高中數(shù)學(xué)立體幾何專(zhuān)題空間距離的各種計(jì)算含答案doc

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何 空間距離1.兩條異面直線間的距離和兩條異面直線分別垂直相交的直線，叫做這兩條異面直線的公垂線；兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離.2.點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.3.直線與平面的距離如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么直線上各點(diǎn)到這平面的距離相等，且這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線和平面的距離.4.兩平行平面間的距離和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩平行平面的公垂線，它夾在兩個(gè)平行平面間的公垂線段的長(zhǎng)叫做這兩個(gè)平行平面的距離.題型一：兩條異面直線間的距離【例1】

2、如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).例1題圖(1)求證：EF是AB和CD的公垂線；(2)求AB和CD間的距離；【規(guī)范解答】 (1)證明：連結(jié)AF，BF，由已知可得AF=BF.又因?yàn)锳E=BE，所以FEAB交AB于E.同理EFDC交DC于點(diǎn)F.所以EF是AB和CD的公垂線.(2)在RtBEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.例2題圖由(1)知EF是AB、CD的公垂線段，所以AB和CD間的距離為.【例2】 如圖,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，求異面直線AB、CD之間的距離.設(shè)AB中點(diǎn)為E，連CE、ED.AC=

3、BC,AE=EB.CDAB.同理DEAB.AB平面CED.設(shè)CD的中點(diǎn)為F,連EF，則ABEF.同理可證CDEF.EF是異面直線AB、CD的距離.CE=,CF=FD=,EFC=90°,EF=.AB、CD的距離是.【解后歸納】 求兩條異面直線之間的距離的基本方法：（1）利用圖形性質(zhì)找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長(zhǎng)度.（2）如果兩條異面直線中的一條直線與過(guò)另一條直線的平面平行，可以轉(zhuǎn)化為求直線與平面的距離.（3）如果兩條異面直線分別在兩個(gè)互相平行的平面內(nèi)，可以轉(zhuǎn)化為求兩平行平面的距離.例3題圖題型二：兩條異面直線間的距離【例3】 如圖(1),正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，求：A到

4、平面BCD的距離；過(guò)A作AO平面BCD于O，連BO并延長(zhǎng)與CD相交于E，連AE.AB=AC=AD,OB=OC=OD.O是BCD的外心.又BDBCCD，O是BCD的中心，BO=BE=.又AB1，且AOB=90°,AO=.A到平面BCD的距離是.【例4】 在梯形ABCD中,ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a且sinADC=,又PA平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角PCDA的大小; (2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.【規(guī)范解答】 (1)作AFDC于F,連結(jié)PF,AP平面ABCD,AFDC,PFDC,PFA就是二面角PCDA的平面角.在ADF中,AFD=90°,ADF=ar

5、csin,AD=3a,AF=,在RtPAF中tanPFA=,PFA=arc tan.(2)PA平面ABCD,PABC,又BCAB,BC平面PAB,作AHPB,則BCAH,AH平面PBC,PAAB,PA=AB=a,PB=a,AH=.【例5】 如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的長(zhǎng)；（）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.解法1：（）過(guò)E作EH/BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.AFEC1，F(xiàn)AD=C1EH. RtADFRtEHC1.DF=C1H=2. （）延長(zhǎng)C1E與CB交于G

6、，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過(guò)C作CMAG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足為Q，則CQ的長(zhǎng)即為C到面AEC1F的距離.解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.AEC1F為平行四邊形，（II）設(shè)為面AEC1F的法向量，的夾角為a，則C到平面AEC1F的距離為【例6】 正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線，D是AC的中點(diǎn)。B

7、ACD（1）求點(diǎn)到直線AC的距離.（2）求直線到平面的距離解：（1）連結(jié)BD，由三垂線定理可得：，所以就是點(diǎn)到直線AC的距離。在中（2）因?yàn)锳C與平面BD交于的中點(diǎn)，設(shè)，則/DE，所以/平面，所以到平面BD的距離等于點(diǎn)到平面BD的距離，等于點(diǎn)到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高， ，即直線到平面BD的距離是【解后歸納】 求空間距離注意三點(diǎn)：1常規(guī)遵循一作二證三計(jì)算的步驟；2多用轉(zhuǎn)化的思想求線面和面面距離；3體積法是一種很好的求空間距離的方法【范例4】如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).（1）證明：D1EA1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距

