植樹問題教學實錄與評析

1、在潛移默化中滲透數(shù)學思想方法“植樹問題”教學實錄與評析教學內(nèi)容：人教版義務(wù)教育教科書五年級上冊第106107頁。教學目標：1.通過生活中的事例，知道“植樹問題”的三種不同情況，理解與掌握間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系與變化規(guī)律。2.通過具體問題的解決過程，經(jīng)歷觀察、比較、發(fā)現(xiàn)、概括等數(shù)學活動，培養(yǎng)學生的研究意識和探究能力，感悟數(shù)形結(jié)合、“一一對應(yīng)”的數(shù)學思想方法。3.能運用規(guī)律或研究策略解決相關(guān)實際問題，感受數(shù)學在日常生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識和解決問題的能力。教學重點：引導學生經(jīng)歷規(guī)律的獲得過程，建立數(shù)學模型，并用所學的方法解決一些簡單的實際問題。教學難點：理解間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系；解決與植

2、樹問題具有相同數(shù)學結(jié)構(gòu)的實際問題。教學準備：多媒體課件、題卡、小樹和小路模型教學過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：我們今天的研究，就從這一列精神抖擻的同學開始。請這一列的第一位和第二位同學站起來。來看，這兩位同學之間產(chǎn)生了一個“空”，我們把這個“空”叫做間隔。板書：間隔師：兩位同學之間產(chǎn)生1個間隔。這3位同學之間產(chǎn)生幾個間隔？生：2個間隔。師：4位同學之間產(chǎn)生幾個間隔？生：3個間隔。師：這一列共有幾位同學？產(chǎn)生幾個間隔？生：7位同學，產(chǎn)生6個間隔。師：我們今天來了多少位同學？如果排成這樣的一列，能產(chǎn)生多少個間隔？生：40位同學，產(chǎn)生39個間隔。師：這節(jié)課，我們就來研究和間隔有關(guān)的一類數(shù)學問題植樹

3、問題。板書：植樹問題【評析】由現(xiàn)實情境入手，引出“間隔”這一概念。一是能在瞬間吸引學生的注意力，使其很快進入學習狀態(tài)；二是形象感知間隔的意義，初步感受間隔和間隔數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，為后面的研究做好鋪墊。二、自主探究，建構(gòu)模型1.出示問題，引出三種不同情況。課件出示問題：同學們在長20m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵樹。一共要栽多少棵樹？師：請看大屏幕。自己讀一讀，說一說找到了哪些信息？要解決的問題是什么？生1：小路長20米，每隔5米栽一棵樹。生2：要解決的問題是“一共要栽多少棵樹”。師：“每隔5米栽一棵”，你們是怎樣理解的？生1：兩棵樹之間的距離是5米。生2：栽一棵樹，隔5米再栽一棵樹。師：同學們

4、理解得很到位。請大家結(jié)合生活實際想象一下，這條小路可能是怎樣的？生：是一條直的小路。師：有可能。（課件出示小路示意圖）師：小路也有可能是這樣的。（出示一端有房子的小路示意圖）師：現(xiàn)實生活中，會出現(xiàn)這樣的情況嗎？生：會。師：（手指一端的房子）這里出現(xiàn)了房子，這一端還能栽樹嗎？生：不能。師：這種情況可以叫作什么？生：一端能栽樹，一端不能栽。師：說得簡單一些就是“只栽一端”。板書：只栽一端師：既然這一端有可能出現(xiàn)房子，另一端有沒有可能出現(xiàn)房子？（出示兩端有房子的小路示意圖）生：有可能。師：這種情況可以叫作什么？生：兩端都不栽。板書：兩端不栽師：第一種情況可以叫作什么？生：兩端都栽?！驹u析】結(jié)合生活實

5、際理解題意，喚起學生的生活經(jīng)驗。引出植樹問題的三種不同情況，讓學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，為后面的研究活動創(chuàng)設(shè)一個開放的問題情境。2.動手操作，初建模型。師：這三種不同的情況，植樹的棵數(shù)一樣嗎？為什么？生：不一樣，因為有房子的地方不能栽樹，所以栽樹的棵數(shù)不一樣。師：你能找到問題的關(guān)鍵所在。三種不同的情況，到底分別栽下幾棵樹呢？下面，就請同學們自己來研究一下。師：請看自學提示。課件出示自學提示：（1）兩人一組，選擇其中一種情況。（2）用擺一擺、畫一畫或算一算的方法研究，看到底能種幾棵樹。同桌合作動手探究，教師選三組同學將示意圖擺到黑板上，選一組同學將“兩端都栽”的線段圖貼到黑板上。師：我們

