天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案詳解

1、第2章一維隨機(jī)變量 習(xí)題2一. 填空題：1.設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 是 ， 則 用 F (x) 表 示 概 = _。 解：2.設(shè) 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 為 則 P 0<x<1 = _。 解： P 0<x<1 = 3.設(shè) x 服 從 參 數(shù) 為 l 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P x = 2 = P x = 3 ，則 P x = 3 = _ 或 3.375e-3_。 4.設(shè) 某 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 律 是 ， 常 數(shù) l>0， 則 C 的 值 應(yīng) 是 _ e-l_。解： 5 設(shè) 隨 機(jī)

2、 變 量 x 的 分 布 律 是 則 = 0.8 。解： 令 得 6.若 定 義 分 布 函 數(shù) ， 則 函 數(shù) F(x)是 某 一 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 F ( x ) 單 調(diào) 不 減 ， 函 數(shù) F (x) 右 連 續(xù) ， 且 F (¥ ) = 0 ， F ( + ¥ ) = 17. 隨機(jī)變量，記， 則隨著的增大，之值 保 持 不 變 。8. 設(shè) x N ( 1， 1 )，記x 的概率密度為 j( x ) ，分布函數(shù)為 F ( x )，則 0.5。9、分別用隨機(jī)變量表示下列事件(1)觀察某電話總機(jī)每分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，試用隨機(jī)

3、變量表示事件.“收到呼喚3次” ，“收到呼喚次數(shù)不多于6次”(2)抽查一批產(chǎn)品，任取一件檢查其長(zhǎng)度，試用隨機(jī)變量表示事件.“長(zhǎng)度等于10cm” = ；“長(zhǎng)度在10cm到10.1cm之間” = (3)檢查產(chǎn)品5件，設(shè)A為至少有一件次品，B為次品不少于兩件，試用隨機(jī)變量表示事件.解: 10 、一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，在袋中同時(shí)取3只，以x表示取出的3只球中的最X345 大號(hào)碼，則X的分布律為: 二. 計(jì)算題：1、將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點(diǎn)數(shù)之和，以表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù)，試分別寫出的分布律.234567891011122、設(shè)在15只同類型的零件中有2只次品，在其中取

4、3次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù).求X的分布律；.X0123、(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：為常數(shù)，試確定常數(shù).解: 因 , 故 (2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：，試確定常數(shù). 4、飛機(jī)上載有3枚對(duì)空導(dǎo)彈，若每枚導(dǎo)彈命中率為0.6，發(fā)射一枚導(dǎo)彈如果擊中敵機(jī)則停止，如果未擊中則再發(fā)射第二枚，再未擊中再發(fā)射第三枚，求發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)的分布律.X1230.60.240.165、汽車需要通過(guò)有4盞紅綠信號(hào)燈的道路才能到達(dá)目的地。設(shè)汽車在每盞紅綠燈前通過(guò)(即遇到綠燈)的概率都是0.6；停止前進(jìn)(即遇到紅燈)的概率為0.4，求汽車首次停止前進(jìn)(即遇到紅燈，或到達(dá)目的地)時(shí)，已通過(guò)的信號(hào)燈的

5、分布律.解：汽車在停止前進(jìn)時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，用x表示x可取值為0,1,2,3,4，又設(shè)A的表示事件：汽車將通過(guò)時(shí)第i盞信號(hào)燈開(kāi)綠燈，由題意表示已通過(guò)的信號(hào)燈數(shù)是0(即第一盞信號(hào)燈是紅燈),故表示已通過(guò)的信號(hào)燈數(shù)是1(即第一盞信號(hào)燈是綠燈，而第二盞是紅燈),故.同理于是x的分布律為即x012340.40.240.1440.08640.12966、自動(dòng)生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的機(jī)率為，生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即重新進(jìn)行調(diào)整，求兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律.x012k7、一大樓內(nèi)裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1，問(wèn)在同一時(shí)刻：(1)恰有兩個(gè)

6、設(shè)備被使用的概率是多少？ (2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？(4)至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？8、設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，(1)進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.(2)進(jìn)行7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.解：(1)5次獨(dú)立試驗(yàn),指示燈發(fā)出信號(hào)=(2)7次獨(dú)立試驗(yàn),指示燈發(fā)出信號(hào) 9、設(shè)某批電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)這批電子管進(jìn)行測(cè)試，只要測(cè)得一個(gè)正品，管子就不再繼續(xù)測(cè)試，試求測(cè)試次數(shù)的分布律.解：解：設(shè)測(cè)試次數(shù)為x，則隨機(jī)變量x的可能取值為：，當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于前 次測(cè)得的

