關(guān)于計(jì)算極限的幾種方法

1、目錄摘要·················································&#

2、183;····1引言·············································

3、;·········2一利用導(dǎo)數(shù)定義求極限····································2二利用中值定理求極限·&

4、#183;·································2三利用定積分定義求極限··············&

5、#183;··················3四利用施篤茲公式·····························

6、3;·········4五利用泰勒公式·······································&#

7、183;·5六級(jí)數(shù)法···············································5七結(jié)

8、論·················································6參考文獻(xiàn)

9、·················································6內(nèi)容摘要摘

10、要：極限是數(shù)學(xué)分析中最基本、最重要的概念之一,極限是微積分的重要基礎(chǔ)，研究函數(shù)性質(zhì)的重要手段.極限是描述函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念，本文通過典型例題，舉一反三，給出幾種常用的求極限方法。極限的計(jì)算方法很多,并且有一定的規(guī)律和技巧性,對此,本文將根據(jù)實(shí)例進(jìn)行分析、探討,并歸納出一些計(jì)算方法.關(guān)鍵詞:極限；計(jì)算；方法Abstract: the limit is one of the most basic, the most important concept in mathematical analysis, the limit is an important foundation fo

11、r the calculus, an important means to study the function of the nature of the concept description. The limit is an important trend in the infinite process function, through typical examples, infer other things from one fact,several commonly used methods for the limits. A lot of calculation method of

12、 limit, and there are rules and skills, certain of this, this paper will be based on case analysis, discussion, and sums up some calculation method.Key words: limit; Calculation; methods引言：極限是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載。例如,3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長的極限是圓周長這一思想來近似地計(jì)

13、算圓周率 的。隨著微積分學(xué)的誕生，極限作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念也就明確提出。但最初提出的這一概念是含糊不清的，因此在數(shù)學(xué)界引起不少爭論甚至懷疑。直到19世紀(jì)，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認(rèn)。 數(shù)學(xué)分析中的基本概念的表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。1 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 據(jù)文定理1導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在附近有定義，對于任意的，則 如果存在，則此極限值就稱函

14、數(shù)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)記為 .即在這種方法的運(yùn)用過程中。首先要選好，然后把所求極限。表示成在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。例1：求解：原式，令，當(dāng)時(shí)，故原式一般地，能直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義求的極限就直接用導(dǎo)數(shù)定義來求，值得注意的是許多從表面看起來，不能直接用導(dǎo)數(shù)定義但經(jīng)過恒等變形后，都可以利用導(dǎo)數(shù)定義來求，如上述例題。二利用中值定理求極限2.1利用微分中值定理求極限計(jì)算數(shù)列和函數(shù)的極限時(shí)，經(jīng)常遇到的多是，···的不定形式，其中有時(shí)也以差的形式出現(xiàn)，這就給應(yīng)用微分中值定理提供了機(jī)會(huì)，微分中值定理把差化成積之后，就可在積的極限中，用等價(jià)無窮小進(jìn)行代換，從而起到化繁為簡的作用，另一方面，微分中值定理把

15、函數(shù)差變成其間的導(dǎo)數(shù)值這種轉(zhuǎn)化往往能變難為易。例2：求 解：因?yàn)楹涂梢钥闯芍笖?shù)函數(shù)在和兩點(diǎn)處的函數(shù)值，又因故由微分中值定理知，其中，于是 故得例3：求解：由微分中值定理知，其中，而，故從以上兩例可以看出，當(dāng)不定式中的以同一函數(shù)在不同的兩點(diǎn)之差的形式出現(xiàn)時(shí)，利用微分中值定理求極限，有統(tǒng)一簡便且易于掌握的優(yōu)點(diǎn)。2.2利用積分中值定理求極限 據(jù)文定理9.7積分中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么一定存在，使如果某些數(shù)列含有帶參數(shù)的定積分，并且定積分不易計(jì)算，那么在求這類數(shù)列的極限時(shí)應(yīng)當(dāng)首先考慮利用積分中值定理脫去積分符號(hào)，然后再作進(jìn)一步的處理。例4:求 （）解：利用積分中值定理，得 （）因?yàn)闊o窮小

16、與有界量的乘積還是無窮小，所以故所求極限例5：求解：作變量代換:則于是 （利用定積分的對稱性，第一項(xiàng)積分為零） = （）（利用積分中值定理） =所以原式=3 利用定積分定義求極限 據(jù)文定理2：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積，數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作例6:解：記（）=，則在上連續(xù)，所以可積，取=0，=，=1，2，n則 =-=（-）-（-1）=例7：（1+）解：記=，則在上連續(xù)且可積，取=0，=1，2，n則= 運(yùn)用該方法時(shí)，通常是將所求式轉(zhuǎn)化成和式的極限，相當(dāng)

17、于定積分中的，也就是將區(qū)間等分，每個(gè)小區(qū)間的長度為，取每個(gè)小區(qū)間的右斷點(diǎn)為，這樣就可以將和式的極限寫成定積分形式。四利用施篤茲公式 據(jù)文117頁定理6：設(shè)數(shù)列及滿足：（1） （n=1,2,3，····）；（2） ；（3） 存在（有理數(shù)或者是）則例5：求（）解:利用施篤茲公式 原式=例8：求解：因?yàn)?利用施篤茲公式，便有原式=1推論1：若存在（有限數(shù)或者是），則其算術(shù)平均值數(shù)列 （n=1,2,3,····）的極限也存在，并且推論2：若且存在（有限數(shù)或者是），則其幾何平均值數(shù)列（n=1,2,3··&

18、#183;）的極限也存在，并且例9：設(shè)，并且，證明證明：由條件，即正項(xiàng)數(shù)列當(dāng)時(shí)，有極限，于是根據(jù)推論2，應(yīng)有例10：求解：設(shè)則=由例9便得在數(shù)列極限中，有一類數(shù)列極限用常規(guī)方法，是不容易解決或者是相當(dāng)困難的，比如求按通常的方法是先求和式和再求極限，顯然第一步是困難的，對于這類型不定式 極限，如果運(yùn)用施篤茲定理將會(huì)得到一種簡便的方法。五利用泰勒公式求極限泰勒展開式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù), (其中在0與1之間)幾個(gè)重要的泰勒公式（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .例11：求解：因?yàn)槔?2：求極限解：分析：將和分別按的冪展開成三階泰勒公式，將上兩式代入原式，因

19、為泰勒公式是恒等式，所以相當(dāng)于把自己代進(jìn)去了，結(jié)果仍然不變。即由于分母已經(jīng)是一個(gè)簡單的多項(xiàng)式，所以不用再做什么變化，分子整理得到 ，這里要注意，第一個(gè)和第二個(gè)只是一個(gè)代號(hào)，二者不一定完全相等。所以相減后的結(jié)果不一定是0，,但可以肯定的是它們的差一定是的高階無窮小，所以二者的差用代替，即原式由上述例題可以看出，使用泰勒公式展到幾階由分母的最低次數(shù)來決定。6 利用級(jí)數(shù)法求極限6.1利用收斂級(jí)數(shù)的和求極限 根據(jù)數(shù)項(xiàng)與數(shù)列其內(nèi)在的聯(lián)系，利用遞推形式把一些極限轉(zhuǎn)化為一些已知收斂且易于求和的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來求。例13：設(shè)為正數(shù)，且，而令求解：由已知條件知因而有因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，且其和為，故所以6.2利用級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1）級(jí)數(shù)收斂的必要條件：如果級(jí)數(shù)收斂，則例14：計(jì)算解：因?yàn)?根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)