相似三角形常用模型及應用

1、相似三角形模型及應用相似證明中的基本模型A字形圖字型，結(jié)論：，圖反字型，結(jié)論：圖雙字型，結(jié)論：，圖內(nèi)含正方形字形，結(jié)論（為正方形邊長）圖 圖 圖 圖8字型圖8字型，結(jié)論：，圖反8字型，結(jié)論：、四點共圓圖雙8字型，結(jié)論：，圖8字型，結(jié)論：圖，結(jié)論：、圖 圖 圖 圖 圖一線三等角型結(jié)論：出現(xiàn)兩個相似三角形圖 圖 圖 圖角分線定理與射影定理圖內(nèi)角分線型，結(jié)論：，圖外角分線型，結(jié)論：圖斜射影定理型，結(jié)論：，圖射影定理型，結(jié)論：1、，2、，3、梅涅勞斯型常用輔助線中考滿分必做題考點一 相似三角形【例1】 如圖，、是的邊、上的點，且，求證：.【例2】 如圖，在中，于，于，的面積是面積的4倍，求的長.【例3

2、】 如圖，中，點是內(nèi)一點，使得，則_【例4】 如圖，已知三個邊長相等的正方形相鄰并排，求考點二：相似三角形與邊的比例考點說明：可運用相似三角形模型，常用字形與字形【例5】 在中，的延長線交的延長線于， 求證：.【例6】 如圖，在的邊上取一點，在取一點，使，直線和的延長線相交于，求證：【例7】 如圖，、為邊上的兩點，且滿足，一條平行于的直線分別交、和的延長線于點、和.求證：.考點三：相似三角形與內(nèi)接矩形考點說明：內(nèi)接矩形問題是相似三角形中比較典型的問題，考查了相似三角形對應高的比等于相似比【例1】 一塊直角三角形木板的一條直角邊長為米，面積為平方米，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，

3、請甲、乙兩位同學進行設(shè)計加工方案。甲設(shè)計的方案如圖所示，乙設(shè)計的方案如圖所示，你認為哪位同學設(shè)計的方案較好，請說明理由（加工損耗忽略不計）【例8】 中，正方形的兩個頂點、在上，另兩個頂點、分別在、上，,邊上的高,求.【例9】 如圖，已知中，四邊形為正方形，其中在邊上，在上，求正方形的邊長【例10】 如圖，已知中，四邊形為正方形，在線段上，在上，如果，求的面積【例11】 如圖，在中，動點（與點，不重合）在邊上，交于點（1）當?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時，求的長（2）當?shù)闹荛L與四邊形的周長相等時，求的長（3）試問在上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出的長考點四

4、：與平行四邊形有關(guān)的相似問題【例12】 如圖，已知平行四邊形中，過點的直線順次與、及的延長線相交于點、，若，則的長是_【例13】 如圖，已知，求證：.【例14】 如圖，的對角線相交于點，在的延長線上任取一點，連接交于點，若,求的值【例15】 如圖：矩形的面積是36，在邊上分別取點，使得，且與的交點為點，求的面積?！纠?6】 如圖，已知在矩形中，為的中點，交于，連接（）.（1）與是否相似，若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由.（2）設(shè)是否存在這樣的值，使得，若存在，證明你的結(jié)論并求出值；若不存在，說明理由.考點五 與梯形有關(guān)的相似問題【例17】 如圖，梯形的兩條對角線與兩底所圍成的兩個三角

5、形的面積分別為，則梯形的面積是（ ）ABCD【例18】 如圖，梯形中，兩條對角線、相交于，若，那么_【例19】 如圖，在梯形中，,，若，且梯形與梯形的周長相等，求的長【例20】 已知：如圖，在梯形中，是的中點，分別連接、，且與交于點，與交于.（1）求證：（2）若,，求的長.【例21】 如圖，在梯形中，分別是的中點，交于，交于，求的長 【例22】 如圖，已知梯形中，,（）,交于點，連接.（1）判斷與，與是否分別一定相似，若相似，請加以證明.（2）如果不一定相似，請指出、滿足什么關(guān)系時，它們就能相似.考點六：相似三角形與實際問題考點說明：常見的題型如測量樹高、樓高，或者路燈下影子長度等問題【例23

6、】 小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是米和米。已知小華的身高為米，那么他所住樓房的高度為_米【例24】 如圖，王華同學晚上由路燈下的處走到處時，測得影子的長為米，他繼續(xù)往前走米到達處時，測得影子的長為米，已知王華的身高是米，那么路燈的高度等于（ ）考點七：位似考點說明:位似可以考察作圖題，也可以填空題的形式展現(xiàn)，但是難度相對較簡單【例25】 如圖，與的位似中心為點，若，則與的面積比是_，與的比是_【例26】 作一個多邊形的位似圖形，若相似比已知，下列說法中錯誤的是（ ）與位似中心的位置無關(guān)與位似中心的位置有關(guān)【例27】 如圖是由邊長為1個單

7、位的小正方形組成的正方形網(wǎng)格，為一個定點，在網(wǎng)格中畫出一個直角三角形，要求滿足滿足下列條件：三個頂點都是小正方形的頂點，是一條直角邊的中點，斜邊長，且以為位似中心，相似比為的位似圖形也在正方形網(wǎng)格內(nèi)，這樣的三角形能畫出幾個？考點八：“旋轉(zhuǎn)相似三角形”模型考點說明：此模型結(jié)合了相似與旋轉(zhuǎn)的知識，在很多的幾何綜合問題中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】 如圖，在和中，（1）寫出圖中兩對相似三角形（不得添加輔助線）（2）請分別說明兩對三角形相似的理由【例29】 我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，則稱這個四邊形為等平方和四邊形（1）寫出

8、一個你所學過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱：_（2）如圖（1），在梯形中，垂足為求證：，即四邊形是等平方和四邊形證明： 如果將圖（1）中的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度（）后得到圖（2），那么四邊形能否成為等平方和四邊形？若能，請你證明；若不能，請說明理由證明：【例30】 如圖1，四邊形是正方形，是邊上的一個動點（點與、不重合），以為一邊在正方形外作正方形，連結(jié)，我們探究下列圖中線段、線段的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）猜想如圖1中線段、線段的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形繞著點按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中正方形改為矩形（如圖46），且，（，），第（1）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由（3）在第（2）題圖5中，連結(jié)、，且，求的值考點九：“雙垂直”模型考點說明:射影定理圖形，雖然在考綱中并沒有要求射影定理，但是還是建議學生熟練掌握，為順利結(jié)題提供方法和思路，以及它的變形【例31】 如圖，直角