江蘇省金湖縣實驗中學八年級數(shù)學《第十四章 第一節(jié) 冪的運算及整式乘法》教案

1、冪的運算及整式乘法【典型例題】一. 冪的運算 1. 同底數(shù)冪的乘法： 首先觀察： （1）23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=27 （2）53×54=(5×5×5)×(5×5×5×5)=57 （3）a3·a4=(a×a×a)×(a×a×a×a)=a7 觀察后得到運算的法則=同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 即am·an=am+n（m、n為正整數(shù)） 例1. 計算： （

2、1）73×75（2）y5·y2（3）a·a3·an （4）am·am+3（5）P2·(P)4（6）(x)3·x5 分析：解決此題關鍵是正確掌握同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n（m、n為正整數(shù)），且注意有關符號的變化：(P)4=P4，(x)3=x3 解：（1）73×75=73+5=78 （2）y5·y2=y5+2=y7 （3）a·a3·an=a1+3·an=a4·an=a4+n （4）am·am+3=am+m+3=a2m+3 （5）P2&#

3、183;(P)4=P2·P4=P6 （6）(x)3·x5=x3·x5=x8 注意： 1. 同底數(shù)冪的乘法是冪的運算的基礎，非常重要。 2. 由（3）可知am·an·aP=am+n+P（m、n、P均為正整數(shù)） 例2. 計算： （1）(a)4·(a)2·(a) （2）(a)4·(a2)·(a) （3）x5·x3x4·x4+x7·x+x2·x6 （4）33·3632·36+3·(3)7 分析：上面幾個題目均較為復雜，但主要是運用同底數(shù)冪相乘的

4、法則，底數(shù)不同的要化成相同才能使用法則，而且是同類項的要合并。 解（1）(a)4·(a)2·(a)=(a)4+2+1=(a)7 （2）(a)4·(a2)·(a) =a4·(a2)·(a)=a4·a2·a=a4+2+1=a7 （3）x5·x3x4·x4+x7·x+x2·x6=x5+3x4+4+x7+1+x2+6=x8x8+x8+x8=2x8 （4）33·3632·36+3·(3)7=33+632+6+3·(37)=393838 =392&

5、#215;38=3×382×38 =(32)×38=38 2. 冪的乘方： 觀察： （1）(23)2=23×23=26 （2）(32)3=32×32×32=32+2+2=36 （3）(a3)4=a3·a3·a3·a3=a3×4=a12 這也就是說：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。 例3. 計算： （1）(103)5（2）(an)2（3）(am-3)2 （4）(3x2y)23（5）(x)2m（6）(x2)m 分析：解答此題的關鍵是掌握冪的乘方性質，即：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(am)n=am·

6、n（m、n為正整數(shù)） 解：（1）(103)5=103×5=1015 （2）(an)2=a2n （5）(x)2m=(x2)m=x2m （6）(x2)m=x2m 例4. 計算： （1）(a2)8·(a4)4（2）(3x)3·(x2)4 （3）(x3)2·(x2)3（4）(xy)23·(yx) 解：（1）(a2)8·(a4)4=a2×8·a4×4=a16·a16=a16+16=a32 （2）(3x)3·(x2)4=(3x)3·(x2)4=(3x)3·x2×4=(

7、33×x3)·x8 =33x3+8=33·x11 （3）(x3)2·(x2)3=(x3)2·(x2)3=x6·(x6)=x12 （4）(xy)23·(yx)=(xy)6·(xy)=(xy)6·(xy)=(xy)7 3. 積的乘方： 觀察： （1）(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2 （2）(ab)4=(ab)(ab)(ab)(ab)=(a·a·a·a)·(b·b·b·b

8、)=a4b4 可得：(ab)n=anbn（n為整數(shù)） 這就是說：積的乘方等于各因數(shù)乘方的積。 例5. （1）(2b)3（2）(2×a3)2 （3）(a)3（4）(3x)4 解：（1）(2b)3=23b3=8b3 （2）(2×a3)2=22(a3)2=4a6 （3）(a)3=(1)3a3=a3 （4）(3x)4=(3)4·x4=81x4 例6. 計算： （1）(x2)3·(x2y)2（2）x8y6(x4y3)2（3）2x10(2x5)2 （4）85×0.1255（5）162×24×42（用2n的形式表示） 解：（1）(x2)3

9、·(x2y)2=x6·x4y2=x10y2 （2）x8y6(x4y3)2=x8y6x4×2y3×2=x8y6x8y6=0 （3）2x10(2x5)2=2x104x10=2x10 （5）162×24×42=(24)2×24×(22)2=28×24×24=28+4+4=216二、整式的乘法： 1. 單項式與單項式相乘： 例7. 計算： （1）3x2y·（2xy3） （2）(5a2b3)·(4b2c) 解：（1）3x2y·（2xy3）=3·(2)·(x

10、2·x)·(y·y3) =6x3y4 （2）(5a2b3)·(4b2c)=(5)·(4)·a2·(b3·b2)·c=20a2b5c 單項式與單項式相乘的法則：只要將它們的系數(shù)相乘，相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為積的一個因式。 例8. 計算： （2）(3.2×103)×(5×105) （3）(4a2b5c)·3ab6·(7b2c3) 解： =5x6y5 （2）(3.2×103)×(5×

