高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 《拋物線》錯(cuò)解四例

1、拋物線錯(cuò)解四例例1.已知拋物線的方程為y=2ax2(a<0),則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )A () B (,0) C (0,) D ( 0,)錯(cuò)解一:由已知拋物線的方程為y=2ax2,得它表示的曲線是對(duì)稱軸為x軸,開口向左的拋物線,其中2p= 2a ,所以p= a , ,所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),所以選B.錯(cuò)解二:將已知方程變形為x2=,它表示的曲線是對(duì)稱軸為y軸,開口向下的拋物線,其中2p= ,p=, ,所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 0,),所以選D.錯(cuò)解分析: 兩種答案均是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的原因在于解法一中沒有認(rèn)識(shí)到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)為y2=2px,x2=2py(p>0)的形式,從而將y=2a

2、x2誤認(rèn)為是標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px,誤認(rèn)為它表示的曲線是對(duì)稱軸為x軸、開口向左的拋物線,即有2p= 2a的結(jié)論，再推導(dǎo)出焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),當(dāng)然錯(cuò)了。解法二中沒有注意到焦參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以應(yīng)有p>0。故出現(xiàn)只從形式上考慮2p=，從而得出p=<0的錯(cuò)誤，進(jìn)而推出焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)的錯(cuò)誤。正解 ：將拋物線方程變形為：x2=，因?yàn)閍<0，所以它表示的曲線是對(duì)稱軸為y軸、開口向下的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)為x2=2py(p>0)的形式,即有2p= ，p=,再推導(dǎo)出焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,), 所以選C.例2：若動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) F（1，1）的距離與到直線l：3x + y - 4

3、 = 0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是（） （A）橢圓 （B）雙曲線 （C）拋物線 （D）直線錯(cuò)解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn) P到定點(diǎn)F的距離與到直線l的距離相等，所以由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的軌跡是拋物線，故選（C）.錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的原因在于：一是沒有確切地掌握拋物線的定義；二是沒有仔細(xì)地分析題設(shè)中的點(diǎn)與直線的位置關(guān)系 .拋物線定義中的定點(diǎn)在定直線之外，而題設(shè)中的定點(diǎn) F（1，1）在定直線 l：3x + y - 4 = 0上，錯(cuò)誤地套用了拋物線定義而錯(cuò)選了（C）.解此類題一定要從已知條件出發(fā)，正確列式求解 .正解 1：設(shè)動(dòng)點(diǎn) P（ x，y）， 點(diǎn) P 到點(diǎn) F 的距離和到定直線 l的距離相等，兩邊平方，

4、整理得 x2+ 9y2- 6xy + 4x - 12y + 4= 0.（ x - 3y + 2）2= 0，即 x - 3y + 2 = 0. 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是直線 .故選（D）.正解 2：因?yàn)辄c(diǎn) F（1，1）在直線 l：3x+ y- 4 = 0上，所以動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn)F 的距離和到定直線 l的距離相等的點(diǎn)一定在過點(diǎn) F 且和直線 l垂直的直線上，即 點(diǎn) P 的 軌 跡 是 一 條 直線 .故選（D）.例3：平面上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）A y=2x B y=2x 和 C y=4x D y=4x 和 錯(cuò)解：由平面上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0

5、)的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1,可知：平面上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離與P到的距離相等。根據(jù)拋物線的第二定義得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：y=4x；錯(cuò)解分析：學(xué)生只注意了拋物線的第二定義而疏忽了射線。正解 ：（1）注意到拋物線的第二定義：平面上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離與P到的距離相等。根據(jù)拋物線的第二定義得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：y=4x；（2）注意到射線。射線上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1,也合題意。綜上所述：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：y=4x和 。本題應(yīng)選D。例4、過點(diǎn)P(0,1)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有A.1條 B.2條 C. 3條 D. 0條錯(cuò)解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，即：，再由0,得k=1,得答案A.錯(cuò)解分析：本題的解法有兩個(gè)問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應(yīng)有三解，即直線有三條。直線與拋物線只有一解時(shí)，并不一定相切，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，也只有一解。正解 ：（1）若直線的斜率不存在，則過點(diǎn)P(0,1)的直線方程為，由得，此時(shí)，直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)。（2）若直線的斜率不存在，設(shè)過點(diǎn)P(0,1)的直線的方程為，聯(lián)立，得，即：，當(dāng)斜率k=0時(shí)，可求得，即直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)。