概率與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)字特征

1、 第四章第四章 數(shù)字特征數(shù)字特征 一一.隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量的數(shù)學(xué)期望1.定義定義:(離散型離散型)設(shè)離散變量X的概率分布為P(x=xn)=pn,n=1,2,.,若級數(shù) 絕對收斂,則稱該級數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望,記為nnnpxEX=nnnpx若nnnpx,非絕對收斂,即級數(shù)nnnp|x|發(fā)散,則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.均值均值例如:X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3則EX=nnnpx=-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8注意注意:數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的平均值,它是一種加權(quán)平均.常見離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望常見離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(1)若X服從參數(shù)為p的0

2、-1分布,則E(X)=(3)若XP(), 則E(X)=(2)若XB(n,p),則E(X)=pnp例例 某種產(chǎn)品的每件表面上的疵點數(shù)服從泊松分布某種產(chǎn)品的每件表面上的疵點數(shù)服從泊松分布,平均每件上有平均每件上有0.8個疵點個疵點. 規(guī)定疵點數(shù)不超過規(guī)定疵點數(shù)不超過1個為一等品個為一等品,價值價值10元元;疵點數(shù)大于疵點數(shù)大于1個不多于個不多于4個為二等品個為二等品,價值價值8元元;疵點數(shù)超過疵點數(shù)超過4個為廢品個為廢品,求求: (1)產(chǎn)品廢品率產(chǎn)品廢品率; (2)產(chǎn)品價值的平均值產(chǎn)品價值的平均值.例例. 某種電子元件使用壽命X0 x00 xe10001)x(f1000 x規(guī)定:使用壽命在500小

3、時以下為廢品,產(chǎn)值為0元;在500到1000小時之間為次品,產(chǎn)值為10元;在1000到1500小時之間為二等品,產(chǎn)值為30元;1500小時以上為一等品,產(chǎn)值為40元,求該種產(chǎn)品的平均產(chǎn)值.分析:平均產(chǎn)值即為產(chǎn)值的數(shù)學(xué)期望,所以,先求產(chǎn)值的概率分布.解解:設(shè)Y表示產(chǎn)值,Y取值為0,10,30,40,P(Y=0)=P(X500)500dx)x(f50001000 xdxe10001=1-e-0.5P(Y=10)=P(500X1000)10005001000 xdxe10001=e-0.5-e-1類似可得:P(Y=30)=e-1-e-1.5 , P(Y=40)=e-1.5所以, EY=0 (1-e-

4、0.5)+10 (e-0.5-e-1 )+30( e-1-e-1.5 )+40 e-1.5=15.65(元)定義定義(連續(xù)型連續(xù)型):設(shè)X是連續(xù)型隨機變量,Xf(x),若dx)x(xf絕對收斂,則稱該積分為X的數(shù)學(xué)期望,記為:EX=dx)x(xf否則,稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.例如:若X服從a,b區(qū)間上的均勻分布,即X其它0b ,axab1)x(f則EX=dx)x(xfbadxab1xabx21ab122ba 數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量的平均取值數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量的平均取值.例例 (P80) 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量XE(),求求E(X).解解 X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為000)(xxexfx

5、EX=dx)x(xf0dxxex00dxexexx例：例： 若若XN(,2), 則則EX= .10)()(xedx01xedxdxexdxxxfXEx222)(21)()(02122222dyedyyeyyxy并非所有隨機變量都有數(shù)學(xué)期望并非所有隨機變量都有數(shù)學(xué)期望0202)1ln(112)(|xdxxxdxxfx由于廣義積分由于廣義積分 發(fā)散發(fā)散)1 (1)(2xxfx例如密度函數(shù)為例如密度函數(shù)為的隨機變量的隨機變量所以所以E(X)不存在不存在 2.隨機變量隨機變量(向量向量)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望函數(shù)的數(shù)學(xué)期望:定理定理1:設(shè)X是隨機變量,Y=g(X),且E(g(X)存在,(1)若X為離散型, P

