群的基本知識

1、第一章 群的基本知識二十一世紀以來，特別是愛因斯坦（Einstein）發(fā)現(xiàn)相對論之后，對稱性的研究在物理學中越來越重要。對稱性幫助人們求得物理問題的解，也幫助人們尋求新的運動規(guī)律。物理學家不僅研究了空間和時間的對稱性，而且找到了許多內(nèi)部對稱性，如強作用的SU(2)同位旋對稱，SU(3)色和味的對稱，弱電統(tǒng)一的SU(2)XU(1)的對稱，偶偶核的U(6)動力學對稱等等。從七十年代起，又開展了超對稱性的研究。群論是研究對稱性問題的數(shù)學基礎，因此，它越來越受到物理學工作者的重視。1.1 群定義 1.1 設是一些元素的集合，.在中定義了乘法運算。如果對這種運算滿足下面四個條件：（1） 封閉性。即對任意

2、，若，必有。（2） 結合律。對任意，都有.（3） 有唯一的單位元素。有，對任意，都有（4） 有逆元素。對任意，有唯一的，使則稱為一個群。稱為群的單位元素，稱為的逆元素。例1 空間反演群。設和對三維實空間中向量的作用為即是保持不變的恒等變換，是使反演的反演變換，定義群的乘法為從右到左連續(xù)對作用。集合構成反演群，其乘法表見表1.1.例2 階置換群，又稱階對稱群。將個元素的集合映為自身的置換為其中是的任意排列，表示把1映為，2映為，映為的映射。顯然置換只與每列的相對符號有關，與第一行符號的順序無關，如 = 。定義兩個置換和的乘積，為先實行置換，再實行置換，如 = 。容易看出在這乘法定義下，全部階置換

3、構成群。群共有個元素。例3 平面三角形對稱群，又稱為6階二面體群?？紤]重心在原點，底邊與軸平行的平面上的正三角形，見圖1.1（）。保持正三角形不變的空間轉動操作有不轉，繞軸轉，繞軸轉， 繞軸1轉， 繞軸2轉，繞軸3轉定義兩個轉動操作的乘積，如為先實行操作，再實行操作。由圖1.1可看出，實行操作和實行操作后位置的變化，且可看出，實行操作和實行操作一樣，因此。在上述乘法定義下，保持正三角形不變的全體轉動操作構成群。是6階群，它的乘法表見表1.2.例4 定義群的乘法為數(shù)的加法，則全體整數(shù)構成一個群，0是單位元素，和互為逆元素。同理，全體實數(shù)在加法下也構成一個群。但實數(shù)全體在乘法為數(shù)乘時，并不構成一個

4、群，因為0沒有逆元素。除去0以外的實數(shù)構成一個群。例5 空間平移群。設是中的向量，是中任意一向量，定義空間平移為定義兩個平移和的乘積，為先實行平移，再實行平移，故 群的單位元素是平移零向量，即不平移，其中是零向量，和是互逆元素。例6 三維轉動群。保持中點不動，設是過點的任一軸，繞軸轉角的轉動為。定義兩個轉動和的乘積，為先實行繞軸轉角，再實行繞軸轉角。則繞所有過點軸的一切轉動構成群。群的單位元素是轉角，即不轉。繞同一軸，轉角和的元素，互為逆元素。由上述例子可以看出群的元素不但可以是數(shù)，而且可以是空間反演、空間轉動、空間平移等操作，也可以是置換等等。當群的元素個數(shù)有限時，稱為有限群。當?shù)脑貍€數(shù)為

