數(shù)值分析典型例題.(優(yōu)選)

1、第一章典型例題例3 In2=0.69314718，精確到10_3的近似值是多少？解 精確到10_3= 0.001，即絕對(duì)誤差限是 =0.0005,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。 In2 0.693第二章典型例題例 1 用順序消去法解線性方程組x xxx x xxxx解 順序消元21412r 2 r1 ( 3/ 2) r3 r1 ( 1/ 2)01412141A b 32140.555.5r3 r2 ( 3)00.555.5124101.520.5001717于是有同解方程組2x1 x2 4x310.5x2 5x3 5.517x317回代得解X3= - 1, X2=1,Xl = 1,原線性方程

2、組的解為X = (1,1, 1)T例2取初始向量X(°)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組XXXX X XX X X解 建立迭代格式X1(k 1)2X2(k) 2X3(k) 1x2k 1)X1(k) x3k) 3 (k=1,2,3，)X3(k 1)2X1(k) 2X2(k) 5第1次迭代,k=0X(0) = 0,得到 X(1)= (1,3,5)T第 2 次迭代， k=1x1(2)2 3 2 5 1 5x(22)1 5 33x3(2)2 1 2 3 5 3X( 2) = (5, 3, 3)T第 3 次迭代， k=2x1(3)2(3)2( 3)11x2(3)5(3)31x3

3、(2)252(3)51X( 3) = (1,1,1)T第 4 次迭代， k=3(2)x1(2)x2(2)x3(2)2111212131211151X=(1,1,1)T例 4 證明例 2 的線性方程組，雅可比迭代法收斂，而高斯賽 德爾迭代法發(fā)散。證明 例 2 中線性方程組的系數(shù)矩陣為1 2 2A = 1 11221100000022于是D = o10D 1 = DL100U001001220000雅可比迭代矩陣為Bo= D 1(L U)1 0 0 0 2 20 10 10 10 0 1 2 2 0I B。(2) 2( 1) 22 2(1) 3 0得到矩陣Bo的特征根1,2,3 0，根據(jù)迭代基本定

4、理4,雅可比迭代法收高斯-賽德爾迭代矩陣為 1 G= (D L) 1U10002 2 1 0 0 0220 2 2=11000 1110 00102322100 00 2 1 0000 0 222I G023(2)2 0002解得特征根為1=0,2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-賽德爾迭代發(fā)散例5填空選擇題：1.用高斯列主元消去法解線性方程組x XXXXXX X次消元后的第 2 ,3 個(gè)方程分別為答案:x2 0.5x31.52x2 1.5x33.5解答 選a2i=2為主元，作行互換，第1個(gè)方程變?yōu)椋?xi+2x2+3xs=3, 消元得到x2 0.5x31.52x21.5x33.5是應(yīng)填寫的

5、內(nèi)容3.用高斯-賽德爾迭代法解線性方程組xxxx x xxxx的迭代格式中x2k1) =(k=0,1,2,)答案：3 x1k1) x3k)解答：高斯-賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求X2的值時(shí)應(yīng)該用上X1的新值。第三章典型例題例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為Xk2045yk5131試構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式Pn(X)，并計(jì)算f( 1)的近似值只給4對(duì)數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過(guò)3次解先構(gòu)造基函數(shù)l (x)x(x )(x)()()()x(x )(x)l (x)(X )(x)(x)()( )( )(X )(x)(x)l(x)x(x )(x)l3(X)(x 2)x(x4)(5 2)(5 0)

6、(5 4)(x 2)x( x 4)35所求三次多項(xiàng)式為nP3(x) =yklk(x)k 0x(x )(x)+(x )(x)(x)()x(x )(x)+(X )x(x )f( - 1) P3( - 1)=例3設(shè)x ,x ,x，,Xn是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，lk(x)(kn)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明:n(1)lk(x)knlk(x)xm xm(m,n)k證明(1) Pn(x)二yolo(x)+yili(x)+ynln(x)二yk(x)k 0Rn(x)玄(n 4 n (x) )!f (x) Pn(x) Rn(x)當(dāng)f(x) 1時(shí),1= Pn(x)Rn(x)lk(x)”(x)(n )!由于f(n)

7、(x)，故有nlk(x)(2)對(duì)于 f(x)二xm,m=0,1,2,n, 對(duì)固定xm(0 m n),作拉格朗日插值多項(xiàng)式，有nf(n )()xm Pn(x) Rn(x)xmik(x)n(X)k(n )!當(dāng) n>m- 1 時(shí)，f(n+1) (x)=0, Rn(x)=0，所以nxkmlk(x) xmk注意：對(duì)于次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式Qn(x) anXn an x"利用上結(jié)果，有Qn(x) anXna* xn. a x alk(x)x：nanlk(x)x：kalk(x)Xk alk(x)n=lk(x)anX：k 0n 1an 1 xknaxk ao Qn(Xk)lk(x)k 0n上式Q

