《一元二次方程》總復(fù)習(xí)、練習(xí)、中考真題題型解析

1、一元二次方程總復(fù)習(xí)考點 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是 2，且系數(shù)不為 0，這樣的方 程叫一元二次方 程一般形式：ax2bx+c=0(a0）。注意：判斷某方程是否為一元二次 方程時，應(yīng)首先將方程化為一般形式。考點 2：一元二次方程的解法1.直接開平方法：對形如(x+a）2=b（b0）的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次 方程的方法。第 13 頁 共 13 頁x+a= ±b x1 =-a+ bx2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步驟是：化為一般形 式；移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；化二次項系

2、數(shù)為 1，即方程兩邊同除以二次 項系數(shù)；配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b 的形式；如果 b0 就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果 b0，則原方程無解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通過配方推導(dǎo)出來的一元二次方程的求根公式是 x = - b ±b 2 - 4ac (b24ac0)。步驟：把方程轉(zhuǎn)化為一般形2a式；確定 a，b，c 的值；求出 b24ac 的值，當(dāng) b24ac0 時代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理論根據(jù)：若 ab=0，則 a=0 或 b=0。步驟

3、是：將方程右邊化為 0；將方程左邊分解為兩個一 次因式的乘積；令每個因式等于 0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程， 它們的解就是原一元二次方程的解 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5一元二次方程的注意事項： 在一元二次方程的一般形式中要注意，強調(diào) a0因當(dāng) a=0 時，不含有二次項，即不是 一元二次方程 應(yīng)用求根公式解一元二次方程時應(yīng)注意：先化方程為一般形式再確定 a，b，c 的值；若 b24ac0，則方程無解 利用因式分解法解方程時，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式如2(x4) 2 =3（x4）中，不能隨便約去 x4。 注意：解一元二次方程時一般不使用配方法

4、（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一 元二次方程的一般順序是：開平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情況b24ac0 Û 方程有兩個不相等的實數(shù)根；b24ac=0 Û 方程有兩個相等的實數(shù)根；b24ac0 Û 方程沒有實數(shù)根。 解題小訣竅：當(dāng)題目中含有“兩不等實數(shù)根”“兩相等實數(shù)根”“沒有實數(shù)根”時，往往首 先考慮用 b24ac 解題。主要用于求方程中未知系數(shù)的值或取值范圍?？键c 3：根與系數(shù)的關(guān)系:韋達(dá)定理對于方程 ax2bx+c=0(a0）來說， x + x= b ， xx = c 。12a1 2a利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如 x2

5、+ x2 = (x+ x )2 - 2x x12121 2解題小訣竅：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時，可以用韋達(dá)定理。 二、經(jīng)典考題剖析：【考題 11】下列方程是關(guān)于 x 的一元二次方程的是（）1Aax²bx+c=0B. k²x5k+6=0C.3x²2x+x=0D.( k²3) x²2x+1=0【考題 12】解方程：x²2x3=0【考題 13】已知方程 5x2+kx10=0 一個根是5，求它的另一個根及 k 的值 三、針對性訓(xùn)練：1、下列方程中，關(guān)于 x 的一元二次方程是（）A.3(x + 1)2 = 2

6、(x + 1)B. 1 + 1 - 2 = 0x2yC. ax2 + bx + c = 0D. x2 + 2x = x2 -12、若 2x²+3 與 2x-4 互為相反數(shù)，則 x 的值為 3、用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（）A.x2-2x-99=0 化為(x-1)2=100B.x2+8x+9=0 化為(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0 化為 (t - 7 )2 = 81416D.3y2-4y-2=0 化為 ( y - 2)2 = 10394、關(guān)于 x 的一元二次方程 (m + 1)x2 + x + m2 - 2m -3 = 0的一個根為 x=0，則 m 的值為（）Am

7、=3 或 m=1Bm=3 或 m= 1Cm=1Dm=35、(2009 濟南)若 x1 ，x2 是方程 x²5x+6=0 的兩個根，則 x1 +x2 的值是（ ） A .1B.5C. 5D.66、(2009 眉山) 若 x1 ，x2 是方程 x²3x1=0 的兩個根，則1 + 1 的值為（）1A.3B.3C.31D.3x1x2127、(2009 濰坊)若 x1 ，x2 是方程 x²6x+k1=0 的兩個根，且 x2 + x2 = 24 ，則 k 值為（）A.8B. 7C.6D.58、(2009 成都)若方程 kx 2 2x1=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 k 的取值