6、(X=xn)=pn,n=1,2,.,則nnnpxgXgE)()(2)若X為連續(xù)型, Xf(x), 則dxxfxgXgE)()()( ijijjipy,xgX,YgE)()(定理定理2 ：設(shè)g(X,Y)為隨機變量X,Y的函數(shù), Eg(X,Y)存在, (1)若(X,Y)為離散型隨機向量,P(X=xi,Y=yj)=pij ,(i,j=1,2),則 (2)若(X,Y)為連續(xù)型隨機向量,(X,Y)f(x,y),則 dxdyyx,fyx,gX,YgE)()()(3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): )()()()()(:)()()()()()()()()()()()(.)(.XEgXgE5).XEXEXEX

7、XXEXYEXEXYEYX4).XEaXaEXEXEYEXEYXE3).bXaEbaXE2)ccE1)n21n21in1iiin1iiin1iin1ii注意：一般地，獨立，則若諸推廣獨立，則、若，例例 .設(shè)隨機變量X的概率分布為X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4求E(X2+2).(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6/4=13/4解: E(X2+2)=例例 （P84 ） 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為求求EX,EY,E(XY).解解 X,Y的邊緣分布為的邊緣分布為X 1 3P 3/4 1/4Y 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8

8、1/8所以 EX=3/2, EY=3/2,81) 33(0)23(0) 13(81)03(0) 31 (83)21 (83) 11 (0)01 ()(XYE據(jù)定理據(jù)定理3.1.2有有49X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3例（例（P83) 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X服從服從0,的均勻分布的均勻分布,求求22)(),(),(sinEXXEXEXE3/ 1. )(,),(),(：求其他若例：AnswerXYE0,1y1,0 x0yxyxfYX例例 設(shè)市場對某商品的需求為隨機變量設(shè)市場對某商品的需求為隨機變量X(噸噸),它服從它服從2000,4000上上的均勻分布的均

9、勻分布,已知該商品每售出已知該商品每售出1噸獲利噸獲利3萬美元萬美元,若銷售不出去若銷售不出去,每每噸將損失噸將損失1萬美元萬美元,問如何組織貨源可使收益最大問如何組織貨源可使收益最大?其其他他，其其他他令令（，則則：，收收益益為為，設(shè)設(shè)進進貨貨量量為為解解：, 040002000,20001)(, 02000,44000,3y)(gX2000,-4XX)-y-3X4000X,3)(gZZ40002000yxxfyxyxxyxyyyyX)2000140002(200012000320004)()()()(224000200040002000yydxydxyxdxxfxgXgEZEyyyy則則時

10、時，期期望望收收益益最最大大。噸噸可可知知，當(dāng)當(dāng))(3500y 例例 某商品的進貨量某商品的進貨量X X與需求量與需求量Y Y為獨立隨機變量為獨立隨機變量, ,均服從均服從U10U10，2020分布分布, ,每售出每售出1 1單位獲利單位獲利10001000元元, ,若供不應(yīng)求，若供不應(yīng)求，可從別處調(diào)劑可從別處調(diào)劑, ,則每售則每售1 1噸獲利噸獲利500500元元, , 求期望收益。求期望收益。其其他他，其其他他，（，則則：設(shè)設(shè)收收益益為為解解：, 020,10,1001),(, 02010,y)500(x2010,1000y)(g20X10, )(500X)-Y5001000X02XY10

11、,1000Y)Y(gLLyxyxfyxxyyxYYXX7500320000)(510),(),(),()(201020201010 xxdyyxdxydydxdxyxfyxgYXgELE則則 例例 (973) 游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯 于每個整點的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游 客在早8 點的第X分鐘到達底層侯機處，且 X在0，60上均勻分 布，求該游客等侯時間的數(shù)學(xué)期望。解:由題意得:X其它060,0 x601)x(f設(shè)Y表示旅客候車時間,則Y=g(X)=0X5,5X25,25X55,55X60.E(Y)=E(g(X)=dx)x(f )x(g600dx)x(g

12、6016055552550255dx)x65(dx)x55(dx)x25(dx)x5(601)5 .374502005 .12(601=11.67(分)5-X25-X55-X65-X二二. 隨機變量的方差隨機變量的方差1。定義。定義 定義定義(方差方差):設(shè)X為隨機變量,EX存在,且E(X-EX)2存在,則稱E(X-EX)2 為X的方差,記為:DX= E(X-EX)2特別,記x=DX為X的標準差標準差.注意注意: 方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度.結(jié)合隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望可得:(1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,.,則DX= E(X-EX)2