8、n(Xk)lk(x)正是Qn(X)的拉格朗日插值多項(xiàng)式?？梢?，Qn(x)的拉k 0格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例5已知數(shù)據(jù)如表的第2, 3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解 計(jì)算列入表中。n=5。 ao,ai滿足的法方程組是kXkykxkXkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5a aa a .解得a°=2.45,ai=1.25。所求擬合直線方程為y=2.45+1.25x例6選擇填空題1.設(shè)y=f(x),只要xo,xi,X2是互不相同的3個(gè)值，那么滿足P(X

9、k)二yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)是(就唯一性回答問(wèn)題)答案：唯一的3.拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是()f(n )()(A) Rn(x)f(x) Pn(x)n(X)(n )!(B) f(X,Xo,X1,X2，xn)(x X1)(X X2)(一Xn-1)(X Xn)f (n )()(C) Rn(x)f(x) Pn(x)(n )!(D) f(X,X0,X1,X2，Xn)(x xo)(x X1)(X X2)(一Xn-1)(X Xn)答案：(A) , (D)。見教材有關(guān)公式。第四章典型例題例1試確定求積公式f(x)dx f ( 一) f (一)的代數(shù)精

10、度。依定義，對(duì)xk(k=0,1,2,3,)，找公式精確成立的k數(shù)值解 當(dāng)f(x)取1,x,x2,時(shí)，計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。(1)取 f(x)=1,有左邊= f (x)dxdx,右邊=f( 一)'f(.)(2)取 f(x)=x，有左邊=f(x)dxdx,右邊=f ()f()廠廠VVJ(3)取 f(x)=x2，有左邊二f (x)dxx dx 一J右邊取f(x)=x3，有左邊= f (x)dx x dx右邊=f( ) f()()()vvVv(5)取 f(x)=x4，有f (x)dx x dx -=f( ) f()()()-當(dāng)k 3求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具 有3

11、次代數(shù)。hi.例5 試確定求積公式f(x)dx -f(0) f(h) ah2f (0) f (h)中的參02數(shù)a,并證明該求積公式具有三次代數(shù)精度。解公式中只有一個(gè)待定參數(shù)a。當(dāng)f(x)=1,x時(shí)，有1dxo卯 1 0,即 h=hxldxoh0 h ah2(1 1),牛2 2不能確定a，再令f(x)=x2,代入求積公式，得到33x2dx2ah3切 h2 ah2(2 0 2h),即牛毎得a丄.求積公式為"f (x)dx - f (0) f(h)12 0 2將f(x)=x3代入上求積公式，有3dx -0 h3(3 0 3h2)0 2 12可見，該求積公式至少具有三次代數(shù)精度。£

12、f(0) f(h)再將f(x)=/代入上公式中,h 4h4 h3x4dx -0 h4(4 0 4h3)0 2 12所以該求積公式具有三次代數(shù)精度。例6選擇填空題1.牛頓-科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)解答：牛頓-科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其 精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。 第五章典型例題 例1證明方程1-x sinx= 0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求 誤差不超過(guò)0.5X 10 4的根要迭代多少次？證明令 f(x)= 1 x sinxV f(0)=1>0 , f(1)=sin 1<0二 f(x)=1 x sinx=0 在0 , 1

13、有根。又f (x)=1 cosx>0(x 0 , 1),故 f(x) = 0 在區(qū)間0 , 1內(nèi)有唯實(shí)根。ln(b a) InlnIn . lnIn給定誤差限=0.5 X 10 4，有只要取n= 14。例2用迭代法求方程x5 4x 2= 0的最小正根。計(jì)算過(guò)程保留4 位小數(shù)。分析容易判斷1, 2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式x x，即(x) x,(X) (x (,)，此時(shí)迭代發(fā)散。建立迭代格式x E(x)涼習(xí)(x)雨冷軌x 2)，此時(shí)迭代收斂。解建立迭代格式x 、X , (x) x(x)4-(1 x 2),取初始值xo 1(可任取1,2之間的值)5引(4x 2)45x x1.431 0

14、 x x.1.505 1x x 、 .1.516 5 x x . .1.518 2x_x .1.5185取 x 1.5185例3試建立計(jì)算心的牛頓迭代格式，并求.的近似值，要 求迭代誤差不超過(guò)10_5分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù)，求到兩個(gè)近似解之差的絕對(duì)值不超過(guò)105解令 x -a, f (x) x a,求x的值。牛頓迭代格式為XkXkf(xjf (Xk)XkXkaXk一 XkaXk(k,.,)迭代誤差不超過(guò)105,計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng) x=7 或 8 時(shí)，x3=343 或 512, f( )f (),而 f()f()，取 xo=8,于是，a-x x7.478 0787.439 9567.4397607.4397607.439760例4用弦截法求方程x3 x2 1 = 0,在x=1.5附近的根。計(jì)算中保留5位小數(shù)點(diǎn)。分析先確定有根區(qū)間。再代公式。解 f(x)= x3 x2 1, f(1)= 1, f(2)=3，有根區(qū)間取1,2取X1 = 1,迭代公式為XnXnf (Xn)f(xn) f(xnxn )(n=1,2,)一x一x(xx x x xx .: (.)1.37662)1.48881)1.46348:( .)1.