8、范圍是（） A.k1B. k1 且 k0C. k1D. k1 且 k09、已知一元二次方程 x 2 +2x8=0 的一根是 2，則另一個根是.10、若關(guān)于 x 的方程x 2 +（2k+1）x+2k 2 =0 有實數(shù)根，則 k 的取值范圍是 11、解方程：(1)2(2x - 3)2 = 32 ;(2)3y（y-1）=2（y-1）(3) 3(4x² 9)(2x3)=0;(4) x²6x+8=012、(2009 鄂州)關(guān)于 x 的方程 kx 2 +(k+2)x+ k =0 有兩個不相等的實數(shù)根，4(1)求 k 的取值范圍；(2)是否存在實數(shù) k 使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于 0

9、？若存在求出 k 的值；不存在說 明理由?？键c：一元二次方程的應(yīng)用一、考點講解： 1構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型，常見的模型如下： 與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等； 有關(guān)增長率的應(yīng)用：此類問題是在某個數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長（降低）兩次得到新數(shù)據(jù)， 常見的等量關(guān)系是 a(1±x）2=b，其中 a 表示增長（降低）前的數(shù)據(jù)，x 表示增長率（降低率），b 表示后來的數(shù)據(jù)。注意：所得解中，增長率不為負(fù)，降低率不超過 1。 經(jīng)濟利潤問題：總利潤=（單件銷售額單件成本）×銷售數(shù)量；或者，總利潤=總銷售 額總成本。 動點問題：此類問題是一般幾何問題的延伸，根據(jù)條件設(shè)出未知

10、數(shù)后，要想辦法把圖中 變化的線段用未知數(shù)表示出來，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。2注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流 暢，特別要對方程的解注意檢驗，根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性二、經(jīng)典考題剖析：【考題 1】（2009、深圳南山區(qū)）課外植物小組準(zhǔn)備利用學(xué)校倉庫旁的一塊空地，開辟一 個面積為 130 平方米的花圃（如圖 121），打算一面利用長為 15 米的倉庫墻面，三面利用長為 33 米的舊圍欄，求花圃的長和寬 解：設(shè)與墻相接的兩邊長都為 x 米，則另一邊長為 (33 - 2x) 米，依題意得 x (33 - 2x) = 130 ，2x2

11、- 33x +130 = 0 x = 10x = 13122又 當(dāng) x1 = 10 時， (33 - 2x) = 1313當(dāng) x2 =時， (33 - 2x) = 20 15213 x =不合題意，舍去 x = 102答：花圃的長為 13 米，寬為 10 米【考題 2】（2009、襄樊）為了改善居民住房條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn) 居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為 10 平方米提高到 12.1 平方米，若每年的增長率相同， 則年增長率為（）A.9B.10C. 11D.12 解：設(shè)年增長率為 x，根據(jù)題意得 10(1+x) 2 =12.1，解得 x1=0.1，x2 =2.1 因為增長率不

12、為負(fù)，所以 x=0.1。故選 D。【考題 3】（2009、海口）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果 如果每千克盈利 10 元，每 天可售出 500 千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價 1 元，日銷售量將減少 20 千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利 6000 元，同時又要使顧客得到實惠， 那么每千克應(yīng)漲價多少元？解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價 x 元，依題意，得 (5002 0 x)（10+x）=6000整理，得 x 2 15x50=0 解這個方程，x 1 =5，x 2 =10 要使顧客得到實惠，應(yīng)取 x=5 答：每千克應(yīng)漲價 5 元點撥：此類經(jīng)濟問題在設(shè)未知數(shù)時，一般設(shè)漲價或降價為未知數(shù)

13、；應(yīng)根據(jù)“要使顧客 得到實惠”來取舍根的情況【考題 4】如圖，在ABC 中，B=90°，AB=5，BC=7，點 P 從 A 點 開始沿 AB 邊向點 B 點以 1cm/s 的速度移動，點 Q 從 B 點開始沿 BC 邊向點 C 以 2cm/s 的速度移動.（1）如果點 P、Q 分別從 A、B 兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PBQ 的面積等于 4？（2）如果點 P、Q 分別從 A、B 兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，PQ 的長度等于 5？解：（1）設(shè)經(jīng)過 x 秒鐘，PBQ 的面積等于 4， 則由題意得 AP=x，BP=5x，BQ=2x,11由BP·BQ=4，得22（5x）·2

