 )+C( n/2 )+1 for n>1 C(1)=0 設(shè)n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1 =22 C(2k-2)+1+1=22C(2k-2)+2+1 =222C(2k-3)+1+2+1=23C(2k-3)+ 22+2+1 =. =2iC(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +.+2+1 =. =2kC(2k-k)+ 2k-1+2 k-2 +.+2+

50、1=2k1=n-1可以證明C(n)=n-1對所有n>1的情況都成立（n是偶數(shù)或奇數(shù)）d.比較的次數(shù)相同，但蠻力算法不用遞歸調(diào)用。2、a.為一個(gè)分治算法編寫偽代碼，該算法同時(shí)求出一個(gè)n元數(shù)組的最大元素和最小元素的值。b.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個(gè)比較。c.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個(gè)比較。解答： a.同時(shí)求出最大值和最小值，只需要將原數(shù)組一分為二，再使用相同的方法找出這兩個(gè)部分中的最大值和最小值，然后經(jīng)過比較就可以得到整個(gè)問題的最大值和最小值。 算法 MaxMin(Al.r,Max,Min) /該算法利用分治技術(shù)得到數(shù)組A中的最大值和最小值/輸入：數(shù)值數(shù)組Al.r/輸

51、出：最大值Max和最小值Minif(r=l) MaxAl；MinAl; /只有一個(gè)元素時(shí)elseifrl=1 /有兩個(gè)元素時(shí)if AlArMaxAr; MinAlelseMaxAl; MinArelse /rl>1MaxMin(Al,(l+r)/2,Max1,Min1); /遞歸解決前一部分MaxMin(A(l+r/)2.r,Max2,Min2); /遞歸解決后一部分if Max1Max2 Max= Max2 /從兩部分的兩個(gè)最大值中選擇大值if Min2<Min1 Min=Min2; /從兩部分的兩個(gè)最小值中選擇小值b.假設(shè)n=2k,比較次數(shù)的遞推關(guān)系式:C(n)=2C(n/2)

52、+2 for n>2C(1)=0, C(2)=1C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2=22C(2k-2)+2+2=22C(2k-2)+22+2=222C(2k-3)+2+22+2=23C(2k-3)+23+22+2.=2k-1C(2)+2k-1+2k-2+.+2 /C(2)=1=2k-1+2k-1+2k-2+.+2 /后面部分為等比數(shù)列求和=2k-1+2k-2 /2(k-1)=n/2,2k=n=n/2+n-2=3n/22b.蠻力法的算法如下： 算法 simpleMaxMin(Al.r)/用蠻力法得到數(shù)組A的最大值和最小值/輸入：數(shù)值數(shù)組Al.r/輸出：最大值Max和最小值MinMa

53、x=Min=Al;for i=l+1 to r do if Ai>Max MaxAi;else if Ai<Min MinAireturn Max,Min時(shí)間復(fù)雜度t(n)=2(n-1)算法MaxMin的時(shí)間復(fù)雜度為3n/2-2，simpleMaxMin的時(shí)間復(fù)雜度為2n-2，都屬于(n)，但比較一下發(fā)現(xiàn)，MaxMin的速度要比simpleMaxMin的快一些。 3 自己寫了個(gè)求a的n次方的java實(shí)現(xiàn)public static int nFloor(int a, int n) int result = 0;if (n=1)return a;if (n % 2 = 0)int nf

54、loor=nFloor(a, n/2);result = (int)Math.pow(nfloor, 2);System.out.println("n even a is :"+nfloor+"*"+nfloor);System.out.println("result is:"+result);return result; else int nfloor1=nFloor(a, (n - 1)/2);int nfloor2=nfloor1*a;result = nfloor1*nfloor2;System.out.println(&qu

55、ot;a is:"+a+" n is:"+n+ " n odd a is:"+nfloor1+"*"+nfloor2);return result;顯然，乘法次數(shù)遞推式為f(n)=f(n/2)+1或者f(n)=f(n-1)/2)+2;簡單看作最壞情況下為f(n)=f(n/2)+2;則該算法乘法次數(shù)的效率類型為(log2 n)-以2為底的對數(shù)n.求解過程略而蠻力法的效率類型為n。4. a=bd時(shí)對數(shù)的底是可以省略的，因?yàn)榈卓梢宰鳛槌?shù)因子，而a>bd，由于底決定n的次方，所以不能略。6.應(yīng)用合并排序?qū)π蛄蠩,X,A,M,P,L,E按字母順序排序.3218.a.對合并排序的最差鍵值比較次數(shù)的遞推關(guān)系式求解.(for n=2k)b.建立合并排序的最優(yōu)鍵值比較次數(shù)的遞推關(guān)系式求解.(for n=2k)c.對于4.1節(jié)給出的合并排序算法,建立它的鍵值移動(dòng)次數(shù)的遞推關(guān)系式.考慮了該算法的鍵值移動(dòng)次數(shù)之后,是否會(huì)影響它的效率類型呢"解:遞推關(guān)系式見4.1節(jié).最好情況(列表升序或降序)下:Cbest(n)=2Cbest(n/2)+n/2 for n>1 (n=2k)Cbest(1)=0鍵值比較次數(shù)M(n)M(n)=2M(n/2)+2n for n&