8、離；（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為.解析：法1（1）AE面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）過(guò)D作DHCE于H，連D1H、DE，則D1HCE， DHD1為二面角D1ECD的平面角. 設(shè)AE=x，則BE=2x法2：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得

9、，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為（3）設(shè)平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2, a=2x，依題意（不合，舍去）， .AE=時(shí)，二面角D1ECD的大小為.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.把邊長(zhǎng)為a的正ABC沿高線AD折成60°的二面角，則點(diǎn)A到BC的距離是 ( )A.a B. C. D.2.ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120°.ABC所在平面外一點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都是14，那么點(diǎn)P到平面的距離為 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.從平面外一點(diǎn)P向引兩條斜線PA,PB.A,B為斜足,它們與所成角的差是45°,它們?cè)趦?nèi)的

10、射影長(zhǎng)分別是2cm和12cm ,則P到的距離是 ( )A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm4.空間四點(diǎn)A、B、C、D中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為 ( )A. B. C. D.a5.在四面體PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直.M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)面PAB、PBC、PCA的距離分別為2、3、6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是 ( )A.7 B.8 C.9 D.106.如圖，將銳角為60°，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿較短的對(duì)角線折成60°的二面角，則AC與BD的距離是 ( )A. B.

11、C. D. 第6題圖第7題圖7.如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD，PD=AD1，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d1，點(diǎn)B到平面PAC的距離為d2，則有 ( )A.1<d1<d2 B.d1<d2<1C.d1<1<d2 D.d2<d1<18.如圖所示，在平面的同側(cè)有三點(diǎn)A、B、C，ABC的重心為G.如果A、B、C、G到平面的距離分別為a、b、c、d，那么a+b+c等于 ( )A.2d B.3d C.4d D.以上都不對(duì)第8題圖第9題圖9.如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為a，A=60°，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的

12、點(diǎn)且，沿EH和FG把菱形的兩銳角折起，使A、C重合，這時(shí)點(diǎn)A到平面EFGH的距離是 ( )A. B. C. D.二、思維激活10.二面角-MN-等于60°，平面內(nèi)一點(diǎn)A到平面的距離AB的長(zhǎng)為4，則點(diǎn)B到的距離為 . 11.在60°的二面角l中，A,ACl于C，B，BDl于D，又AC=BD=a,CD=a，則A、B兩點(diǎn)間距離為 . 12.設(shè)平面外兩點(diǎn)A和B到平面的距離分別為4cm和1cm，AB與平面所成的角是60°，則線段AB的長(zhǎng)是 .13.在直角坐標(biāo)系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y軸把直角坐標(biāo)系折成平面角為的二面角AOyB后,AOB=90°，則

13、cos的值是 .三、能力提高14.在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，ABC=60°，PC平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PBC的距離15.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB為直角，側(cè)面AB1與側(cè)面AC1所成的二面角為60°，M為AA1上的點(diǎn).A1MC1=30°，BMC1=90°，AB=a.(1)求BM與側(cè)面AC1所成角的正切值.第15題圖(2)求頂點(diǎn)A到面BMC1的距離. 16.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直.ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1A1C,AA1=A1C.（1）求側(cè)棱A1A與底面A

14、BC所成角的大小;（2）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小;（3）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離.17.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AB與BC的中點(diǎn)，EF與BD交于H.(1)求二面角B1EFB的大小.(2)試在棱B1B上找一點(diǎn)M，使D1M面EFB1，并證明你的結(jié)論.(3)求點(diǎn)D1到面EFB1的距離. 第17題圖空間的距離習(xí)題解答1.D 折后BC=,點(diǎn)A到BC的距離為.2.A BC=.ABC外接圓半徑R=,點(diǎn)P到的距離為3.D 設(shè)PO垂足為O,|PO|=xcm ,OAP=,OBP=,那么-=45°,tan=,tan=,tan (-)=

