二次函數(shù)圖像對稱變換前后系數(shù)地關(guān)系(專題)

1、實用標準二次函數(shù)圖像對稱變換前后系數(shù)的關(guān)系課時學(xué)習(xí)目標：1 .能熟練根據(jù)二次函數(shù)的解析式的系數(shù)確定拋物線的開口方向，頂點坐標，和對稱軸、 最值和增減性區(qū)域。2 .會根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖像，并能從圖像上描述出函數(shù)的一些性質(zhì)。3 .能說出拋物線y=ax2+bx+c,關(guān)于x軸、y軸對稱變換后的解析式、關(guān)于坐標原點對稱 變換前后的解析式系數(shù)變化規(guī)律，能根據(jù)系數(shù)變化規(guī)律，熟練寫出函數(shù)圖像對稱變換后解析式。學(xué)習(xí)重點：利用函數(shù)的圖像，觀察認識函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合解析式，認識a、b、c、b24ac的取值,對圖像特征的影響。學(xué)習(xí)難點：利用圖像認識總結(jié)函數(shù)性質(zhì)變化規(guī)律。一、復(fù)習(xí)預(yù)備1 .拋物線y = -2

2、(x +4)2 5的頂點坐標是,對稱軸是,在 側(cè)，即x 時，y隨著x的增大而增大； 在 側(cè)，即x 時，y 隨著x的增大而減?。划?x=時，函數(shù) y 最 值是。2 .拋物線y=x2 -2x-3 的頂點坐標是,對稱軸是,在 側(cè)，即x 時，y隨著x的增大而增大； 在 側(cè)，即x 時,y 隨著x的增大而減?。划?x=時，函數(shù) y最 值是 o3.已知函數(shù)y= x 2 -2x -3 ,(1)把它寫成y =a(x+m)2+k的形式；并說明它是由怎樣的拋物線經(jīng)過怎樣平移得到 的？(2)寫出函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值；(3)求出圖象與坐標軸的交點坐標；(4)畫出函數(shù)圖象的草圖；(5)設(shè)圖像交x軸于

3、A、B兩點，交y軸于P點，求 APB的面積；(6)根據(jù)圖象草圖，說出x取哪些值時，y=0;y0.4.二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a w0)的圖象如圖2所示，貝U: a_0; b_0;c 0 b2 -4ac_0。例3:已知二次函數(shù)的圖像如圖一3所示，下列結(jié)論：(1)a+b+c 0, abc 0, b=2a其中正確的結(jié)論的個數(shù)是()A.1個，B.2個，C.3個，D.4個.、歸納二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a w0)的圖像與系數(shù)a、b、c、b2_4ac的關(guān)系系數(shù)的符號圖像特征a的符號決定 開口方向a0.拋物線開口向a0,同號拋物線對稱軸在y軸的側(cè)ab=0, b=0拋物線對稱軸在ab0.拋物線

4、與y軸交于C=0拋物線與y軸交于c0.拋物線與x軸后個交點2b -4ac =0拋物線與x軸后個交點2,一b -4ac 0拋物線與x軸后個交點三、二次函數(shù)圖像對稱變換前后系數(shù)的關(guān)系探究例1.某拋物線和函數(shù)y= -x 2 +2x -3的圖象關(guān)于y軸成軸對稱，請你求出該拋物線的 關(guān)系式。例2.某拋物線和函數(shù)y= -x 2 +2x -3 關(guān)系式。的圖象關(guān)于x軸成軸對稱，請你求出該拋物線的例3.某拋物線和函數(shù) 關(guān)系式。y= -x 2 +2x -3的圖象關(guān)于原點成中心對稱，請你求出該拋物線的例4.某拋物線和函數(shù) 的關(guān)系式。y= -x 2 +2x -3的圖象關(guān)于頂點坐標成軸對稱，請你求出該拋物線例5.某拋物

5、線和函數(shù) 物線的關(guān)系式。y= -x 2 +2x -3的圖象關(guān)于點(3,2 )成中心對稱，請你求出該拋函數(shù)y= ax2+bx+c的圖象對稱變換后，解析式系數(shù)變化規(guī)律:變換形式圖像關(guān)系系數(shù)關(guān)系原因關(guān)于軸x軸對稱變換4/a系數(shù)a互為相反數(shù)開口方向相反b系數(shù)b互為相反數(shù)b2a值小艾，a、b向變c系數(shù)c互為相反數(shù)兩交點大于x軸對稱的點關(guān)于軸y軸對稱變換卜a系數(shù)a /、父開口方向相同b系數(shù)b互為相反數(shù)b-ya變號，a /、變b變c系數(shù)c /、父兩交點重合關(guān)于原定中心對稱變換44a系數(shù)a互為相反數(shù)開口方向相反b系數(shù)b /、父b一&變號，a變號b /、變c系數(shù)c互為相反數(shù)兩交點大于x軸對稱的點四、達標檢測1

