線性代數(shù)試題及答案

1、（試卷一）一、 填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）1. 排列7623451的逆序數(shù)是。2. 若，則 3. 已知階矩陣、和滿足，其中為階單位矩陣，則。4. 若為矩陣，則非齊次線性方程組有唯一解的充分要條件是_5. 設(shè)為的矩陣，已知它的秩為4，則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為_(kāi)2_。6. 設(shè)A為三階可逆陣，則 7.若A為矩陣，則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 8.已知五階行列式，則 9. 向量的模（范數(shù)）。10.若與正交，則 二、選擇題（本題總計(jì)10分，每小題2分）1. 向量組線性相關(guān)且秩為s，則(D)2. 若A為三階方陣，且，則(A)3設(shè)向量組A能由向量組B線性表示，則(

2、d )4. 設(shè)階矩陣的行列式等于，則等于。c5. 設(shè)階矩陣，和，則下列說(shuō)法正確的是。 則 ,則或三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分。1-3每小題8分,4-7每小題9分）1. 計(jì)算階行列式 。2設(shè)A為三階矩陣，為A的伴隨矩陣，且，求.3求矩陣的逆4. 討論為何值時(shí)，非齊次線性方程組 有唯一解； 有無(wú)窮多解； 無(wú)解。5. 求下非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和此方程組的通解。6.已知向量組、，求此向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示7. 求矩陣的特征值和特征向量四、證明題（本題總計(jì)10分）設(shè)為的一個(gè)解，為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明線性無(wú)關(guān)。（答案一）一、填空題

3、（本題總計(jì)20分，每小題 2 分）115；2、3；3、；4、；5、2；6、；7、；8、0；9、3；10、1。.二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，1-3每小題8分，4-7他每小題9分）1、 解： -3分 -6分 -8分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）解：（1）-1分 -5分 （2）-8分3. 設(shè)A為三階矩陣，為A的伴隨矩陣，且，求. 因A，故 3分 5分 8分4、解： -3分 -6分 故-8分 （利用公式求得結(jié)果也正確。）5、解； -3分 （1）唯一解： -5分 （2）無(wú)窮多解： -7分 （3）無(wú)解： -9分 （利

4、用其他方法求得結(jié)果也正確。）6、解：-3分 基礎(chǔ)解系為 ，-6分 令，得一特解：-7分 故原方程組的通解為：，其中-9分（此題結(jié)果表示不唯一，只要正確可以給分。）7、解：特征方程 從而 (4分)當(dāng)時(shí)，由得基礎(chǔ)解系，即對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為 (7分)當(dāng)時(shí)，由得基礎(chǔ)解系，即對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為 四、證明題（本題總計(jì)10 分）證： 由為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則線性無(wú)關(guān)。(3分) 反證法：設(shè)線性相關(guān)，則可由線性表示，即： (6分)因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故必是的解。這與已知條件為的一個(gè)解相矛盾。(9分). 有上可知，線性無(wú)關(guān)。(10分)(試卷二)一、填空題（本題總計(jì)

5、 20 分，每小題 2 分）1. 排列6573412的逆序數(shù)是 2.函數(shù) 中的系數(shù)是 3設(shè)三階方陣A的行列式,則= A/3 4n元齊次線性方程組AX=0有非零解的充要條件是 5設(shè)向量，=正交，則 6三階方陣A的特征值為1，2，則 7. 設(shè)，則.8. 設(shè)為的矩陣，已知它的秩為4，則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為_(kāi)9設(shè)A為n階方陣，且2 則 10已知相似于，則 ， 二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）1. 設(shè)n階矩陣A的行列式等于，則等于 (A) (B)-5 (C) 5 (D)2. 階方陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是 . (A) 矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 (B) 矩陣有

6、個(gè)特征值 (C) 矩陣的行列式 (D) 矩陣的特征方程沒(méi)有重根3A為矩陣，則非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是 (A) (B) (C) (D) 4.設(shè)向量組A能由向量組B線性表示，則( )(A) (B)(C) (D)5. 向量組線性相關(guān)且秩為r，則 (A) (B) (C) (D) 三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10 分）1. 計(jì)算n階行列式: .2已知矩陣方程，求矩陣,其中.3. 設(shè)階方陣滿足,證明可逆，并求.4求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:5求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示6已知二次型：， 用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，