6、一起來看看大家的研究成果。來看兩端都栽的情況，請你們說一說是怎樣擺的？生：我們是每隔5米擺一棵，一共擺了5棵樹。師：出現(xiàn)了幾個間隔？生：4個。師：全長是多少米？生：20米。師：符合題目的要求嗎？生：符合。師：再來看看只栽一端的情況。也給大家介紹一下你們是怎樣擺的？生：我們也是每隔5米擺一棵，擺了4棵樹。師：出現(xiàn)了幾個間隔？全長多少米？生：出現(xiàn)4個間隔，全長也是20米。師：符合題目的要求嗎？生：符合。師：兩端不栽的情況。你們也給大家說說你們的擺法。生：栽下了3棵樹，出現(xiàn)了4個間隔，全長也是20米。師：這樣看來，在這條全長20米的小路上植樹，可能栽下5棵樹，也可能栽下4棵樹，還有可能栽下3棵樹，都

7、符合題目的要求。師：這是誰畫的？你們能看懂嗎？有沒有什么問題要問他們？生1：看不出來你們栽了幾棵樹，樹在哪里？生回答：我們畫的是線段圖，用這些豎線來表示小樹。師：你們看懂了嗎？生：看懂了。師：你們兩位把示意圖變成了線段圖，這是一種進步；用豎線來表示小樹，這又是一種進步。謝謝你們的精彩表現(xiàn)！師：如果不擺不畫，你們能用算式來表示“兩端都栽”的情況下，植樹的棵數(shù)嗎？生：20÷5=4 4+1=5（棵）師：你們有問題要問他嗎？生：為什么要加1呢？師：這個問題問得好，老師也想知道為什么？生：因為這里的4是間隔數(shù)，要算棵數(shù)，還得加1。師：在上面的圖中，能找到這個4嗎？給大家指一指。師：現(xiàn)在，讓我們

8、回顧一下剛才“兩端都栽”的植樹過程。課件演示：一棵樹一個間隔，一棵樹一個間隔師：說一說你們看懂了什么？生：我發(fā)現(xiàn)起點也要栽一棵，一棵樹一個間隔，一棵樹一個間隔，最后就多出了一棵樹。師：觀察細致，透過現(xiàn)象看到了本質(zhì)。一棵樹一個間隔，一棵樹一個間隔，這樣對應(yīng)下去，發(fā)現(xiàn)多出了1棵樹，所以要加1。師：學到這兒，關(guān)于“兩端都栽”，同學們似乎已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了什么，有發(fā)現(xiàn)嗎？生：（舉手）有發(fā)現(xiàn)！師：（擺手）不要著急，先把你的發(fā)現(xiàn)藏到腦海中。我們來看看，當小路的長度發(fā)生變化，變成30米、35米、50米，甚至更長的時候，還有這樣的發(fā)現(xiàn)嗎？請看大屏幕。出示表格：兩端都栽全長（m）303550間距（m）555間隔數(shù)棵數(shù)（

9、棵）提示：兩人一組，選擇合適的方法進行研究，把結(jié)果記錄在下面的表格中，并把你們的發(fā)現(xiàn)寫下來。師：請同學們說一說自己的發(fā)現(xiàn)。生1：我發(fā)現(xiàn)“全長÷間距=間隔數(shù)”。生2：棵數(shù)總是比間隔數(shù)多1。生3：間隔數(shù)總是比棵數(shù)少1。師：盡管大家表達的方式不一樣，卻可以得出相同的結(jié)論。在“兩端都栽”的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1?！驹u析】這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的精彩之處，讓學生通過擺一擺、畫一畫、算一算的活動，經(jīng)歷和體驗了知識的形成過程，感悟了數(shù)形結(jié)合和一一對應(yīng)的數(shù)學思想方法。活動過程中學生的參與度高，教師善于引導學生質(zhì)疑并進行生生間的對話與交流，激發(fā)了學生對數(shù)學的好奇心和求知欲，豐富了學習方法?；顒拥脑O(shè)計體現(xiàn)了