14、x=4，解得，x 1 =1，x 2 =4當(dāng) x=4 時，BQ=2x=87=BC，不符合題意。故 x=12（2）由 BP2+BQ22=5 得（5x）2+（2x）2=5 ,解得 x1=0（不合題意），x2=2所以 2 秒后，PQ 的長度等于 5。 三、針對性訓(xùn)練：1小明的媽媽上周三在自選商場花 10 元錢買了幾瓶酸奶，周六再去買時，正好遇上商場 搞酬賓活動，同樣的酸奶，每瓶比周三便宜 05 元，結(jié)果小明的媽媽只比上次多花 2 元錢，卻比上次多買了 2 瓶酸奶，問她上周三買了幾瓶？2合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出 20 件，每件盈利40 元。為了迎接“十·一”

15、國慶節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利 1200 元，那么每件童裝應(yīng)降價多少？3在寬為 20 米、長為 32 米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分 作為耕地，要使耕地面積為 540 米 2，道路的寬應(yīng)為多少？20m32m4小紅的媽媽前年存了 5000 元一年期的定期儲蓄，到期后自動轉(zhuǎn)存.今年到期扣除利息稅（利息稅為利息的 20%），共取得 5145 元.求這種儲蓄的年利率.（精確到 0.1%） 5如圖 12-3，ABC 中，B=90&#

16、176;，點 P 從 A 點開始沿 AB 向點 B 以 1cm/s 的速度移動，點 Q 從 B 點開始沿 BC 邊向 C 點以 2cm/s 的速度移動。（1）如果 P、Q 分別從 A、B 同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使ABQ 的面積等于 8cm²?(2)如果 P、Q 分別從 A、B 同時出發(fā)，并且 P 到 B 后又繼續(xù)在 BC 邊上前進(jìn)，Q 以 C 后又 繼續(xù)在 AC 邊上前進(jìn)，經(jīng)幾秒鐘，使PCQ 的面積等于 12.6 cm²。1解：依題意，得：2（6-x）·2x=8解這個方程得：x1=2，x2=4即經(jīng)過 2s，點 P 到距離 B 點 4cm 處，點 Q 到距離 B 點

17、4cm 處；經(jīng)過 4s，點 P 到距離 B 點 2cm 處，點 Q 到距離 B 點 8cm 處。故本小題有兩解。（2）設(shè)經(jīng)過 x 秒，點 P 移動到 BC 上，且有 CP=（14-x）cm,點 Q 移動到 CA 上，且命名 CQ=（2x-8） cm，過 Q 作 QDCB 于 D。CQDCAB，QDAB6(2x - 8)=2x - 8，即 QD=AC1。106(2x - 8)依題意，得：2（14-x）·10=12.6，解這個方程得：x1=7，x2=11經(jīng)過 7s，點 P 在 BC 距離 C 點 7cm 處，點 Q 在 CA 上距離 C 點 6cm 處，使 SPCQ=12.6cm2 經(jīng)過

18、 11s，點 P 在 BC 距離 C 點 3cm 處，點 Q 在 CA 上距離 C 點 14cm 處， 140,點Q 已超出 CA 范圍，此解不存在。故本題只有一解。中考真題1.鐘老師出示了小黑板上的題目(如圖 122）后，小敏回答：“方程有一根為 1”，小聰回答：“方程有一根為 2”則你認(rèn)為（） A只有小敏回答正確B只有小聰回答正確 C兩人回答都正確D兩人回答都不正確2.解一元二次方程 x 2 x12=0，結(jié)果正確的是（）Ax 1 =4， x 2 =3Bx 1 =4，x 2 =3Cx 1 =4，x 2 =3Dx 1 =4，x 2 =33.方程 x(x + 3) = (x + 3) 解是（）A