11、;105)=3.2×5×(103×105)=16×108=1.6×109 （3）(4a2b5c)·3ab6·(7b2c3) =(4)×3×(7)(a2·a)·(b5·b6·b2)·（c·c3） =84a3b13c4 2. 單項式與多項式相乘： 例9. 計算： （1）2a2(3a25b) （2）(2a2)·(3ab25ab3) 解：（1）2a2(3a25b)=2a2·3a22a2·5b=6a410a2b （2）(2a2

12、)·(3ab25ab3)=(2a2)(3ab2)(2a2)(5ab3) =6a3b2(10a3b3) =6a3b2+10a3b3 單項式與多項式相乘的法則：將單項式分別乘以多項式的各項，再將所得的積相加。 例10. 計算：x(x21)+2x2(x+1)3x(2x5) 解：原式=x3x+2x3+2x26x2+15x =3x34x2+14x 例11. 已知：ab2=6，求ab(a2b5ab3b)的值。 分析：此題應該先將單項式與多項式相乘，得出一些關于ab2的代數(shù)式，然后再求結果。 解：ab(a2b5ab3b) =a3b6+a2b4+ab2 =(ab2)3+(ab2)2+ab2 = (6

13、)3+(6)2+(6) =216+366 =246 3. 多項式乘多項式： 先研究(m+n)(a+b)： 將(m+n)看成一個整體，有(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b =ma+na+mb+nb 由此可知，多項式乘多項式的法則：多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 例12. 計算： （1）(x+2)(x3)； （2）（3x1）(2x+1) 解：（1）(x+2)(x3)=x23x+2x6=x2x6 （2）（3x1）(2x+1)=6x2+3x2x1=6x2+x1 例13. 計算： （1）(x3y)(x+7y)； （2）(2x+5y)(

14、3x2y) 解：（1）(x3y)(x+7y)=x2+7xy3yx21y2=x2+4xy21y2 （2）(2x+5y)(3x2y)=6x24xy+15yx10y2=6x2+11xy10y2 例14. 先化簡，再求值： 6x2+(3x2)(12x)+(x+2)(3x)，其中x=1 解：6x2+(3x2)(12x)+(x+2)(3x) =6x2+(3x26x2+4x)+(3x+6x22x) =6x2+3x26x2+4x+3x+6x22x =x2+8x+4 =(1)28+4 =5。 例15. 若不論x取何值，多項式x32x24x1與(x+1)(x2+mx+n)都相等，求m、n。 分析：先求出（x+1）

15、與（x2+mx+n）的積，再比較積與x32x24x1的系數(shù)。它們對應項的系數(shù)應分別相等。 解：(x+1)(x2+mx+n)=x·x2+x·mx+x·n+x2+mx+n =x3+(m+1)x2+(m+n)x+n 因為不論x取何值，兩多項式相等，所以m+1=2 n=1 即m=3，n=1 本課小結： 1. 在冪的運算中，很多情況下要注意觀察是否是同底數(shù)冪，若是才可以用其法則，否則，不可以用其法則。 2. 在整式的乘法中，要注意熟記這些法則，而且還要繼續(xù)注意在使用冪的運算時觀察其底數(shù)。【模擬試題】 1. 計算： （1）(x4)3，（2）(y3)2·(y2)3，（

16、3）3y2·y35y·y4， （4）(P)2·(P)3·P4P·P3·(P)5 （5）t2·(t3)2，（6）8x62(x2)3，（7）(x·x2·x3)4，（8）(y2)24 （9）12y82y2·(y2)33(y4)24(y·y3)2 （10）x3(x2y)4，（11）(x2·x3+m)3 （12）3(x5)2·(x3)2(2x3)2·(x2)5 （13）(3a3)3+(3a3·3a6)3a9 2. 計算： （1）3xy·2x2y

17、（4）(3ab2)(2a25ab1) （5）x(xy)+x(yx) （6）3x(x24x+1)2x·(3x2+x5) （7）(x1)(x2+x+1) （8）x(x21)(x+1)(x2+1) （9）(x2x1)(2x+1) 3. 已知162×43×26=22x-1，(10)2y=1012求x+y的值。 4. 先化簡再求值： (2x)·(3x24x1)+6x32x，其中|x2|=0。 5. 已知(x2+px+8)(x23x+q)的乘積中不含有x2與x3的項，求p、q的值。【試題答案】 1. 計算： （1）(x4)3=x12 （2）(y3)2·(y

18、2)3=y6·y6=y12 （3）3y2·y35y·y4=3y55y5=2y5 （4）(P)2·(P)3·P4P·P3·(P)5=P2(P3)·P4P4（P5） =P9+P9=0 （5）t2·(t3)2=t2·t6=t8 （6）8x62(x2)3=8x62x6=6x6 （7）(x·x2·x3)4=(x6)4=x24 （8）(y2)24=y44=y16 （9）12y82y2·(y2)33(y4)24(y·y3)2=12y82y83y84y8=3y8 （10）x3(x2y)4=x3·x8y4=x11y4 （11）(x2·x3+m)3=x6·x3(3+m)=x6+9+3m=x15+3m （12）3(x5)2·(x3)2(2x3)2·(x2)5=3x10x62x6