13、nn2np)EXx(2)若X為連續(xù)型,Xf(x),則DX= E(X-EX)2dx)x( f)EXx(22.方差的性質(zhì)方差的性質(zhì):n1ii2n1iiin1iin1iii22222XDaXaDXDXDXYDXDYXDYX5).EXXEXD4XDabaXDXDaaXD3).0XEXEXD2)0cD1)i)()()()(:)()()()()()().)()()()()()(.)(.，獨立，則若諸推廣獨立，則、若（常用公式），3. 關(guān)于均值與方差的重要結(jié)論關(guān)于均值與方差的重要結(jié)論:.)()(,)()(,),(nXDXEXn1XXDXEn1iX2n1ii2iii，則令，且獨立同分布定理：若. 1)(0)(

14、)()()(YDYEXDXEXY0XD，則，令定理：若一般稱定理中的一般稱定理中的Y為為X的的標準化變量。標準化變量。.的取值更加集中，但的均值仍為可見隨機變量XX例例.設(shè)X其它02x1x21x0 x)x(f,求EX,DX.解:(1)EX=dx)x(xf2110dx)x2( xxdxx12)x31x(01x31323=1(2)E(X2)=dx)x(fx2212103dx)x2(xdxx=7/6所以,DX=EX2-(EX)2=7/6-1=1/6常見分布的數(shù)字特征2222XDXEN61XD1XEE512abXD2baXEbaU4).XDXEPPoisson3npqXDnpXEpnB2)pqXDpX

15、E101)()(: ),().)()(: )().)()(,)(: ,)()()().)()(: ),(.)()()(.，正態(tài)分布，指數(shù)分布均勻分布：分布，二項分布，：分布兩點分布-2x202x202xdxexdxexdxxe2，例：計算積分,e)x(f1x2x12求EX和DX.例例（871）設(shè)X的密度 函數(shù)為2 22 22 22 2) )( (x x1 12 2x xx x, ,2 2 解得解得:EX=1,DX=2=1/2例例 利用均值和方差的性質(zhì)求B(n,p)變量的均值與方差.例例 將n封信隨機裝入寫好地址的信封中，求地址碰巧 正確的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.三、切比雪夫三、切比雪夫(Cheby

16、shev)不等式不等式 若隨機變量若隨機變量X的方差存在的方差存在(這時均值也存在這時均值也存在),則則 對任意對任意正數(shù)正數(shù)有下面不等式成立：有下面不等式成立：2)()(XD|XEX|P2)(1)(XD|XEX|P21 )()(k1XDk|XEX|P推論：的估計。概率分布未知時，此式給出在)(|XEX|PX例.設(shè)X0 x00 xe!nx)x(fxn用切比雪夫不等式證明1nn)1n(2X0P證明:EX=dxe!nxxxn0=n+1!ndxex0 xn注：EX2=dxe!nxxxn02=(n+1)(n+2)所以,DX=EX2-(EX)2=n+11n|EXX|P)1n(2X0P2)1n(1n11n

17、n這里,=n+11. 設(shè)隨機變量X的方差D(X)=0.0001,則由切比紹夫不等式可知 P|X-E(X)|0.03( ).2. 設(shè)隨機變量XE(1/n),用切比紹夫不等式證明 P-1X2n+1(2n+1)/(n+1)(n+1)3. 設(shè)P|X-E(X)|不小于0.9,D(X)=0.009.則用切比紹夫不等式估計的 最小值是( ).課堂練習(xí)課堂練習(xí)203. 00001. 010.3四四.高階原點矩與中心矩高階原點矩與中心矩1.原點矩:對于正整數(shù)k,若E|Xk|+,稱vk=Exk k=1,2,.,為 隨機變量X的k階原點矩.2.中心矩:對于正整數(shù)k,若E|Xk|0,Y=X-E(X)/D(X)1/2,

18、證明：E(Y)=0,D(Y)=1.課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.設(shè)X其它01x0 x2)x(f,求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X-1, (2)(X-2)24.隨機變量X只取-1,0,1三個值,且相應(yīng)概率比為1:2:2,又Y=X2,求(1)EX, (2)DX, (3)EY, (4)DY.6.（874）設(shè)0,00,)(2222yyeyfXayay求 Z= 1/Y 的數(shù)學(xué)期望E（Z）.解:EZ=E(1/Y)=dy)y(fy10a2y2dyea1220)| a |2y(2dyea120)| a |2y(2)|a|2y(de|a|2a12|a|2yu 令EZ0u2duea|a|222a|a|22|a|227.

