復合函數(shù)的定義域和解析式

1、 .wd.復合函數(shù)的定義域和解析式1、復合函數(shù)的定義設(shè)是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當取遍中的元素時，取遍，那么就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復合而成的復合函數(shù)。 說明：復合函數(shù)的定義域，就是復合函數(shù)中的取值范圍。稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。與表示不同的復合函數(shù)。例1設(shè)函數(shù)，求假設(shè)的定義域為，那么復合函數(shù)中，注意：的值域例2課時練 2 例1假設(shè)函數(shù)的定義域是0，1，求的定義域；假設(shè)的定義域是-1，1，求函數(shù)的定義域；定義域是，求定義域點評：解決復合函數(shù)問題，一般先將復合函數(shù)分解，即它是哪個內(nèi)函數(shù)和哪個外函數(shù)復合而成的解答： 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函

2、數(shù)復合而成的函數(shù)函數(shù)的定義域是0，1，B=0,1，即函數(shù)的值域為0，1，即，函數(shù)的定義域0， 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)的定義域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定義域是-3，1點評：假設(shè)的定義域為，那么的定義域就是不等式的的集合；假設(shè)的定義域為，那么的定義域就是函數(shù)的值域。 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)的定義域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)，而,從而的值域的定義域是1，例3函數(shù)定義域是a,b，求的定義域解：由題， 當，即時，不表示函數(shù)；當，即時，表示函

3、數(shù)，其定義域為說明： 的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：的定義域為，求的定義域。實際上是中間變量的的取值范圍，即，。通過解不等式求得的范圍，即為的定義域。的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：假設(shè)的定義域為，求的定義域。實際上是直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，那么的范圍即是的定義域。2求有關(guān)復合函數(shù)的解析式例4求；，求例5 ，求；，求點評：求復合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出即用表示，再把關(guān)于的式子直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得。例6是

4、一次函數(shù)，滿足，求；，求點評： 當函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時，一般用待定系數(shù)法。 假設(shè)抽象的函數(shù)表達式，那么常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式。滿足某個等式，這個等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。三、課堂練習：，求和解：令，設(shè)，令，設(shè)，求分析：是用替換中的而得到的，問題是用中的替換呢，還是用替換呢？所以要按、分類；注：是用替換中的而得到的，問題是用替換中的呢，還是替換呢？所以要看還是，故按、分類。Key:；注：。四、課堂小結(jié)：復合函數(shù)的定義；設(shè)函數(shù)，那么我們稱是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復合而成的復合函數(shù)。其中被稱為直接變量，被

5、稱為中間變量。復合函數(shù)中直接變量的取值范圍叫做復合函數(shù)的定義域，中間變量的取值范圍，即是的值域，是外函數(shù)的定義域。有關(guān)復合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：定義域求法：求復合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式由解；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范圍由求的值域。一個復合函數(shù)求另一個復合函數(shù)的定義域，必須先求出外函數(shù)的定義域。解析式求法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法、解方程組消元法五、附錄：求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)有： 當為整式或奇次根式時，R； 當為偶次根式時，被開方數(shù)不小于0即0； 當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數(shù)大于0； 當為指數(shù)式時，對零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪，底不為0如

6、，中。 當是由一些根本函數(shù)通過四那么運算結(jié)合而成的，它的定義域應是使各局部都有意義的自變量的值組成的集合，即求各局部定義域集合的交集。 分段函數(shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。由實際問題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求對于含參數(shù)字母的函數(shù)，求定義域時一般要對字母的取值情況進展分類討論，并要注意函數(shù)的定義域為非空集合。 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。例說函數(shù)值域求法 在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對應法那么共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對應法那么的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定

7、函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對于如何求函數(shù)的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，假設(shè)方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。 1、直接觀察法 對于一些比擬簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例1 求函數(shù)y=的值域解：x0，0顯然函數(shù)的值域是： -，00，+。 例2 求函數(shù)y=3-的值域。 解：0 - 0 3- 3故函數(shù)的值域是：-，3 2、配方法 配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。例3、求函數(shù)y=-2x+5，x-1，2的值域。解：將函數(shù)配方得：y=x-1+4，

8、x-1，2，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當x=1時，y =4當x=-1，時=8故函數(shù)的值域是：4，8 3、判別式法例4 求函數(shù)y=的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)x的一元二次方程y-1)+y-1x=01當y1時，xR,=(-1)-4(y-1)(y-1)0解得：y2當y=1，時，x=0,而1,故函數(shù)的值域為，例5 求函數(shù)y=x+的值域。 解：兩邊平方整理得：2-2y+1x+y=01xR，=4y+1-8y0解得：1-y1+但此時的函數(shù)的定義域由x2-x0，得：0x2。由0，僅保證關(guān)于x的方程：2-2y+1x+y=0在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程1有實根，由0求出的范圍可能比y的