19、x 1 =1Bx 1 =0，x 2 =3Cx 1 =1，x 2 =3Dx 1 =1，x 2 =34.若 t 是一元二次方程 ax 2 bx+c=0(a0）的根，則判別式= b 2 4ac 和完全平方式 M=(2at+b) 2 的關(guān)系是（）A=MBMCMD大小關(guān)系不能確定5.方程x2 (x -1) = 0的根是（）A0B1C0，1D0，1126.已知一元二次方程 x 2 2x7=0 的兩個根為 x ，x，則 x 1 + x 2的值為（）A2B2C7D727.已知 x 1 、x 2 是方程 x13x1 0 的兩個實數(shù)根，則x1+ 1 的值是()x21A、3B、3 C、3D、18.用換元法解方程(x

20、 2 x) 2 (x 2 x)6 時，如果設(shè) x 2 xy，那么原方程可變形為（）A、y 2 y60B、y 2 y60C、y 2 y60D、y 2 y60 9.方程 x 2 5x=0 的根是（）A0B0，5C5，5D5 10.若關(guān)于 x 的方程 x 2 2xk=0 有實數(shù)根，則（）Ak1，Bk1Ck1Dk 11211.如果一元二次方程 x 2 4x20 的兩個根是 x ，x，那么 x 1 x 2等于（）A.4B.4C.2D.212.用換元法解方程(x 2 x)x 2 -x 6 時，設(shè)x 2 -x y，那么原方程可化為（）A. y 2 y60B.y 2 y60C.y 2 y60D.y 2 y60

21、213.設(shè) x 1 ，x 2 是方程 2x+3x-2=0 的兩個根，則 x 1 x 2 的值是()22A-3B3CD3314.方程 x 3 -x=0 的解是（）A0，1B1，-1C0，-1D0，1，1( x )2 - 5x+ 4 = 0時，若設(shè) x=y,則原方程15.用換元法解方程x + 1x + 1x+1_16.兩個數(shù)的和為 6，差（注意不是積）為 8，以這兩個數(shù)為根的一元二次方程是 17.方程 x 2 x=0 的解是 18.等腰ABC 中，BC=8，AB、BC 的長是方程 x 2 10x+m= 0 的兩根，則 m 的值是.19. 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2 +2x+1=

22、0 的 兩 個 根 同 號 ， 則 a 的 取 值 范 圍 是 _.20.解方程2x2 -9x+5=x-321.解方程：x 3 2x 2 3x0.ìy=x+122.解方程組： íîx2 +y2 =523.解方程：2（x1） 2 +5（xl）+2=024.解方程：x 2 2x2=025.解方程：x 2 +5x+3=026.已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 - (k + 1)x - 6 = 0 的一個根是 2，求方程的另一根和 k 的值27.已知關(guān)于 x 的一元 二次方程 (k + 4)x2 + 3x + k 2 + 3k - 4 = 0 的一個根為 0，求 k 的

23、值中考預(yù)測題一、基礎(chǔ)經(jīng)典題( 44 分)(一)選擇題(每題 4 分，共 28 分 )【備考 1】如果在1 是方程 x 2 +mx1=0 的一個根，那么 m 的值為（） A2B3C1D2【備考 2】方程 2x(x - 3) = 5(x - 3) 的解是（）A x = 3B.x =5C.x = 3, x = 52122x2 + mx + n = 0D.x = -3【備考 3】若 n 是方程的根，n0，則 m+n 等于（）A7B6C1D1【備考 4】關(guān)于 x 的方程x2 + mx + n = 0的兩根中只有一個等于 0，則下列條件中正確的是（ ）Am0，n0Bm0，n 0Cm0，n = 0Dm0，n

24、0【備考 5】以 526 和 5+26 為根的一元二次方程是（）12A x2 -10x + 1 = 0B x 2 + 10x + 1 = 0C x 2 - 10x - 1 = 0D x 2 + 10x - 1 = 02【備考 6】已知 x1 ， x2 是方程 xx3=0 的兩根，那么 x 2+ x 2 值是（）49A1B5C7D、4【備考 7】方程 1 x2 - (m - 3)x + m2 = 04有兩個不相等的實根，那么 m 的最大整數(shù)是（）A2B1C0Dl（二）填空題（每題 4 分，共 16 分）12【備考 8】已知方程 x 2 3x+1=0 的兩個根為 x ，x那么（1+ x 1）（1+ x 2）的值等于 .【備考 9】已知方程 x 2 +px+l=0 的一個實數(shù)根的倒數(shù)恰是 它本身，則 P 的值是.【備