19、 (934)設(shè)X與Y同分布，X的密度為其他, 020,)(283xxxf 已知事件 A=X和 B=Y獨立,且P(A+B)=3/4.求常數(shù)； 求E(1/X2).解:(1)由已知得:P(A)=P(B), A, B獨立, 所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-P(A)2=3/4故P(A)=1/2,0aa)=a22dxx838a13=1/2所以34a (2)E(1/X2)=20224/3dxx83x1例例. .(964）設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作。若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元；發(fā)生兩次故

20、障可獲利潤 0元；發(fā)生三次或三次已上故障就要虧損 2萬元。求一周內(nèi)期望利潤是多少？解:設(shè)X表示一周5天內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù),Y表所獲利潤,則XB(5,0.2),Y=g(X)=X=0X=1X=2X31050-2P(X=0)=0.85=0.328P(X=1)=50.20.84=0.410P(X=2)=50.220.83=0.025P(X3)=1-0.328-0.410-0.025=0.057所以,EY=5.216(萬元)即Y 10 5 0 -2P 0.328 0.410 0.025 0.057第第3.23.2節(jié)節(jié) 隨機向量的數(shù)字特征隨機向量的數(shù)字特征一一. .隨機向量的期望向量和方差向量隨機向量的期望

21、向量和方差向量),()(),()(),(n21n21n21DXDXDXXDEXEXEXXEXXXXX，為的均值向量和方差向量，定義設(shè)二二. .協(xié)方差協(xié)方差)()()(Cov)()(YEYXEXEYXYXYEYXEXE，的協(xié)方差：與為隨機變量稱定義：)()()(CovXDXEXEXX2，特別地，協(xié)方差的性質(zhì)與應(yīng)用協(xié)方差的性質(zhì)與應(yīng)用jijijin1i2in1iiijijin1iin1ii22aa )XX(Cov2)X(Da)Xa(D)XX(Cov2)()X(D)YX,(2ab)Y(D)X(D)bYX(D)YX,(2)Y(D)X(D)YX(D6).)ZY()ZX()ZYX(5).)YX,(ab)db

22、Yc,aX(4).0)YX,(Y,X3).)()Y(E)X(E)XY(E)YX,(.2)XY()YX,(.1)，獨立，則若常用公式，XDCovbaaCovCovCovCovCovCovCovCovCovCov三三. .相關(guān)系數(shù)（無量綱）相關(guān)系數(shù)（無量綱）)()(),(Cov)()(YDXDYXYX0YD0XDXY的相關(guān)系數(shù)為：與，定義，定義：若)()()()(CovYDYEYXDXEXXY，實際上，.),()()()(),(),(, ),(XZXYZXCovZDZEXYEYXCov2Y3XZ21160NY91NX以及，求：，令且例：若.,),(,)(,)(,)(,),(00ZXCov3ZD31

23、ZE6XYE6YXCovXZ答案：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1baXYPba16).YEXEXYE15).10a10a0abaXY4).ababdbYVcaXU3).)(0YX2)1)XY222XYXYXYXYUVXYYXXY)(,|()( )(|,|,.使存在常數(shù)）柯西不等式：；時，當(dāng)；時，當(dāng)則：若則，反之，不成立獨立，則若相關(guān)系數(shù)絕對值越大，變量間的線性相關(guān)度越高。相關(guān)系數(shù)絕對值越大，變量間的線性相關(guān)度越高。完全負相關(guān)，：完全正相關(guān)；，：負相關(guān)；，：正相關(guān)；，：；相關(guān)，：；不相關(guān)，：幾個定義：YX1YX1YX0YX0YX0YX0XYXYXYXYXYXY反之不成立。；不相關(guān)獨立，注：YX)

24、()()()()()()()(),(Y-XDYXDYDXDYXDYEXEXYE0YXCov0YXXY不相關(guān)，不不相相關(guān)關(guān)獨獨立立.).).)(Cov).),(),(不相關(guān)，獨立，則：若論：關(guān)于二元正態(tài)分布的結(jié)YX0YX32YX1NYXXY21222121例例. (X,Y)的聯(lián)合概率分布為:X-1 0 1Y -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求X,Y的相關(guān)系數(shù)XY.解解:0ijijipx)X(E0ijijjip)yx()XY(E由對稱性知43ijij2i2px)X(EEY=EX=0EY2=EX2=3/4所以Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0亦即

