二次函數(shù)與圓 - 答案版

1、二次函數(shù)與圓 答案版1. （2014湘潭，第26題）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的對稱軸為x=2，且經(jīng)過原點(diǎn)，直線AC解析式為y=kx+4，（1）求二次函數(shù)解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求k（第2題圖）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）由對稱軸為x=，且函數(shù)過（0，0），則可推出b，c，進(jìn)而得函數(shù)解析式（2）=，且兩三角形為同高不同底的三角形，易得=，考慮計(jì)算方便可作B，C對x軸的垂線，進(jìn)而有B，C橫坐標(biāo)的比為=由B，C為直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)，則聯(lián)立可求得B，C坐標(biāo)由上述倍數(shù)關(guān)系，則k易得（3）以BC為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，即BOC=90°，一般考慮表示邊長

2、，再用勾股定理構(gòu)造方程求解k可是這個思路計(jì)算量異常復(fù)雜，基本不考慮，再考慮（2）的思路，發(fā)現(xiàn)B，C橫縱坐標(biāo)恰好可表示出EB，EO，OF，OC而由BOC=90°，易證EBOFOC，即EBFC=EOFO有此構(gòu)造方程發(fā)現(xiàn)k值大多可約去，進(jìn)而可得k值解答：解：（1）二次函數(shù)y=x2+bx+c的對稱軸為x=2，且經(jīng)過原點(diǎn)，=2，0=0+0+c，b=4，c=0，y=x2+4x（2）如圖1，連接OB，OC，過點(diǎn)A作AEy軸于E，過點(diǎn)B作BFy軸于F，=，=，=，EBFC，=y=kx+4交y=x2+4x于B，C，kx+4=x2+4x，即x2+（k4）x+4=0，=（k4）244=k28k，x=，或x

3、=，xBxC，EB=xB=，F(xiàn)C=xC=，4=，解得 k=9（交點(diǎn)不在y軸右邊，不符題意，舍去）或k=1k=1（3）BOC=90°，EOB+FOC=90°，EOB+EBO=90°，EBO=FOC，BEO=OFC=90°，EBOFOC，EBFC=EOFOxB=，xC=，且B、C過y=kx+4，yB=k+4，yC=k+4，EO=yB=k+4，OF=yC=k4，=（k+4）（k4），整理得 16k=20，k=點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)、一元二次方程及圓的基本知識題目特殊，貌似思路不難，但若思路不對，計(jì)算異常復(fù)雜，題目所折射出來的思想，考

4、生應(yīng)好好理解掌握2. (2014年廣西南寧，第26題10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+（k1）xk與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)（1）如圖1，當(dāng)k=1時，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出ABP面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線y=x2+（k1）xk（k0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得OQC=90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.分析：（1）當(dāng)k=1時，聯(lián)立拋物線與直線的解析式

5、，解方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如答圖2，作輔助線，求出ABP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）“存在唯一一點(diǎn)Q，使得OQC=90°”的含義是，以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，由圓周角定理可知，此時OQC=90°且點(diǎn)Q為唯一以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值解答：解：（1）當(dāng)k=1時，拋物線解析式為y=x21，直線解析式為y=x+1聯(lián)立兩個解析式，得：x21=x+1，解得：x=1或x=2，當(dāng)x=1時，y=x+1=0；當(dāng)x=2時，y=x+1=3，A（1，0），B（2，3）（2）設(shè)P（x，x21）如答圖2所示，過點(diǎn)

6、P作PFy軸，交直線AB于點(diǎn)F，則F（x，x+1）PF=yFyP=（x+1）（x21）=x2+x+2SABP=SPFA+SPFB=PF（xFxA）+PF（xBxF）=PF（xBxA）=PFSABP=（x2+x+2）=（x）2+當(dāng)x=時，yP=x21=ABP面積最大值為，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）（3）設(shè)直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，則E（，0），F(xiàn)（0，1），OE=，OF=1在RtEOF中，由勾股定理得：EF=令y=x2+（k1）xk=0，即（x+k）（x1）=0，解得：x=k或x=1C（k，0），OC=k假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q，使得OQC=90°，如答圖3所示，則以O(shè)C

7、為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，根據(jù)圓周角定理，此時OQC=90°設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，連接NQ，則NQEF，NQ=CN=ON=EN=OEON=NEQ=FEO，EQN=EOF=90°，EQNEOF，即：，解得：k=±，k0，k=存在唯一一點(diǎn)Q，使得OQC=90°，此時k=點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系、相似等重要知識點(diǎn)，有一定的難度第（2）問中，注意圖形面積的計(jì)算方法；第（3）問中，解題關(guān)鍵是理解“存在唯一一點(diǎn)Q，使得OQC=90°”的含義3. （2014黔南州，第26題1