7、并求出其正交變換矩陣Q四、證明題（本題總計(jì) 10 分，每小題 10 分）設(shè), , , , 且向量組線性無(wú)關(guān)，證明向量組線性無(wú)關(guān).(答案二)一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題2 分）1. 17 2. -2 3456-27或8 29、10、二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10分）1、 解： -4分 -7分 -10分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）2求解，其中 解：由得 (3分) (6分) (8分)所以 (10分)3解：利用由可得： -5分 即 -7分 故可逆且-10分4求下列非齊次線性方程組

8、的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 解： (2分) (4分)則有 (6分)取為自由未知量，令，則通解為： (8分)對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為： (10分)5求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示 解：= (2分) 為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組. (4分) 設(shè) ， 解得 ， . (8分) 則有 ， 6 解 的矩陣 (2分)的特征多項(xiàng)式 (4分) 的兩個(gè)正交的特征向量 , 的特征向量 正交矩陣 8分) 正交變換：標(biāo)準(zhǔn)形 四、證明題（本題總計(jì) 10分）若設(shè)且向量組線性無(wú)關(guān)，證明向量組線性無(wú)關(guān). 證明：設(shè)存在，使得 也即 化簡(jiǎn)得 又因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，則 (8分)解得 所以，線性無(wú)

9、關(guān).（試卷三）一、填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）1、 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列的逆序數(shù)為 2、 設(shè)4階行列式，則 3、 已知，則 4、 已知n階矩陣A、B滿足，則 5、 若A為矩陣，則齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是 6、 若A為矩陣，且，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個(gè)數(shù)為 7、 若向量與向量正交，則 8、 若三階方陣A的特征多項(xiàng)式為，則 9、設(shè)三階方陣、，已知，則 10、設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則當(dāng)常數(shù)滿足 時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān).二、選擇題（本題總計(jì)10分，每小題2分）1、 以下等式正確的是( ) 2、 4階行列式中的項(xiàng)和的符號(hào)分別為（ ）正、正正、負(fù)負(fù)、負(fù)負(fù)、正3

10、、 設(shè)A是矩陣，C是n階可逆陣，滿足BAC. 若A和B的秩分別為和 ，則有( )以上都不正確 4、 設(shè)A是矩陣，且，則非齊次線性方程組( )有無(wú)窮多解有唯一解無(wú)解無(wú)法判斷解的情況5、已知向量組線性無(wú)關(guān)，則以下線性無(wú)關(guān)的向量組是（ ）三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，每小題10分）1 求矩陣的特征值和特征向量2 計(jì)算階行列式3 已知矩陣，且滿足，求矩陣X.4 求下列非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解5 已知矩陣，求矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示6 已知A為三階矩陣，且，求四、證明題（本題總計(jì)10分）設(shè)向量組中前個(gè)向量線性相關(guān)，后個(gè)向量

11、線性無(wú)關(guān)，試證：（1）可由向量組線性表示；（2）不能由向量組線性表示.（試卷四）一、填空題（本題總計(jì)16分，每小題2分）1、 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列的逆序數(shù)為 2、 4階行列式 3、 已知，為A的伴隨矩陣，則 4、 已知n階方陣A和B滿足，則 5、 已知A為矩陣，且，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個(gè)數(shù)為 6、 已知四維列向量、，且，則 7、 把向量單位化得 8、 若三階方陣A的特征多項(xiàng)式為，則 二、選擇題（本題總計(jì)14分，每小題2分）1、 已知，則以下等式正確的是( ) 2、 設(shè)A和B為n階方陣，下列說(shuō)法正確的是（ ）若，則 若，則或若，則或 若，則3、 設(shè)A是矩陣，且，則非齊次線性方程組( )有唯一解有無(wú)窮多解無(wú)解無(wú)法判斷解的情況4、 向量組的秩就是向量組的（ ）極大無(wú)關(guān)組中的向量線性無(wú)關(guān)組中的向量極大無(wú)關(guān)組中的向量的個(gè)數(shù)線性無(wú)關(guān)組中的向量的個(gè)數(shù)5、 已知n階方陣A、B和C滿足ABC=E，其中E為n階單位矩陣，則( )6、 設(shè)A為三階方陣，為A的伴隨矩陣，且，則（ ）7、 已知n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于n-3，且是的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則的基礎(chǔ)解系可為（ ）三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，1-3每小題8分，4-