10、深入淺出、水到渠成的教學方法。3.觀察比較，拓展規(guī)律。師：不擺不畫，你能用算式表示出“只栽一端”時樹的棵數(shù)嗎？生：20÷5=4師：這里的4表示什么？生：4棵樹。師：還可以表示什么？生：4個間隔。師：能用算式表示出“兩端不栽”時樹的棵數(shù)嗎？生：20÷5-1=3（棵）師：三種情況的算式中，都出現(xiàn)了相同的一步？你們發(fā)現(xiàn)了嗎？生：20÷5。師：為什么都要先算20÷5呢？生：知道了間隔的數(shù)量，才能知道棵數(shù)。師：看問題很透徹。在“只栽一端”和“兩端不栽”的情況下，棵數(shù)和間隔數(shù)之間又有什么關(guān)系？請同學們在小組內(nèi)討論一下。師：來，說一說你們的發(fā)現(xiàn)。生1：“只栽一端”的情

11、況下，棵數(shù)=間隔數(shù)。生2：“兩端不栽”的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。師：能結(jié)合圖說一說為什么這里“棵數(shù)=間隔數(shù)”，這里“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”嗎？生1：一棵一個間隔，一棵一個間隔，棵數(shù)和間隔數(shù)剛好相等。生2：一棵一個間隔，一棵一個間隔，最后發(fā)現(xiàn)少了1棵樹。師：你們已經(jīng)學會了舉一反三，能用剛剛學到的知識解決新的問題了。當這條小路變得更長時，這個問題你們還能解決嗎？出示：同學們在長100m的小路一邊植樹(兩端都栽)，每隔5m栽一棵樹。一共要栽多少棵？生：100÷5+1=21（棵）師：如果只栽一端，能栽多少棵樹？生：100÷5=20（棵）師：兩端不栽呢？生：100÷5-1=1

12、9（棵）師：同學們已經(jīng)對植樹問題的三種情況有了深刻的認識，當我們掌握了其中的規(guī)律，不管小路有多長，這樣的問題都可以迎刃而解?！驹u析】在重點研究了“兩端都栽”的基礎(chǔ)上，放手讓學生自主探索“只栽一端”和“兩端不栽”所蘊含的規(guī)律，在輕松愉悅的氛圍中不知不覺建立了數(shù)學模型，對三種不同情況的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別有了深刻認識，在數(shù)形結(jié)合解釋規(guī)律的過程中，繼續(xù)滲透了一一對應(yīng)的數(shù)學思想方法。通過補充練習，滲透了化歸和模型思想。三、走進生活，豐富認知師：其實，像這樣的問題，在我們的生活中還有很多，我們一起來看看。出示閱兵式隊列圖。師：是植樹問題嗎？生：是不是，像植樹問題。師：和植樹問題具有相同的數(shù)學結(jié)構(gòu)，我們把這一類

13、問題都叫做植樹問題。找到樹了嗎？這個問題是三種情況中的哪一種？生：一排士兵就是一棵樹，兩端都栽的情況。師：很好，看到了問題的實質(zhì)。出示紐扣圖。師：誰來解讀一下這幅圖片？生：紐扣就是樹，只栽一端。出示剪繩子的圖片。師：解讀一下。生：剪刀就是樹，兩端都不栽的情況。師：還有些問題，我們看不到，卻能聽得到，請仔細聽一聽。課件播放鐘聲。師：聽懂了什么？生：鐘聲就是樹，是兩端都栽的情況。課件出示上面的三幅圖。師：其實呀，不管是上面的哪一類問題，研究的都是線段上的點數(shù)和間隔數(shù)之間關(guān)系的問題。師：最后，讓我們欣賞一下黃山美景。把姿態(tài)優(yōu)雅的迎客松和姹紫嫣紅的杜鵑花微縮成盆景。每兩盆迎客松之間擺一盆杜鵑花，在一條

