馮慈璋馬西奎工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論課后重點(diǎn)習(xí)題解答(共39頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上122、求下列情況下，真空中帶電面之間的電壓。(2)、無限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為和（），每單位長(zhǎng)度上電荷：內(nèi)柱為而外柱為。解：同軸圓柱面的橫截面如圖所示，做一長(zhǎng)為半徑為（）且與同軸圓柱面共軸的圓柱體。對(duì)此圓柱體的外表面應(yīng)用高斯通量定理，得 考慮到此問題中的電通量均為即半徑方向，所以電通量對(duì)圓柱體前后兩個(gè)端面的積分為0，并且在圓柱側(cè)面上電通量的大小相等，于是 即 ， 由此可得 123、高壓同軸線的最佳尺寸設(shè)計(jì)高壓同軸圓柱電纜，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為，內(nèi)外導(dǎo)體間電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為。內(nèi)導(dǎo)體的半徑為，其值可以自由選定但有一最佳值。因?yàn)樘螅瑑?nèi)外導(dǎo)體的間隙就變得很小，以至在給定的電

2、壓下，最大的會(huì)超過介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)。另一方面，由于的最大值總是在內(nèi)導(dǎo)體的表面上，當(dāng)很小時(shí)，其表面的必定很大。試問為何值時(shí)，該電纜能承受最大電壓？并求此最大電壓。（擊穿場(chǎng)強(qiáng)：當(dāng)電場(chǎng)增大達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，使得電介質(zhì)中的束縛電荷能夠脫離它的分子 而自由移動(dòng)，這時(shí)電介質(zhì)就喪失了它的絕緣性能，稱為擊穿。某種材料能安全地承受的最大電場(chǎng)強(qiáng)度就稱為該材料的擊穿強(qiáng)度）。解：同軸電纜的橫截面如圖，設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體每單位長(zhǎng)度所帶電荷的電量為，則內(nèi)外導(dǎo)體之間及內(nèi)導(dǎo)表面上的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 ， 而內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為或 即 ， 133、兩種介質(zhì)分界面為平面，已知，且分界面一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度，其方向與分界面的法線成的角，求分界面另

3、一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的值。解：， 根據(jù) ，得， 于是： 142、兩平行導(dǎo)體平板，相距為，板的尺寸遠(yuǎn)大于，一板的電位為0，另一板的電位為，兩板間充滿電荷，電荷體密度與距離成正比，即。試求兩極板之間的電位分布（注：處板的電位為0）。解：電位滿足的微分方程為 其通解為： 定解條件為：； 由得 由得 ，即 于是 143、寫出下列靜電場(chǎng)的邊值問題：（1）、電荷體密度為和（注：和為常數(shù)），半徑分別為與的雙層同心帶電球體（如題143圖（a）； （2）、在兩同心導(dǎo)體球殼間，左半部分和右半部分分別填充介電常數(shù)為與的均勻介質(zhì)，內(nèi)球殼帶總電量為，外球殼接地（題143圖b）；（3）、半徑分別為與的兩無限長(zhǎng)空心同軸圓柱面導(dǎo)體

4、，內(nèi)圓柱表面上單位長(zhǎng)度的電量為，外圓柱面導(dǎo)體接地（題143圖（c）。 由于對(duì)稱并假定同軸圓柱面很長(zhǎng)，因此介質(zhì)中的電位和及無關(guān)，即只是的函數(shù)，所以 電位參考點(diǎn)： ； 邊界條件：，即 173、在無限大接地導(dǎo)體平板兩側(cè)各有一個(gè)點(diǎn)電荷和，與導(dǎo)體平板的距離均為，求空間的電位分布。解：設(shè)接地平板及和如圖（a）所示。選一直角坐標(biāo)系，使得軸經(jīng)過和且正軸方向由指向，而，軸的方向與軸的方向符合右手螺旋關(guān)系且導(dǎo)體平板的表面在，平面內(nèi)。計(jì)算處的電場(chǎng)時(shí)，在（）處放一鏡像電荷，如圖（b）所示，用其等效在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此計(jì)算處的電場(chǎng)時(shí)，在（）處放一鏡像電荷如圖（c）所示，用其等效在導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，因此175