5、無限時，稱為無限群?？臻g反演群、群、群是有限群，例4至例6是無限群。有限群的元素的個數(shù)稱為群的階，有時記為。反演群是二階群，是6階群，是階群。群的乘法，可以是數(shù)乘和數(shù)的加法，也可以是空間反演、轉動等連續(xù)兩次操作和連續(xù)兩次置換等等。有限群的乘法規(guī)則，可以列為乘法表。無限群的乘法雖然不能列出乘法表，但乘法規(guī)則總是確定的。群的乘法一般不具有可交換性。即對任意，一般說來與并不相等。如果對任意，有，則稱是可交換群或阿貝爾(Abel)群。從前面例子還可以看出，群的任何元素可以用指標標記。當是階有限群時，指標取，群元用表示。當是可數(shù)的無限群時，如整數(shù)加法群，可以取所有整數(shù)值，。當是連續(xù)的無限群時，如實數(shù)加法

6、群，有時取全體實數(shù)，有時取多個有序的連續(xù)變化的實數(shù)：如在平移群中，是三個無界的有序實數(shù)，又如在轉動群中，是3個有界的有序實數(shù)，其中是轉軸的方位角，是轉動角度，而且，,綜上所述，群是任一個元素，總可用在一定范圍內(nèi)變化的一個數(shù)標記為，給出此范圍中任一個數(shù)，就對應群的一個元素。定理1.1（重排定理） 設，當取遍所有可能值時，乘積給出并且僅僅一次給出的所有元素。證明 先證中任意元素可以寫成的形式。因為，所以，自然有。再證當不同時，給出中不同的元素。用反證法，設，而，兩邊左乘得，這與可以唯一標記中元素矛盾。故時，。于是當改變時，給出并僅一次給出的所有元素。定理證畢。系在取遍所有可能值時，也給出并且僅僅一

7、次給出群的所有元素。重排定理是關于群的乘法的重要定理。它指出每一個群元素，在乘法表的每一行（或每一列）中被列入一次而且僅僅一次。乘法表的每一行（或每一列）都是群元素的重新排列，不可能有兩行（或兩列）元素是相同的。1.2子群和陪集定義1.2 設是群的一個子集，若對于與群同樣的乘法運算，也構成一個群，則稱為的子群。常記為。容易證明，群的非空子集是的子群的充要條件為：(1)若，則，(2)若，則。任意一個群，其單位元素和本身都是的子群，這兩種子群稱為顯然子群和平庸子群。群的非顯然子群稱為固有子群。若不特別說明，一般說是指固有子群。例7 在定義群的乘法為數(shù)的加法時，整數(shù)全體構成的群是實數(shù)全體構成的群的子

8、群。例8 在軸方向的平移全體構成平移群的一個子群。例9 繞固定軸的轉動，是群的一個子群。定義1.3 階循環(huán)群是由元素的冪組成，并且，記為.循環(huán)群的乘法可以交換，故循環(huán)群是阿貝爾群。從階有限群的任一個元素出發(fā)，總可以構成的一個循環(huán)子群稱的階為，是由生成的階循環(huán)群。因為當為的一階循環(huán)子群，這是顯然子群。當如，則由生成2階循環(huán)子群。如，用重排定理，知為中不同元素。通過增加，再利用重排定理，總可以在中達到。因此，從階有限群的任一元素出發(fā)，總可以生成一個的循環(huán)子群。定義1.4 設是群的子群，。由固定，可生成子群的左陪集同樣也可生成的右陪集有時也將陪集稱為旁集。當是有限子群時，陪集元素的個數(shù)等于的階。定理

9、1.2（陪集定理）設群是群的子群，則的兩個左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者沒有任何公共元素。證明 設，考慮由生成的的兩個左陪集，,設左陪集和有一個公共元素，則根據(jù)重排定理，當取遍所有可能值時，給出群的所有元素一次，并且僅僅一次，故左陪集與左陪集重合。因此當左陪集和有一個公共元素時，和就完全重合。定理證畢。同樣的證法，也適用于右陪集。定理1.3 （拉格朗日定理）有限群的子群的階，等于該有限群階的因子。證明 設是階有限群，是的階子群。取，,作左陪集。如果包括子群的左陪集串不能窮盡整個群，則取，作左陪集。根據(jù)陪集定理，與和完全不重合。繼續(xù)這種做法，由于的階有限，故總存在，使包括子群的左陪集串