7、都是次品管子，而第k次測(cè)得的是正品管子的事件，10、每次射擊命中率為0.2，必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊，才能使至少擊中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n次獨(dú)立射擊中至少擊中一次的概率為；(1)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次.(2)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次11、電話站為300個(gè)用戶服務(wù)，在一小時(shí)內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，試用泊松定理近似計(jì)算，在一小時(shí)內(nèi)有4個(gè)用戶使用電話的概率.解：由二項(xiàng)分布得現(xiàn)用泊松定理近似計(jì)算，,故12、某一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過(guò)，設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001，在某天的該段時(shí)間內(nèi)有

8、1000輛汽車通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理計(jì)算)解：設(shè)x為發(fā)生事故的次數(shù)，則用泊松定理計(jì)算，13設(shè)X服從泊松分布，且已知，求解：，由，得，14、. 求離 散 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 分 布 律 為 ， ( k = 1， 2， )， 的 充 分 必 要 條 件。解：由且 且 b > 015 設(shè)x服從參數(shù)l = 1的指數(shù)分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0無(wú)實(shí)根的概率 。 解： 知 故 16. 已 知 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 x 的 概 率 密 度 為 且 知 x 在 區(qū) 間 ( 2，3 )內(nèi) 取 值 的 概 率 是 在 區(qū) 間 (

9、 1，2 ) 內(nèi) 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，試 確 定 常 數(shù) A ，B 。解：由 條 件 即 知 有 又 由 即 解 得 A = ，B = 17、設(shè)有函數(shù) 試說(shuō)明能否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù).解：不 能 因 為 當(dāng) 時(shí) ， j ( x ) = sin x < 0 故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 負(fù) 。18、設(shè)某人計(jì)算一連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為： 試問(wèn)他的計(jì)算結(jié)果是否正確？ 答：不正確19、在區(qū)間上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求x的分布函數(shù).解：P 0 < x x =

10、cx ；20、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求(1)常數(shù)A,B(2)(3)概率密度解: (1)(2)(3)21、某種型號(hào)的電子管壽命X(以小時(shí)計(jì))，具有如下概率密度： 現(xiàn)有一大批此種電子管(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立)，任取5只，問(wèn)其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？并求.解：設(shè)使用壽命為x小時(shí)，所求事件的概率：再求22、設(shè)隨機(jī)變量X具有對(duì)稱的概率密度，即為偶函數(shù)，證明：對(duì)任意有：(1) ; (2)(3)證明：(1)，令， 又因?yàn)椋?2)證明：(3)證明：23、設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以小時(shí)計(jì))服從指數(shù)分布，其概率密度為 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘，他就離開(kāi)，

11、他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求.解：24、設(shè)，求(1) (2) (3)(4) (5)確定c使得解：(1)(2)(3)(4)(5) 25、一個(gè)工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(以小時(shí)計(jì))，服從參數(shù)，的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解:，故允許最大為31.2526、公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在0.01米以下設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高x服從的正態(tài)分布，即問(wèn)車門的高度應(yīng)如何確定？解：設(shè)車門高度為cm，按設(shè)計(jì)要求，或，因?yàn)?，故查表得即設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01。27、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X012345

12、求的分布律.解: Y0281828、設(shè)，求(1)的概率密度 (2)的概率密度 (3)求的概率密度解：(1)設(shè) 即(2)，當(dāng)時(shí)，Y的分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，Y的概率密度即(3)，當(dāng)時(shí)，Y的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，的概率密度當(dāng)時(shí)， 29、設(shè)電流是一個(gè)隨機(jī)變量，它均勻分布在9安11安之間，若此電流通過(guò)2歐姆的電阻，在其上消耗的功率為，求的概率密度.解：由題意I的概率密度為對(duì)于由于，所以當(dāng)時(shí)，其分布函數(shù)，故的概率密度；30、設(shè) 正 方 體 的 棱 長(zhǎng) 為 隨 機(jī) 變 量 x ，且 在 區(qū) 間 ( 0 ， a ) 上 均 勻 分 布 ， 求 正 方 體 體 積 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a > 0 )解:

13、 正 方 體 體 積 h = x 3 函 數(shù) y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 數(shù) h 的 概 率 密 度 為 31. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 x 的 概 率 密 度 為 求 隨 機(jī) 變 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 數(shù) y = l n x 的 反 函 數(shù) x = h ( y ) = e y ， 當(dāng) x 在 ( 0 ， +¥ )上 變 化 時(shí) ， y 在 (¥ ， + ¥ ) 上 變 化 ， 于 是 h 的 概 率 密 度 為 32. 已 知 某 種 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指 標(biāo) x 服 從 N(m , s2)， 并 規(guī) 定 | x m | £ m時(shí) 產(chǎn) 品 合 格 ， 問(wèn) m取 多 大 時(shí) ， 才 能 使 產(chǎn) 品 的 合 格 率 達(dá) 到 95%。 已 知 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65)