25、 XY=0XYyxyxyxfYX求其它，例：設(shè),020,20)(81),()(解解: dxdy)y, x(xf)X(E67dxdyyx81x 2020)(35dxdyyxx 20202)(81由對稱性: dxdy)y, x(fx)X(E2235YE67YE2)()(， dxdy)y, x(f )xy()XY(E34 2020dxdy)yx(81xyDYDX)EXEYEXY(XY111)()(YD3611XD則)()()()()()(3Z2YXDZYXDZ32Y31D212104ZDYDXDYZXZXY，求，例：已知2ZXCov2ZY,Cov0YDXDYXCovXY),(,)(,)()(),(解

26、：12222-212ZX2CovZY,2CovYX2CovZDYDXDZYXD)(),()(),()()()()(923ZX2Cov2Y,3Z2Cov2YX2Cov3ZD2YDXD3Z2YXD),()(),()()()()(34232312494491Z32Y,312CovZD32Y31DZ32Y31D)()()()()( 例例(P101)設(shè)設(shè) 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 上服上服從均勻分布，試判斷從均勻分布，試判斷 與與 是否相關(guān)？是否相關(guān)？ ),(YX, 10),(xyxD10 yXY xo 11 y方法一方法一方法二方法二求出相關(guān)系數(shù)求出相關(guān)系數(shù)利用獨立與不相關(guān)的關(guān)系利用獨立與不相關(guān)的關(guān)系（1

27、）求出協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)）求出協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)（2）獨立一定不相關(guān)；）獨立一定不相關(guān)；=0，不相關(guān)，不相關(guān) 0，相關(guān)，相關(guān)判斷是否相關(guān)的兩種方法：判斷是否相關(guān)的兩種方法：例例 (P101)(P101)設(shè)設(shè) 在圓形區(qū)域在圓形區(qū)域 上服從均勻上服從均勻分布，試判斷分布，試判斷 與與 是否相關(guān)，是否獨立？是否相關(guān)，是否獨立？ ),(YX1),(22yxyxDXY解解 因為因為(x,y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 其它011),(22yxyxf圖圖3.2.2 xo 1 y-121xy21xy01),()(221111 xxdyxydxdxdyyxfxyXYE所以所以 0121)()(112111122dx

28、xxdyxdxdxxfxXExxX0)()()(),cov(YEXEXYEYX0)(YE同理同理所以所以X與與Y的協(xié)方差為的協(xié)方差為即即X X與與Y Y不相關(guān)。不相關(guān)。 因為因為211121),()(22xdydyyxfxfxxX）（11x其它。, 0; 11,12)(2xxxfX其它。, 0; 11,12)(2yyyfY)()(),(xfxfyxfYX所以所以同理同理yx,由于對由于對 有有故故X X與與Y不獨立。不獨立。均值與方差性質(zhì)比較222n1n21iiiiiiiYEXEXYE6).XEgXgE5).XEXEXXXEXYEXEXYEYX4).XEaXaEXEXEYEXEYXE3).bX

29、aEbaXE2)ccE1)()( )( )()()()()()()()()()()()()()()()(.)(.一般地，獨立，則若諸獨立、均值：0XEXEXD6).EXXEXD5).XDaXaDXYDXDYXDYX4XXCovaa2XDaXaDXXCov2XDXDYX2CovYDXDYXD3).XDabaXD2)0cD1)222n1ii2n1iiiijijijin1ii2in1iiijijin1iin1ii2i)()()()()()()()()()().),()()(),()()(),()()()()()(.)(.兩兩不相關(guān)，則若諸不相關(guān)、方差：第3.3節(jié) 大數(shù)定律與中心極限定理1. 大數(shù)定律