10、窮盡了整個。即群的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又沒有相重合的元素，故群的元素被分成個左陪集，每個陪集有個元素。于是群的階=（子群的階）定理證畢。系 階為素數(shù)的群沒有非平庸子群。上面把群的元素，分成其子群的左陪集串的作法，不僅對證明拉格朗日定理有用，而且提供了一種把群分割為不相交子集的方法。這是一種很有用的分割群的方法。同樣，也可以把群分割成其子群的右陪集串。例10 有子群和?？砂捶殖勺笈慵?，。也可按分成右陪集串，。1.3類與不變子群定義1.5 設是群的兩個元素，若有元素，使，則稱元素與共軛。記為。共軌具有對稱性，當，則。且。共軌還具有傳遞性，即當，則有。因故定義1.6 群的所有

11、相互共軌的元素集合組成的一類。由于共軛關系具有對稱性和傳遞性，因此一個類被這類中任意一個元素所決定。只要給出類中任意一個元素，就可求出類的所有元素，類。一個群的單位元素自成一類，因對任意，有。阿貝爾群的每個元素自成一類，因對任意，有。設元素的階為，即，則類所有元素的階都是，因，對任意成立。應該指出，當取遍群的所有元素時，可能不止一次地給出類中的元素。如，永遠給出單位元素。由共軌關系具有傳遞性可以知道，兩個不同的類沒有公共元素。因此可以對群按共軌類進行分割。這種對群按共軌類進行的分割，每個類中元素個數(shù)不一定相同。而按子群的陪集對群進行的分割，每個陪集元素的個數(shù)是相同的。按類和按陪集分割群，是分割

12、群的兩種重要方式。定理1.4 有限群每類元素的個數(shù)等于群階的因子。證明 設是階有限群，是的任一個元素，看類元素的個數(shù)。作的子群，由中所有與對易的元素組成，即。對于，如果，則必屬于的同一左陪集。因為按定義，。由可得，故。反之，如果屬于的同一左陪集，必有。于是有因此類中元素的個數(shù)，等于群按分割陪集的個數(shù)，也就是群的階的因子。類元素個數(shù)=定義1.7 設和是群的兩個子群，若有，使，則稱是的共軛子群。由共軛關系的對稱性和傳遞性，知共軛子群也有對稱性和傳遞性。即若是的共軛子群，則也是的共軛子群。若和是的共軛子群，則和也互為共軛子群。的全部子群可分割為共軛子群類。定義1.8 設是的子群，若對任意，有。即如果

13、包含元素，則它將包含所有與同類的元素，我們稱是的不變子群。定理1.5 設是的不變子群，對任一固定元素，在取遍的所有群元時，乘積一次并且僅僅一次給出的所有元素。證明 首先證明的任意元素具有的形式。因為是不變子群，故，令，則。而且當時，否則必引起矛盾。因此當取遍所有可能的元素時，一次并且僅僅一次給出的所有元素。例11 以加法作為群的乘法時，整數(shù)加法群是實數(shù)加法群的不變子群。實事上，阿貝爾群的所有子群都是不變子群。不變子群的左陪集和右陪集是重合的。因為對的不變子群，由，生成的左陪集和右陪集而由是的不變子群知。由下式可以看出左陪集的元素也是右陪集的元素。故的左右陪集重合。因此對不變子群，就不再區(qū)分左陪

14、集和右陪集，只說不變子群的陪集就夠了。設是的不變子群。考慮沒有公共元素的的陪集串，假定陪集串窮盡了群，兩個陪集和中元素的乘積。必屬于另一陪集。因其中 定義1.9 設群不變子群生成的陪集串為，把其中每一個陪集看成一個新的元素，并由兩個陪集中元素相乘的另一個陪集的元素，定義新的元素間的乘法規(guī)則，即 陪集串 新元素乘法規(guī)則 這樣得到的群，稱為不變子群的商群，記為。不變子群對應商群的單位元素，每一個陪集對應商群的一個元素。陪集和陪集的乘積對應和的乘積。事實上，群和群同構，它們都可以作為商群的定義。例12 群的元素可以分為三類，即類，類，類。恒等轉動自成一類，繞軸轉和是一類，繞角等分線轉角是一類。因此的