9、實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為，?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。0x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程1，解得：=0，2，即當=時，原函數(shù)的值域為：0，1+。注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，假設(shè)原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應綜合函數(shù)的定義域，將擴大的局部剔除。 4、反函數(shù)法 直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。 例6 求函數(shù)y=值域。 解：由原函數(shù)式可得：x=那么其反函數(shù)為：y=其定義域為：x故所求函數(shù)的值域為：-，5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。例7 求函數(shù)y=的值域。解：由

10、原函數(shù)式可得：=0，0 解得：-1y1。故所求函數(shù)的值域為(-1,1).例8 求函數(shù)y=的值域。 解：由原函數(shù)式可得：ysinx-cosx=3y 可化為：sinxx+=3y 即 sinxx+=xR，sinxx+-1，1。即-11解得：-y 故函數(shù)的值域為-，。6、函數(shù)單調(diào)性法例9 求函數(shù)y= 2x10的值域解：令y=，=，那么 y ，在2，10上都是增函數(shù)。所以y= y +在2，10上是增函數(shù)。當x=2時，y =+=，當x=10時，= +=33。故所求函數(shù)的值域為：，33。例10 求函數(shù)y=-的值域。解：原函數(shù)可化為： y=令y =，= ，顯然y，在1，+上為無上界的增函數(shù)，所以y= y +在

11、1，+上也為無上界的增函數(shù)。 所以當x=1時，y=y +有最小值，原函數(shù)有最大值=。顯然y0，故原函數(shù)的值域為(0,。 7、換元法 通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例11 求函數(shù)y=x+的值域。解：令x-1=t，t0那么x=+1y=+t+1=+，又t0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當t=0時，y=1，當t0時，y+。 故函數(shù)的值域為1，+。例12 求函數(shù)y=x+2+的值域 解：因1-0，即1 故可令x+1=cos，0，。y=cos+1+=sin+cos+1 =sin+/4+10，

12、0+/45/4 -sin+/41 0sin+/4+11+。 故所求函數(shù)的值域為0，1+。例13 求函數(shù) y=的值域解：原函數(shù)可變形為：y=- 可令x=tg，那么有=sin2，=cos2y=-sin2 cos2=-sin4當=k/2-/8時，=。當=k/2+/8時，y=-而此時tg有意義。 故所求函數(shù)的值域為-，。例14 求函數(shù)y=sinx+1cosx+1，x-/12/2的值域。解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t，那么sinxcosx=-1 y=-1+t+1=由t=sinx+cosx=sinx+/4且x-/12，/2可得：t當t=時

13、，=+，當t=時，y=+故所求函數(shù)的值域為+，+。例15 求函數(shù)y=x+4+的值域 解：由5-x0，可得x故可令x=cos，0， y=cos+4+sin=sin+/4+40， /4+/45/4 當=/4時，=4+，當=時，y=4-。故所求函數(shù)的值域為：4-，4+。8 數(shù)形結(jié)合法 其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目假設(shè)運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16 求函數(shù)y=+的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y=x-2+x+8 上式可以看成數(shù)軸上點Px到定點A2，B-8間的距離之和。由上圖可知：當點P在線段AB上時，y=x-2+x+8=AB

14、=10當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=x-2+x+8AB=10 故所求函數(shù)的值域為：10，+例17 求函數(shù)y=+ 的值域解：原函數(shù)可變形為：y=+上式可看成x軸上的點Px，0到兩定點A3，2，B-2，-1的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時， y=AB=， 故所求函數(shù)的值域為，+。 例18 求函數(shù)y=-的值域 解：將函數(shù)變形為：y=-上式可看成定點A3，2到點Px，0的距離與定點B-2，1到點Px，0的距離之差。即：y=AP-BP由圖可知：1當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P¹，那么構(gòu)成ABP¹，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有 AP

15、¹-BP¹AB= 即：-y2當點P恰好為直線AB與x軸的交點時， 有 AP-BP=AB= 。 綜上所述，可知函數(shù)的值域為：-，-。 注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A，B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，那么要使兩點A，B在x軸的同側(cè)。 如：例17的A，B兩點坐標分別為：3，2，-2，-1，在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點坐標分別為：3，2，2，-1，在x軸的同側(cè)。9 、不等式法利用根本不等式a+b2，a+b+c3a，b，c，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。10、多種方法綜合運用例21 求函數(shù)y=的值域解：令t= t0，那么x+3=+11 當t0時，y=， 當且僅當t=1，即x=-1時取等號所以0y。2 當t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：0，。注：先換元，后用不等式法。 例 22 求函數(shù)y=的值域。解：y=+=+令x=tg，那么=，=sin，y=+sin=-+ sin+1 =-+當sin=時，=。當sin=-1時，y=