30、大數(shù)定律定義定義 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列XXn n ，若存在常數(shù)，若存在常數(shù)a a，使對任意，使對任意00，有，有 aXPnnlim=1則稱此序列依概率收斂于依概率收斂于a,a,記作aXpn定理定理（切比雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律） 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列XXn n 相互獨立，且相互獨立，且均存在數(shù)學(xué)期望均存在數(shù)學(xué)期望E(XE(Xn n)=u)=un n，方差，方差D(XD(Xn n)=)=2 2n n k(nk(n=1,2,.),=1,2,.), 其其中常數(shù)中常數(shù)k k與與n n 無關(guān)，則對任意的無關(guān)，則對任意的0 0 ，有，有111lim11 niiniinnXnP定理定

31、理 設(shè)設(shè)XXn n 為相互獨立的隨機變量序列，且有相同的期望與為相互獨立的隨機變量序列，且有相同的期望與 方差：方差： E(XE(Xn n)=)=，方差，方差D(XD(Xn n)=)=2 2(n=1,2,.),(n=1,2,.), ，則對任，則對任 意的意的 0 0 ，有，有11lim1 niinXnP1lim pnPnn定理定理（貝努利大數(shù)定律）（貝努利大數(shù)定律） 設(shè)每次實驗中事件設(shè)每次實驗中事件A A發(fā)生的概率發(fā)生的概率 為為p p，n n次重復(fù)獨立實驗中事件次重復(fù)獨立實驗中事件A A發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為 n n，則對任，則對任 意的意的0 0 ，有，有 二項分布：二項分布：若在一次實

32、驗中成功的概率為p,則n次獨立重復(fù)實驗中成功的次數(shù)X服從二項分布:npqDXnp,EXn,.,kqpCkXknkkn2 , 1 , 0)(P復(fù)習(xí)：正態(tài)分布復(fù)習(xí)：正態(tài)分布2. 中心極限定理中心極限定理)()()()()()10(),()(ab22bXaPba,NX2NXNX1，則對若，則若中心極限定理中心極限定理 （林德貝格（林德貝格- -勒維）勒維） 設(shè)X1,X2,X n,為獨立同分布序列,期望,方差20,)n,n(NX2n1ii以上定理表明只要以上定理表明只要n比較大比較大,就有近似結(jié)果就有近似結(jié)果:)(lim)(lim1xxnnXPxFniinYnn有則對任意）（分布函數(shù)為xxFnnXYn

33、Yniin,1例例.用機器包裝味精,每袋凈重為隨機變量,均值為100克,標準差為10克,一箱內(nèi)裝200袋,求一箱凈重大于20500克的概率?解解:設(shè)一箱味精凈重為X,箱中第i袋味精凈重Xi,(i=1,2,200)則 X1,X2,X200獨立同分布獨立同分布, EXi=100, DXi=102=100, 2001iiXX由中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布，EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,P(X20500)= 1-P(X20500)200002000020500(1)54. 3(1=0.0002 故一箱味精凈重大于20500的概率為0.0002.例：例：某人一次射擊

34、,命中環(huán)數(shù)X的分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解解:設(shè)X表示100次中命中的總環(huán)數(shù),Xi表示第I次命中的環(huán)數(shù),則 X1,X2,X100 相互獨立同分布相互獨立同分布, EXi=9.62, DXi=0.82,且1001iiXXEX=962, DX=82,P(900X930)=故 X近似近似N(962,82)82962900()82962930()85. 6()53. 3(=0. 00021例（例（P108） 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機每箱的重量是隨機的

35、的.假設(shè)每箱平均重假設(shè)每箱平均重50kg,標準差為標準差為5kg.若用最大載重量為若用最大載重量為5噸的噸的汽車承運汽車承運,試用中心極限定理說明每車最多可以裝多少箱試用中心極限定理說明每車最多可以裝多少箱,才能保才能保障不超載的概率大于障不超載的概率大于0.977.解解設(shè)設(shè)Xi(i=1,2,n)為第為第i箱的重量箱的重量,n是所求的箱數(shù)是所求的箱數(shù).則則 X1,X2,Xn獨立同分布獨立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令令 ,1niinXY由中心極限定理得由中心極限定理得nYDnYEnn25)(,50)(則)2(977. 05505000)5000(nnYPn所以所以, 2101000nn0199.98n即最多可以裝即最多可以裝98箱箱.)()(lim),(nxxnpqnpXxpnBXnn，則對拉普拉斯）：設(shè)定理（棣莫佛注意注意: (1) 定理表明，當(dāng)n重 Bernoulli實驗次數(shù)很大時，二項分布 B(n，p