15、子群，是互為共軛的子群，是不變子群。的陪集串和商群的元素間有以下對應故商群是二階循環(huán)群。1.4群的同構與同態(tài)定義1.10 若從群到群上，存在一個一一對應的滿映射，而且保持群的基本運算規(guī)律（乘法）不變；即群中兩個元素乘積的映射，等于兩元素映射的乘積，則稱群和群同構，記為。映射稱為同構映射。同構映射可由圖1.2表示：其中 同構映射，把的單位元素映為的單位元素，因對任意。設，則有故,必為的單位元素。同構映射，還把的互逆元素映為的互逆元素。由于同構映射是一一滿映射，故逆映射恒存在，把映為，而且保持群的乘法規(guī)律不變，即所以當群和群同構，必有群與群同構，。兩個同構的群，不僅群的元素間有一一對應關系，而且他

16、們所滿足的乘法規(guī)律間也有一一對應關系。因此從數(shù)學角度看，兩個同構的群具有完全相同的群結構。作為抽象的群來說，兩個同構的群本質(zhì)上沒有任何區(qū)別。例13 空間反演群和二階循環(huán)群同構。例14 三階對稱群和正三角形對稱群同構。例15 群的兩個互為共軛的子群和是同構的。因為存在，使與有一一對應關系，以上各個同構的群，有完全相同的乘法表。因此作為抽象的數(shù)學群來說，它們是一樣的。當然，對同一抽象群，當它用于不同的物理或幾何問題時，它將代表不同的物理或幾何意義。這和初等數(shù)學中2+3=5可以代表不同對象相加是同樣的。定義1.11 設存在一個從群到群上的滿映射，保持群的基本規(guī)律（乘法）不變；即中兩個元素乘積的映射，

17、等于兩個元素映射的乘積，則稱群與群同態(tài)，記為。映射稱為從到上的同態(tài)映射。圖1.3表示從到上的同態(tài)映射其中也有定義從群到群中的同態(tài)映射，這時保持群的乘法規(guī)律不變，但并不是滿映射。以后如不特別說明，我們說同態(tài)，是指從群到群上的同態(tài)。一般說，同態(tài)映射并不是一一對應的。即對群中的一個元素，中可能不止一個元素與之對應。因此群與群同態(tài)，并不一定有群與群同態(tài)。同構是一種特殊的同態(tài)，即當同態(tài)映射是一一映射時，同態(tài)就是同構。因此若群與群同構，則必與同態(tài)。反之，若群與群同態(tài)，與不一定同構。任何群與只有單位元素的群同態(tài)。這種同態(tài)是顯然的，一般不考慮這種同態(tài)。定義1.12 設群與群同態(tài)，中與的單位元素對應的元素集合，

18、稱為同態(tài)核。定理1.6（同態(tài)核定理）設群與群同態(tài)，則有（1） 同態(tài)核是的不變子群；（2） 商群與同構。同態(tài)核定理可以用圖1.4表示。證明 先證明同態(tài)核是的子群。對任意，有故。因此同態(tài)核中二元素，的乘積仍在中。而且由于同態(tài)映射把單位元素映為單位元素，故含有的單位元素，因設，則對任意，有,于是，如果，必有。否則，設，而又有這不可能，因此若屬于，必有屬于。這就證明了是的子群。再證同態(tài)核是的不變子群。對，與同類的元素為，是群的任意元素。同態(tài)映射有以下作用。故所有與同類的元素。是的不變子群。最后證明商群與同構。包括的陪集串，是商群的元素。因為同態(tài)映射保持群的乘法規(guī)律不變，故只要證明陪集串的元素與的元素有