5、、空氣中平行地放置兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線，半徑都是2厘米，軸線間距離為12厘米。若導(dǎo)線間加1000V電壓，求兩圓柱體表面上相距最近的點(diǎn)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)的電荷面密度。解：由于兩根導(dǎo)線為長(zhǎng)直平行導(dǎo)線，因此當(dāng)研究它們附近中部的電場(chǎng)時(shí)可將它們看成兩根無限長(zhǎng)且平行的直導(dǎo)線。在此假定下，可采用電軸法求解此題，電軸的位置及坐標(biāo)如圖所示。由于對(duì)稱 而 設(shè)負(fù)電軸到點(diǎn)的距離矢量為，正電軸到點(diǎn)的距離矢量為（點(diǎn)應(yīng)在以為半徑的兩個(gè)圓之外），則點(diǎn)的電位為 兩根導(dǎo)體之間的電壓為，因此右邊的圓的電位為，即 由此可得 于是 由于兩根導(dǎo)線帶的異號(hào)電荷相互吸引，因而在兩根導(dǎo)線內(nèi)側(cè)最靠近處電場(chǎng)最強(qiáng)電荷密度最大，而在兩導(dǎo)線外側(cè)相距最遠(yuǎn)處電荷密度最小。

6、 18、對(duì)于空氣中下列各種電位函數(shù)分布，分別求電場(chǎng)強(qiáng)度和電荷體密度：（1）、（2）、（3）、（4）、解：求解該題目時(shí)注意梯度、散度在不同坐標(biāo)中的表達(dá)式不同。（1）、（2）、 （3）、 （4）、 解：（1）、設(shè)內(nèi)球中的電位函數(shù)為，介質(zhì)的介電常數(shù)為，兩球表面之間的電位函數(shù)為，介質(zhì)的介電常數(shù)為，則，所滿足的微分方程分別為 ， 選球坐標(biāo)系，則由于電荷對(duì)稱，所以和均與、無關(guān)，即和只是的函數(shù)，所以 ， 定解條件為： 分界面條件： ； 電位參考點(diǎn)： ； 附加條件：為有限值（2）、設(shè)介電常數(shù)為的介質(zhì)中的電位函數(shù)為，介電常數(shù)為的介質(zhì)中的電位函數(shù)為，則、所滿足的微分方程分別為 ， 選球坐標(biāo)系，則由于外球殼為一個(gè)等

7、電位面，內(nèi)球殼也為一個(gè)等電位面，所以和均與、無關(guān)，即和只是的函數(shù)，所以 ， 分界面條件： 由分解面條件可知 。令 ，則在兩導(dǎo)體球殼之間電位滿足的微分方程為 電位參考點(diǎn)： ； 邊界條件：，即 （3）、設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，介質(zhì)中的電位函數(shù)為，則所滿足的微分方程分別為 ， 選球柱坐標(biāo)系，則 194、一個(gè)由兩只同心導(dǎo)電球殼構(gòu)成的電容器，內(nèi)球半徑為，外球殼半徑為，外球殼很薄，其厚度可略去不計(jì)，兩球殼上所帶電荷分別是和，均勻分布在球面上。求這個(gè)同心球形電容器靜電能量。解：以球形電容器的心為心做一個(gè)半徑為的球面，并使其介于兩導(dǎo)體球殼之間。則此球面上任意一點(diǎn)的電位移矢量為 電場(chǎng)強(qiáng)度為 而電場(chǎng)能量密

8、度為 球形電容器中儲(chǔ)存的靜電場(chǎng)能量為=195、板間距離為電壓為的兩平行板電極浸于介電常數(shù)為的液態(tài)介質(zhì)中，如圖所示。已知液體介質(zhì)的密度是，問兩極板間的液體將升高多少？解：兩平行板電極構(gòu)成一平板電容器，取如圖所示的坐標(biāo)，設(shè)平板電容器在垂直于紙面方向的深度為，則此電容器的電容為 電容中儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為 液體表面所受的力為 此力應(yīng)和電容器中高出電容器之外液面的液體所受的重力平衡，由此可得 即 25、內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為和的圓柱形電容器，中間的非理想介質(zhì)的電導(dǎo)率為。若在內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓為，求非理想介質(zhì)中各點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解：設(shè)圓柱形電容器介質(zhì)中的電位為，則 選擇圓柱坐標(biāo)，使軸和電容器的軸線重合，則

9、有 假定電容器在方向上很長(zhǎng)，并考慮到軸對(duì)稱性，電位函數(shù)只能是的函數(shù)，因此所滿足的微分方程可以簡(jiǎn)化為 即 ， 兩邊再積分得電位的通解 定解條件：， 將電位函數(shù)的通解帶入定解條件，得由上述兩式解得 ， 于是 而 27、一導(dǎo)電弧片由兩塊不同電導(dǎo)率的薄片構(gòu)成，如圖所示。若西門子/米，西門子/米，厘米，厘米，鋼片厚度為2毫米，電極間的電壓，且。求： 、弧片內(nèi)的電位分布（設(shè)軸上電極的電位為0）； 、總電流和弧片的電阻；、在分界面上，是否突變？、分界面上的電荷密度。 解：（1）、設(shè)電導(dǎo)率為的媒質(zhì)中的電位為，電導(dǎo)率為的媒質(zhì)中的電位為，選取柱坐標(biāo)研究此問題。由于在柱坐標(biāo)中電極上的電位和及無關(guān)，因而兩部分弧片中的