15、tan 45°展開(kāi)左邊并整理得:x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4. 4.B P、Q的最短距離即為異面直線AB與CD間的距離，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)時(shí)符合題意.5.A PM=.6.C 取BD的中點(diǎn)O連AO、OC，作OEAC于E，則OE為所求，AO=CO=AC=.7.D 點(diǎn)C到平面PAB的距離d1=,點(diǎn)B到平面PAC的距離d2=，,d2<d1<18.B |MM|=，又.a+b+c=3d.9.A 設(shè)BD的中點(diǎn)為O，EO=，點(diǎn)A到平面EFGH的距離為.10.2 作ACMN于C，連BC，則BCMN，第13題圖解ACB=60°，又MN平面ABC，平面

16、ABC平面，作BDAC于D，則BD，BD的長(zhǎng)即為所求，得BD=211. AB=.12.2cm或cm當(dāng)點(diǎn)A、B在同側(cè)時(shí)，AB=;當(dāng)點(diǎn)A、B在異側(cè)時(shí)，AB=13. 如圖,AB=BCy軸,BCy軸,BCB為二面角AOyB的平面角.BCB=,在BCB中,BC=BC=3,第14題圖解BB=,由余弦定理易知cos=.14.如圖，將點(diǎn)E到平面PBC的距離轉(zhuǎn)化成線面距，再轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距.連AC、BD，設(shè)AC、BD交于O，則EO平面PBC，OE上任一點(diǎn)到平面PBC的距離相等平面PBC平面ABCD，過(guò)O作OG平面PBC，則GBC，又ACB=60°，AC=BC=AB=a，OC=,OG=OC sin60

17、76;=.點(diǎn)評(píng)：若直接過(guò)E作平面PBC的垂線，垂足難以確定在解答求距離時(shí)，要注意距離之間的相互轉(zhuǎn)化有的能起到意想不到的效果 15.(1)三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，BAC為二面角B1AA1C1的平面角，BAC=60°.又ACB為直角，BC側(cè)面AC1.連MC，則MC是MB在側(cè)面AC1上的射影.BMC為BM與側(cè)面AC1所成的角.且CMC1=90°，A1MC1=30°，所以AMC=60°.設(shè)BC=m，則AC=，MC=m，所以tanBMC=.即BM與側(cè)面AC1所成的角的正切值為.(2)過(guò)A作ANMC，垂足為N，則AN面MBC1.面MBC面MBC1，且過(guò)N

18、作NHMB，垂足為H，則NH是N到面MBC1的距離，也就是A到面MBC1的距離.AB=a,AC=,且ACN=30°，第16題圖解AN=且AMN=60°，MN=.NH=MNsinBMC=×(本題還可用等積法).16.(1)如圖所示,作A1DAC,垂足為D,由面A1ACC1面ABC,得A1D面ABCA1AD為A1A與面ABC所成的角AA1A1C,AA1=A1CA1AD=45°為所求.(2)作DEAB垂足為E,連A1E,則由A1D面ABC,得A1EAB,A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.由已知ABBC得DEBC,又D是AC的中點(diǎn),BC=2,

19、AC=2DE=1,AD=A1D=,tanA1ED=,故A1ED=60°為所求.()連結(jié)A1B,根據(jù)定義,點(diǎn)C到面A1ABB1的距離,即為三棱錐CA1AB的高h(yuǎn).由VCA1AB=VA1-ABC得SAA1Bh=SABC·A1D即,h=為所求.第17題圖解17.(1)如圖連結(jié)B1D1，AC，B1H，底面為正方形ABCD，對(duì)角線ACBD.又E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)EFAC.EFBD.又棱B1B底面ABCD，EF面ABCD，EFB1B.又B1BBD=B,BB1面BB1D1D，BD面BB1D1D.EF面BB1D1D.而B(niǎo)1面BB1D1D，BH面BB1D1D，EFB1H，EFBH.B

