求二面角方法——1定義法

1、二面角1定義法二面角二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數等重要知識。求二面角大小的關鍵是，根據不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法，作出二面角的平面角，有時亦可直接運用射影面積公式（設二面角的度數為，則，多用于求無棱二面角）求出二面角的大小。求二面角的大小的基本方法為先證后算,即先由有關立幾結論找出二面角的平面角(大多數題是用三垂線法去找),然后借助于解三角形求出平面角.現將二面角大小的求法歸類分析如下：定義法：利用二面角的平面角定義，在二

2、面角棱上取一點（特殊點），過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.用定義法時，要認真觀察圖形的特性ABCD1.如圖，四面體ABCD的棱BD長為2，其余各棱的長均是，求：二面角ABDC、BACD的大小ABCDOE解析：(1)取BD的中點O，連AO、OC在ABD中，ABAD，BD2，ABD是等腰直角三角形，AOBD，同理OCBDAOC是二面角ABDC的平面角。又AOOC1，AC，AOC90°即二面角ABDC為直二面角。(2)取AC的中點E，連BE、DEABBC，ADDC，BDAC，DEAC，BED就是二面角的平面角在BDE中，BEDE，由余弦定理，得2.在四

3、棱錐PABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PAAB，求二面角BPCD的大小。PBACDPBACDH解：，過B作BHPC于H，連結DH使DHPC，故BHD為二面角BPCD的平面角。因PB,BC,PC,PB·BCPC·BH，則BHDH又BD，在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD，則BHD，二面角BPCD的大小是。DABC3.三棱錐ABCD中，BACBCD90°，DBC30°，ABAC，AD4，求二面角ABCD的度數。解：由已知條件BAC90°，ABAC，設BC的中點設為O，則OAOCDOABCBC解之得：BACD4.如圖AC

4、面BCD，BD面ACD，若ACCD1，ABC30°，求二面角的大小。解：即所求角的大小為。（此題也可用垂線法）練習：1.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。（）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成的角；（）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。方案一：（）證明：PA面ABCD，CDAD，由三垂線定理得：CDPD.因而，CD與面PAD內兩條相交直線AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD.（）解：過點B作BE/CA，且BE=CA，則PBE是AC與PB所成的角.連結AE，可知AC=C

5、B=BE=AE=，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形. 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足為N，連結BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC,BNCM，故ANB為所求二面角的平面角.CBAC，由三垂線定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=，. AB=2，故所求的二面角為方法二：因為PAPD，PAAB，ADAB，以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）證明：因由題設知ADDC，且AP與AD是平面PAD