8、2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，1）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）（1）求此拋物線的解析式（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，PAC的面積最大？并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和PAC的最大面積考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：壓軸題分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)拋物線的

9、解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標(biāo)，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；（3）過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長；然后根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法，可得出關(guān)于PAC的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PAC的最大面積及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x4）21，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），3=a（04）21，；拋物線為；（3分）（2）相交證明：連接CE，則CEBD，當(dāng)時，x1=2，x2=6A（0，3），B（2，0）

10、，C（6，0），對稱軸x=4，OB=2，AB=，BC=4，ABBD，OAB+OBA=90°，OBA+EBC=90°，AOBBEC，=，即=，解得CE=，2，拋物線的對稱軸l與C相交（7分）（3）如圖，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q；可求出AC的解析式為；（8分）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）；PQ=m+3（m22m+3）=m2+mSPAC=SPAQ+SPCQ=×（m2+m）×6=（m3）2+；當(dāng)m=3時，PAC的面積最大為；此時，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）（10分）點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位

11、置關(guān)系、圖形面積的求法等知識4. （2013年廣東湛江12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線交 y軸與A點(diǎn)，交x軸與B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）（1）求此拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線與點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與C的位置關(guān)系，并給出證明（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使ACP是以AC為直角邊的直角三角形若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由5. （2013年四川巴中12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為

12、直徑作P的正半軸交于點(diǎn)C（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）試說明直線MC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論6. （2013年四川自貢14分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx2（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且D（2，3），tanDBA=（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；（3）在（2）中四邊形BMCA面積最大的條件下，過點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點(diǎn)為圓心，OQ

13、為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）如答圖1，過點(diǎn)D作DEx軸于點(diǎn)E，則DE=3，OE=2。，BE=6。OB=BEOE=4。B（4，0）。點(diǎn)B（4，0）、D（2，3）在拋物線y=ax2+bx2（a0）上，解得。拋物線的解析式為：。（2）在拋物線中，令x=0，得y=2，C（0，2）。令y=0，得x=4或1，A（1，0）。設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n）（m0，n0）。如答圖1，過點(diǎn)M作MFx軸于點(diǎn)F，則MF=n，OF=m，BF=4+m。點(diǎn)M（m，n）在拋物線上，代入上式得：，當(dāng)m=2時，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9。（3）假設(shè)存在這樣的Q，

14、如答圖2所示，設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)G，與直線AC交于點(diǎn)F設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（1，0）、C（0，2）代入得：，解得：。直線AC解析式為：y=2x2。令x=2，得y=6，F(xiàn)（2，6），GF=6。在RtAGF中，由勾股定理得：。設(shè)Q（2，q），則在RtAGF中，由勾股定理得：。設(shè)Q與直線AC相切于點(diǎn)E，則QE=OQ=。在RtAGF與RtQEF中，AGF=QEF=90°，AFG=QFE，RtAGFRtQEF。，即?；喌茫?，解得q=4或q=1。存在一個以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，4）或（2，1）。（1）如答圖1所示，利用已知條件求出

15、點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。（2）如答圖1所示，首先求出四邊形BMCA面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值。（3）如答圖2所示，首先求出直線AC與直線x=2的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而確定了RtAGF的各個邊長；然后證明RtAGFRtQEF，利用相似線段比例關(guān)系列出方程，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。7. （2013年廣西桂林12分）已知拋物線的頂點(diǎn)為（0，4）且與x軸交于（2，0），（2，0）（1）直接寫出拋物線解析式；（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為A、B，與原拋物線的交點(diǎn)為P當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；是否

16、存在這樣的k值，使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由8. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在直線y=2x上，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為A，OA=5若拋物線過點(diǎn)O、A兩點(diǎn)（1）求該拋物線的解析式；（2）若A點(diǎn)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為C，判斷點(diǎn)C是否在該拋物線上，并說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，O1是以BC為直徑的圓過原點(diǎn)O作O1的切線OP，P為切點(diǎn)（P與點(diǎn)C不重合），拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以PQ為直徑的圓與O1相切？若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）把O（0，0）、A（5，0）分別代入y=x2+bx+c，得，解得；該拋物線的解析式為y=x2x；（2）點(diǎn)C在該拋物線上理由：過點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D，連接OC，設(shè)AC交OB于點(diǎn)E點(diǎn)B在直線y=2x上，B（5，10）點(diǎn)A、C關(guān)于直線y=2x對稱，OBAC，CE=AE，BCOC，OC=OA=5，BC=BA=10又ABx軸，由勾股定理得OB=SRtOAB=AE=2，AC=4；OBA+CAB=90°，CAD+CAB=90°，CAD=OBA；又CDA=OAB=90°，CDAOAB=；CD=4，AD=8；C（3，4）當(dāng)x=3時，y=×9×（3）=4；點(diǎn)C在拋物線y=x2