數(shù)學(xué)閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值

1、閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值二次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性函數(shù)之一，自身性質(zhì)活躍，同時(shí)經(jīng)常作為其他函數(shù)的載體。二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題，是初中二次函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)和發(fā)展，隨著區(qū)間的確定或變化，以及在系數(shù)中增添參變數(shù)，使其又成為高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)。一. 定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱(chēng)這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1. 函數(shù)在區(qū)間0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函數(shù)是定義在區(qū)間0，3上的二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），且其圖象開(kāi)口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在0，3上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。圖1例2. 已知，求函數(shù)

2、的最值。解：由已知，可得，即函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其對(duì)稱(chēng)軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)，且圖象開(kāi)口向上。顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)的最小值為，最大值為。圖2解后反思：已知二次函數(shù)（不妨設(shè)），它的圖象是頂點(diǎn)為、對(duì)稱(chēng)軸為、開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)。由數(shù)形結(jié)合可得在m，n上的最大值或最小值：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當(dāng)時(shí)若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值是二. 動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值二次函數(shù)隨著參數(shù)a的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱(chēng)這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例3.

3、 已知，且，求函數(shù)的最值。解：由已知有，于是函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)，將配方得：二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程是頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開(kāi)口向上由可得，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間的左側(cè)或左端點(diǎn)上。函數(shù)的最小值是，最大值是。圖3例4. 已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，求實(shí)數(shù)a的值。解：將二次函數(shù)配方得，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開(kāi)口方向由a決定。很明顯，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上。若，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，如圖4所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值5即解得故圖4若時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，如圖5所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值5即解得故圖5綜上討論，函數(shù)在區(qū)間上取得最大值5時(shí)，解后反思：例3中，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是隨參數(shù)a變化的，但圖象

4、開(kāi)口方向是固定的；例4中，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是固定的，但圖象開(kāi)口方向是隨參數(shù)a變化的。三. 定二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)t而變化的，我們稱(chēng)這種情況是“定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例5. 如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。解：函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），圖象開(kāi)口向上。如圖6所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。圖6如圖7所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。圖7如圖8所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值綜上討論，圖8例6. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，求函數(shù)的最小值的解析式。解：將

5、二次函數(shù)配方得：其對(duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開(kāi)口向上若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)，則，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上，則，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)，則，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值綜上討論，得四. 動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱(chēng)這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例7. 已知，且當(dāng)時(shí)，的最小值為4，求參數(shù)a的值。解：將代入S中，得則S是x的二次函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑢?duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開(kāi)口向上。若，即則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，或若，即則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，或（因舍去）綜上討論，參變數(shù)a的取值為，或，或例8. 已知，且當(dāng)時(shí)，的最小值為1，求參變數(shù)a的值。解：將代入P中，得則P是x的二次函數(shù)，其定義域?yàn)?，?duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開(kāi)口向上。若，即則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，若，即則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，或（因舍去）綜上討論，解后反思：例7中，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是變化的；例8中，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是固定的。另外，若函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、