20、1HB為二面角B1EFB的平面角.在RtB1BH中，B1B=a,BH=，tanB1HB=.B1HB=arctan2.二面角B1EFB的大小為arctan2.(2)在棱B1B上取中點(diǎn)M，連D1M，則D1M面EFB1.連結(jié)C1M.EF面BB1D1D，D1M面BB1D1D.D1MEF.又D1C1面B1BCC1.C1M為D1M在面B1BCC1內(nèi)的射影.在正方形B1BCC1中，M、F分別為B1B和BC的中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)B1FC1M.于是，由三垂線定理可知B1D1，而B(niǎo)1F面EFB1，EF面EFB1，EFB1F=F，D1M面EFB1.(3)設(shè)D1M與面EFB1交于N點(diǎn)，則D1N為點(diǎn)D到面EFB1的距離

21、，B1面EFB1,D1M面EFB1，B1ND1M.在RtMB1D1中，由射影定理D1B12=D1N·D1M，而D1B1=a,D1=，D1N=即點(diǎn)D1到面EFB1的距離為.高中數(shù)學(xué)立體幾何 空間距離的計(jì)算（學(xué)生版）1.兩條異面直線間的距離和兩條異面直線分別垂直相交的直線，叫做這兩條異面直線的公垂線；兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離.2.點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.3.直線與平面的距離如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么直線上各點(diǎn)到這平面的距離相等，且這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這

22、條直線和平面的距離.4.兩平行平面間的距離和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩平行平面的公垂線，它夾在兩個(gè)平行平面間的公垂線段的長(zhǎng)叫做這兩個(gè)平行平面的距離.題型一：兩條異面直線間的距離【例1】 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).例1題圖(1) 求證：EF是AB和CD的公垂線；(2)求AB和CD間的距離；【例2】 如圖,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，求異面直線AB、CD之間的距離.例2題圖【解后歸納】 求兩條異面直線之間的距離的基本方法：（1）利用圖形性質(zhì)找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長(zhǎng)度.（2）如果兩條異面直線中的一條

23、直線與過(guò)另一條直線的平面平行，可以轉(zhuǎn)化為求直線與平面的距離.（3）如果兩條異面直線分別在兩個(gè)互相平行的平面內(nèi)，可以轉(zhuǎn)化為求兩平行平面的距離.例3題圖題型二：兩條異面直線間的距離【例7】 如圖,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，求：A到平面BCD的距離；【例8】 在梯形ABCD中,ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a且sinADC=,又PA平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角PCDA的大小; (2)點(diǎn)A到平面PBC的距離.【例9】 如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的長(zhǎng)；（）求點(diǎn)C到平面AEC1F

24、的距離.BACD【例10】 正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線，D是AC的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)到直線AC的距離.（2）求直線到平面的距離【解后歸納】 求空間距離注意三點(diǎn)：1常規(guī)遵循一作二證三計(jì)算的步驟；2多用轉(zhuǎn)化的思想求線面和面面距離；3體積法是一種很好的求空間距離的方法【例11】 如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).（1）證明：D1EA1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.把邊長(zhǎng)為a的正ABC沿高線AD折成60°的二面角，則點(diǎn)A到BC的距離是 ( )A.

25、a B. C. D.2.ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120°.ABC所在平面外一點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都是14，那么點(diǎn)P到平面的距離為 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.從平面外一點(diǎn)P向引兩條斜線PA,PB.A,B為斜足,它們與所成角的差是45°,它們?cè)趦?nèi)的射影長(zhǎng)分別是2cm和12cm ,則P到的距離是 ( )A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm4.空間四點(diǎn)A、B、C、D中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為 ( )A. B. C. D.a5.在四面體PABC中，P

26、A、PB、PC兩兩垂直.M是面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)面PAB、PBC、PCA的距離分別為2、3、6，則點(diǎn)M到頂點(diǎn)P的距離是 ( )A.7 B.8 C.9 D.106.如圖，將銳角為60°，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿較短的對(duì)角線折成60°的二面角，則AC與BD的距離是 ( )A. B. C. D. 第6題圖第7題圖7.如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD，PD=AD1，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d1，點(diǎn)B到平面PAC的距離為d2，則有 ( )A.1<d1<d2 B.d1<d2<1C.d1<1<d2 D.d2<d1<18.如圖所示，在平面的同側(cè)有三點(diǎn)A、B、C，ABC的重心為G.如果A、B、C、G到平面的距離分別為a、b、c、d，那么