19、一一對應，就證明了與同構。首先，的一個陪集對應的一個元素，設，則，對任意。其次的不同陪集，對應中的不同元素，因為和不同，由陪集定理可知，它們沒有公共元素。設，假設，則得到，和重合。這與假設矛盾，故因此的陪集與的元素有一一對應關系，商群與同構。定理證畢。從圖1.4可以看到，如群與群同態(tài)，同態(tài)映射為。中對應單位元素的元素集合是的一個不變子群。陪集串中的每一個陪集，唯一地對應中的一個元素。中的一個元素也唯一地對應的一個陪集。已知各個陪集中元素數(shù)目相同，故中與的每一個元素對應的元素數(shù)目是相同的。同態(tài)核定理，說明同態(tài)映射保持群的乘法規(guī)律不變，它是關于同態(tài)性質(zhì)的重要定理。在處理各種群的問題中，我們會經(jīng)常用

20、到它。例16 群與二階循環(huán)群同態(tài)。同態(tài)核是不變子群，陪集是。圖1.5表示這個同態(tài)映射。定義1.13 群到自身的同構映射，稱為的自同構映射。即對任意。有,而且保持群的乘法規(guī)律不變，。故自同構映射總是把群的單位元素映為，把互逆元素和映為互逆元素和。定義1.14 定義兩個自同構和的乘積，為先實行自同構映射，再實行自同構映射。 恒等映射對應單位元素。每個自同構映射有逆存在。于是群的所有自同構映射構成一個群，稱為群的自同構群，記為或。的子群也稱為的一個自同構群。如果群的自同構映射，是由引起，即對任意，有則稱是的內(nèi)自同構映射。與定義自同構的乘法一樣，可以定義內(nèi)自同構的乘法。于是群的所有內(nèi)自同構構成一個群，

21、稱為群的內(nèi)自同構群，記為或。內(nèi)自同構群是自同構群的一個子群，而且是的不變子群。因為對任意，與同類的元素為，其中，設，則其中，故是的不變子群。例17 三階循環(huán)群的自同構群有兩個元素，故與同構。顯然不是內(nèi)自同構群。例18 三階對稱群有以下的內(nèi)自同構映射：因此群的內(nèi)自同構群為內(nèi)自同構群的子群，也都是的內(nèi)自同構群?？傊?，同構的群作為抽象的數(shù)學群來說，是相同的。群的同態(tài)映射，是保持群結構的一種映射，是常用的重要概念。1.5變換群前面所討論的都只涉及到抽象群。而將群論用于物理對稱性的研究時，常常借助變換群來研究被變換對象和變換群之間的關系。因此變換群提供了把群論用到幾何和物理問題中的重要途徑。變換與變換群

22、又稱為置換與置換群。對置換群的討論應包括被變換對象和變換群兩部分。設被變換對象由元素組成，它是一個非空的集合，。上的置換是將映入自身的一一滿映射，,即對任意，有，而且有逆。定義1.15 定義上兩個置換和得乘積為先實行置換，再實行置換。即對任意，有，的全體置換在次乘法下構成一個群，稱為上的完全對稱群，記為。恒等置換是的單位元素，置換與其逆置換為的互逆元素。被置換對象的元素個數(shù)可以是無限的，如是三維實歐式空間中所有的點，或是希耳伯特空間的所有態(tài)矢量等等。的元素個數(shù)也可以是有限的，如平面正三角形的3個頂點，或正四面體的4個頂點等等。當有無限多個元素時，是無限群。當有個元素時，的完全對稱群就是個元素的

23、置換群。共有個元素。的完全對稱群的任何一個子群，是的一個對稱群。又稱為上的變換群。同一個數(shù)學抽象群，可以對應不同的變換群。如二階循環(huán)群，可以對應轉動群的子群，,也可以對應空間反演群。群和群是的兩個不同的實現(xiàn)。雖然這兩個群是同構的，具有完全相同的乘法表，但他們作用于被變換對象中的向量時，引起的后果并不相同。這說明兩個同構的群，應用到物理問題上，若是不同的實現(xiàn)，必須注意它們的區(qū)別。定理1.7 (凱萊定理) 群同構于的完全對稱群的一個子群。特別地，當是階有限群時，同構于的一個子群。證明 設。將本身看作被變換對象，則任意的元素，把按群的乘法映入，即。由重排定理知道，是把映入的一一滿映射，故是將映入自身