6、.二次函數(shù)y= ax2 +bx+c(a w0)的圖象如圖所示，則點A(a,b)在()A.第一象限B. 第二象限 C.第三象限D(zhuǎn). 第四象限2 .二次函數(shù)y= ax2 +bx+c(a w0)的圖象如圖所示,則下列條件不正確的是()A.a0,c0 B.b2-4ac0C.a+b+c0(1)(2)3 .二次函數(shù)y= 6x2 +7x -3的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象解析式為 , 關(guān)于y軸對稱的圖象解析式為,關(guān)于坐標原點對稱的解析式二次函數(shù)圖象變換規(guī)律-、二次函數(shù)圖象的平移變換(1)具體步驟：先利用配方法把二次函數(shù)化成y=a(x h)2+k的形式，確定其頂點(h,k),然后做 出二次函數(shù)y=ax2的圖像，將拋

7、物線y = ax2平移，使其頂點平移到(h,k).具體平移方 法如圖所示：向上下平移向上(t0.下(衣。)平移J k 個單位(2)平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減，上加下減”.方產(chǎn)+精彩文檔二、二次函數(shù)圖象的對稱變換二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1 .關(guān)于x軸對稱y =ax2 +bx+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=ax2 bxc；22y =a (xh ) +k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是 y =-a(x - h ) -k ;2 .關(guān)于y軸對稱22y =ax +bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax -bx+c；22y =a (x -h ) +k

8、關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y =a(x +h ) +k ；3 .關(guān)于原點對稱y =ax2 bx c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y = -ax2 bx - c ;2y =-a(x + h ) -k ;2y =a(x -h ) +k關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是4 .關(guān)于頂點對稱(即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180。)2口2b2y =ax +bx+c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-ax bx+c-；2a2y =-a(x - h ) +k .2y =a(x -h ) +k關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是5 .關(guān)于點(m, n網(wǎng)稱y =a(xh)+k關(guān)于點(m ,n。寸稱后，得至解析式是y =-a(x

9、 + h -2m)+2n-k無論拋物線作何種對稱變換，形狀不變，a不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，先確定已知拋物線的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，再寫出其對稱拋物線的表達式.【習(xí)題分類】一、二次函數(shù)圖象的平移變換1、2、A.右移兩個單位，下移一個單位C,左移兩個單位，下移一個單位函數(shù)y=-2（x1）2 1的圖象可由函數(shù)是（）A.右移三個單位，下移四個單位C.左移三個單位，下移四個單位B.右移兩個單位，上移一個單位D,左移兩個單位，上移一個單位y =q（x+2）2+3的圖象平移得到，那么平移的步驟B.右移三個單位，上移四個單位D.左移四個單位，上移四個單位3、

10、C 2/.二次函數(shù)y=x +4x+1的圖象如何移動就得到2y=-2x的圖象（4、為A.向左移動1個單位，向上移動3個單位.B.向右移動1個單位，向上移動3個單位.C.向左移動1個單位，向下移動3個單位.D.向右移動1個單位，向下移動3個單位.將函數(shù)y=x2+x的圖象向右平移a（a0）個單位，得到函數(shù)y =x2 3x+2的圖象，則a的值5、A. 1B.把拋物線2 C, 3 D, 4y =ax2 +bx+c的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的解析式是 y =x2 -3x +5 ,6、對于每個非零自然數(shù)示這兩點間的距離，則A.貝J a +b +c =,n ,拋物線y =x2 _

11、 2n 1 x+1與x軸交于n n 1 n n - 1A BiA2B2 +A2009 B2009 的()A、Bn兩點,以AnBn表200920082008 C 2010 B.C.20092009D 20092010函數(shù)y=3（x+2）2 1的圖象可由函數(shù)y=3x2的圖象平移得到，那么平移的步驟是：（7、把拋物線y = x2向左平移1個單位，向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A. y x -1 -3B. y - - x 122-3C, 丫-13D.2D. y = 3x2 28、將拋物線y =2x2向下平移1個單位，得到的拋物線是（）222A. y =2 x 1B, y =2 x-1C