14、筆直的小路上擺下25盆迎客松，要擺多少盆杜鵑花？生：24盆。師：怎么想的？生：擺多少盆杜鵑花，就是算有多少個間隔。師：解決問題時，就要像他這樣，透過問題的表象，看到數(shù)學的本質(zhì)?！驹u析】由生活中豐富的問題模型，讓學生進一步理解植樹問題的本質(zhì)，能運用所學知識恰當解決遇到的實際問題。鐘聲問題的出現(xiàn)，使數(shù)學問題的呈現(xiàn)方式更加豐富，拓展了學生的認知空間，打開了一扇發(fā)現(xiàn)問題的窗戶。四、引領(lǐng)思維，全課小結(jié)出示樹形思維導圖。師：如果把今天所學的知識看作一棵大樹，這是一棵能生長知識的大樹。課后，請同學們充分發(fā)揮自己的想象力，打開發(fā)現(xiàn)的雙眼，讓這棵生長知識的大樹枝繁葉茂。這節(jié)課，我們就上到這兒。同學們休息，謝謝同

15、學們！【評析】全課總結(jié)不落俗套，教給學生用樹形思維導圖的方式整理這節(jié)課的收獲，同時引領(lǐng)學生在生活中尋找更多具有“植樹問題”數(shù)學結(jié)構(gòu)的問題，使學生的思路不斷開闊，更加深入。【總評】“植樹問題”是數(shù)學建模的經(jīng)典課例之一，以前通常出現(xiàn)在各類奧數(shù)教材中，而現(xiàn)在編排到小學數(shù)學教材中，有其深層次的考量。究其原因，主旨是讓學生經(jīng)歷從實際問題出發(fā)建立數(shù)學模型的過程。本節(jié)課，教師以精巧的設(shè)計、嚴謹?shù)倪壿?、開闊的視野，引領(lǐng)學生通過“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”的過程，經(jīng)歷了知識形成的過程，感悟了數(shù)學思想方法的魅力。1.在開放的空間中經(jīng)歷知識形成的過程本節(jié)課教學中，王老師沒有把植樹問題的三種情況進行分解，用三

16、個獨立的情境來呈現(xiàn)，進而一一探索并解決。而是在一個開放的問題情境中，引導學生感知可能出現(xiàn)的不同情況，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題的過程。這樣做的好處很明顯：學生的學習積極性被充分調(diào)動起來了，結(jié)合生活實際感知了“植樹問題”的三種不同情況，初步體會到因?qū)嶋H情況不同，植樹的棵數(shù)就會不一樣，為后面探究不同情況下蘊含的不同規(guī)律，奠定了認知基礎(chǔ)，這是感知知識形成過程的重要一步。2.在自主探究中體驗數(shù)學建模的方法在設(shè)計了開放的問題以后，教師把學習的主動權(quán)交給學生。讓學生任選一種情況，用擺一擺、畫一畫或算一算的方法來研究不同情況下植樹的棵數(shù)。教師沒有按部就班按“擺畫算”的方式讓學生進行整齊劃一的研究，而是讓學生根據(jù)自己的認知

17、水平、已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，自行選擇合適的方法進行研究，這是數(shù)學建模中的重要方法，也是對學生個性化學習活動的尊重和關(guān)注。對于數(shù)學建模的結(jié)果并不急于求成，而是追求水到渠成。把學習過程的重難點分解到反饋活動的各個環(huán)節(jié)，在“擺”的解讀中側(cè)重于感知“擺”的過程和是否符合題意的要求，初步理解間隔的含義；在“畫”的過程中側(cè)重于理解間隔數(shù)，初步感知全長與間隔數(shù)的關(guān)系；在“算”的過程中側(cè)重于引起認知沖突，初步感知間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系。在學生已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，再通過填表探究、類比歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而建構(gòu)模型。一系列的活動遵循學生的認知規(guī)律和解決問題的特點。3.在潛移默化中感悟數(shù)學思想方法的魅力本節(jié)內(nèi)容的學習對培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法來說意義重大，涵蓋了化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應(yīng)思想、數(shù)學建模思想等，把這些思想方法巧妙融合到學習活動的各環(huán)節(jié)，使學生在潛移默化中體悟、感受，是本節(jié)課的高明之處。在學生展示反饋的環(huán)節(jié)，感知了數(shù)形結(jié)合思想；在練習鞏固環(huán)節(jié)，感知了化歸思想；在解釋規(guī)律的內(nèi)涵中，感知了一一對應(yīng)思想；在全課自然流暢的活動中，體驗了數(shù)學建模的過程。4.在互動交流中培養(yǎng)學生的問題