24、的一個變換群。因此是上完全對稱群的一個子群。下面將討論關于變換群的軌道等重要概念。設是的一個變換群，如果中兩個元素和，有，使，則稱元素是等價于元素，或稱為點與點等價。記為。因此等價是指被變換對象中兩個元素和，可以通過變換群的作用，從變到。顯然等價具有對稱性，若，必有，因，必有。等價也具有傳遞性，若，,必有，因，必有。由中全部與等價的點組成的軌道稱為含的軌道，即為。即從點出發(fā)，用中元素作用于，當取遍的所有元素時，給出的一個子集，這個子集就是含的軌道。含的軌道，就是點經(jīng)群作用后，可以變到的所有的點。有時也簡稱為軌道，不過要注意是過那一點的軌道。的不變子集，是指的子集，在變換群的作用下，不會變到外面

25、去，即對任意，有。顯然，中每一個軌道是不變的；幾個軌道的和集也是不變的。當集合是不變時，也是的對稱群。設是的變換群，那么對于的任意子集，總可以找到的一個子群，使任意子集是不變的，即。不變的子群總是存在的，因為對由單位變換構成的顯然子群總是不變的。例19 設是二維平面，是繞軸轉動的二維轉動群。,平面上任意一點可寫為經(jīng)作用變到， 與等價，,以原點為圓心，過點的圓周上的全部點，是含的軌道。一般說來，過不同的點的軌道是不相同的。如含的軌道，是以原點為圓心，過點的圓。對繞軸轉動的平面轉動群，軌道如圖1.6所示，是一個個同心圓。從圖1.6可以看出，中不變的子集有，原點和以原點為圓心的同心圓的任意和集，即中

26、幾個軌道的和集是不變的。因此，既是原點的對稱群，又是任意以原點為圓心的同心圓及其和集的對稱群。例20 平面正方形對稱群。設為平面，是繞原點的轉動群。中心在的正方形是的子集，用求正三角形對稱群的同樣辦法，我們可以求出下面8個轉動使不變：恒等轉動，繞軸轉角，繞軸轉角，繞軸轉角，繞對角線1轉角，繞對角線2轉角繞軸轉角，繞軸轉角，見圖1.7。這8個保持正方形不變的元素，構成的一個子群，稱為群。即正方形是不變的。過點的軌道包括4個點，故正方形只有一個軌道。對正方形的不同子集可以找到的不同子群，使是不變的。如或 或 或 或 或 等等。定義1.16 設是上變換群，是內(nèi)一點，的子群保持不變，稱為對的迷向子群。

27、在正四方形對稱群中，和點的迷向子群分別為 定理1.8 設是對的迷向子群，則的每一個左陪集，把點映為中一個特定的點。也就是說，含的軌道上的點，和的左陪集間有一一對應關系。證明 設是含的軌道上的點，即有，使。則左陪集也將映為。因為 得。反之，若有，把映為，則由，得。即只有左陪集中的元素，才可能把映為。因此，含的軌道上的點和的左陪集間有一一對應關系。定理證畢。系 設是階有限群，左陪集的個數(shù)，就是含的軌道中點的個數(shù)。設的階為，則含的軌道中共有個點。例21 設是平面正三角形的三個頂點，是的對稱群。點的迷向子群，即在作用下不變。左陪集把映為，把映為。含的軌道上共有個點。見圖1.1（a）。例22 設是正四方形的4個頂點，是的對稱群。點的迷向子群，即在作用下不變。左陪集將映為，將映為，將映為。含的軌道共有個點。見圖1.7。以上對迷向子群的討論是很重要的。特別是定理1.8，使迷向子群的