12、. y =2x 1D.9、將拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是（_2_2_、2A.y =3x2 -2 B. y =3x2C. y =3(x 2)210、一拋物線向右平移3個單位，再向下平移2個單位后得拋物線y = -2x2+4x,則平移前拋 物線的解析式為.11、如圖,_ ABCD中，AB=4 ,點D的坐標是（0 , 8）,以點C為頂點的拋物線 y = ax2 + bx + c經(jīng)過x軸上的點A, B.求點A, B , C的坐標.若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點 D,求平移后拋物線的解析式.12、拋物線y=ax2 -5x+4a與x軸相交于點A B,且過點C（5,4）. 求a的值和

13、該拋物線頂點P的坐標.請你設(shè)計一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落要第二象限，并寫出平移后拋物線的解析式.二、二次函數(shù)圖象的對稱變換1、函數(shù)y=x2與y =x2的圖象關(guān)于對稱，也可以認為y = x2是函數(shù)y=x2的圖象繞旋轉(zhuǎn)得到.2、已知二次函數(shù)y=x22x1,求：關(guān)于x軸對稱的二次函數(shù)解析式；關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式；關(guān)于原點對稱的二次函數(shù)解析式.3、在平面直角坐標系中，先將拋物線y=x2+x2關(guān)于x軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線 關(guān)于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為()22A.y=x-x 2B.y - -x x - 222C.y=-x x 2D.y=xx

14、24、已知二次函數(shù)y =ax2 +4ax +4a -1的圖象是c1. 求Ci關(guān)于R(1,0跋中心對稱的圖象C2的函數(shù)解析式； 設(shè)曲線G、C2與y軸的交點分別為A,B,當AB =18時，求a的值.5、已知拋物線y=x2-6x+5,求 關(guān)于y軸對稱的拋物線的表達式; 關(guān)于x軸對稱的拋物線的表達式;關(guān)于原點對稱的拋物線的表達式.6、設(shè)曲線C為函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象，C關(guān)于y軸對稱的曲線為G , G 關(guān)于x軸對稱的曲線為C2 ,則曲線C2的函數(shù)解析式為 7、對于任意兩個二次函數(shù)：yi =aix2 +bix +ci , y =a2X2 +b2x+c2（a1a2 00）,當a=a2時,M

15、BMMBN (圖1),請通過計算判斷 B、M三點為頂點，畫出平行四邊形.我們稱這兩個二次函數(shù)的圖象為全等拋物線，現(xiàn)有MBM , A(-1, 0 ), B(1, 0),記過三點的二次函數(shù)拋物線為“若已知M (0, 1 ), 在圖2中，以A若已知M (0, n),CABM 與C ABN 是否為全等拋物線;求拋物線Cabm的解析式，并直接寫出所有過平行四邊形中三個頂點且能與Cabm全等的拋物線解析式. 若已知M (m, n ),當m n滿足什么條件時，存在拋物線Cabm ?根據(jù)以上的探究結(jié)果，判 斷是否存在過平行四邊形中三個頂點且能與 Cabm全等的拋物線.若存在，請寫出所有滿足條 件的拋物線“ C

16、_ ；若不存在，請說明理由.8、已知：拋物線f :y=Yx-2)2 +5.試寫出把拋物線f向左平行移動2個單位后，所得的新拋物線fi的解析式；以及f關(guān)于x軸對稱的曲線f2的解析式.畫出fi和f2的略圖， 并求：x的值什么范圍，拋物線fi和f2都是下降的；x的值在什么范圍，曲線fi和f2圍成一個封閉圖形； 求在fi和f2圍成封閉圖形上，平行于y軸的線段的長度的最大值.二次函數(shù)圖形變換綜合壓軸題1、在平面直角坐標系xoy中，拋物線y = mx2-2mx-3 (m# 0)與x軸交于A (3,0) , B兩 點.(1)求拋物線的表達式及點B的坐標.(2)當-2 xi j1111-T7 -3, 12 3

17、 43、已知：拋物線 C1: y =ax2+4ax + 4a 一5的頂點為P,與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左邊)，點B的橫坐標是1(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)將拋物線沿x軸翻折，再向右平移，平移后的拋物線 C2的頂點為M當點P, M關(guān)于點B成中心對稱時，求平移后的拋物線 C2的解析式；3(3)直線y=-3x+m與拋物線C1,C2的對稱軸分別父于點E,F,設(shè)由點E, P, F, M構(gòu)成的四5邊形的面積為S,試用含m的代數(shù)式表示So1 c 14、將拋物線沿Cl： y = 1x2+1沿X軸翻折，得拋,物線C2,如圖所示.3 3(1)請直接寫出拋物線c2的表達式.(2)現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M與x軸的交點從左到右依次為A, B;將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線 的頂點為N,與x軸交點從左到右依次為D, E.當B, D是線段AE的三等分點時，求m的值；在平移過程中，是否存在以點 A, N, E, M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在