10、電位也只是的函數(shù)，即由上邊兩式可得、的通解分別為 此問題的定解條件是： （a） （b）（c） （d）根據(jù)上述四式可得， ， 聯(lián)立以上四式解得， ， 于是 （2）、根據(jù) 得 又，因此 而 （3）、由于電流密度的法向分量在分界面上連續(xù)，且在此題目中電流密度只有法向分量，因此 。分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度等于分界面處的電流密度與電導(dǎo)率的比值，又，因此 。對(duì)于導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流場(chǎng)，媒質(zhì)的介電常數(shù)一律為，因此。（4）、 211、以橡膠作為絕緣的電纜的漏電阻通過下屬辦法測(cè)定：把長(zhǎng)度為的電纜浸入鹽水溶液中，然后在電纜導(dǎo)體和溶液之間加電壓，從而可測(cè)得電流。有一段米長(zhǎng)的電纜，浸入后加的電壓，測(cè)得電流為。已知絕緣層的厚度和

11、中心導(dǎo)體的半徑相等，求絕緣層的電阻率。解： 設(shè)導(dǎo)體的電位高于鹽水的電位，則絕緣層中的漏電流密度為：而絕緣層中的電場(chǎng)強(qiáng)度為： 設(shè)導(dǎo)體的半徑為，電纜絕緣層的外半徑為，則導(dǎo)體和鹽水之間的電壓為：即 將已知數(shù)據(jù)代入上式，得 321、一半徑為長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體，被一同樣長(zhǎng)度的同軸圓筒導(dǎo)體所包圍，圓筒半徑為，圓柱導(dǎo)體和圓筒導(dǎo)體載有相反方向電流。求圓筒內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度（導(dǎo)體和圓筒內(nèi)外導(dǎo)磁媒質(zhì)的磁導(dǎo)率均為）。解：求解此問題可將圓柱導(dǎo)體和圓筒導(dǎo)體視為無限長(zhǎng)。在垂直于的平面上以軸和此平面的交點(diǎn)為心做一半徑為的圓，設(shè)的方向和符合右手螺旋關(guān)系。由安培環(huán)路定律得：式中為中包含的電流，其方向與符合右手螺旋關(guān)系時(shí)為正，否則為負(fù)。

12、考慮到在上的大小相等，方向?yàn)榈那芯€方向，則有 即 ， 而 ， 當(dāng)時(shí)，有 而 當(dāng)時(shí)，有 而 當(dāng)時(shí)，有 因而 333、在恒定磁場(chǎng)中，若兩種不同媒質(zhì)分解面為平面，其上有電流線密度，已知，求。解：設(shè)的區(qū)域中的磁導(dǎo)率、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為、；的區(qū)域中的磁導(dǎo)率、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為、。由已知條件得：； ； 由分解面條件得：； ；將已知條件代入，得：； ； 而 于是 343、已知電流分布為為常數(shù)，求矢量位和磁感應(yīng)強(qiáng)度（注的參考點(diǎn)選為處）。 解：設(shè)的區(qū)域中的矢量磁位為，的區(qū)域的矢量磁位為，則、所滿足的微分方程分別為： 考慮到電流密度只有分量，矢量磁位也只能有分量，上兩可改寫為 選圓柱坐標(biāo)系，上兩式

13、變?yōu)?由于電流密度不隨和變化，所以矢量磁位也不隨和變化，因此上述兩式可簡(jiǎn)化為 （1） （2）（1）、（2）兩式的通解分別為 （3） （4）定解條件： 附加條件：當(dāng)時(shí)，應(yīng)為有限值；參考點(diǎn)處矢量磁位為0，即 分解面條件：；根據(jù)定解條件，得： （5） （6） （7） （8）即 聯(lián)立上述三式解得：； ；于是 由柱坐標(biāo)中的旋度公式可得：361、在磁導(dǎo)率的半無限大導(dǎo)磁媒質(zhì)中距媒質(zhì)分界面2cm有一載流為10A的長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線，試求媒質(zhì)分界面另一側(cè)（空氣）中距分界面1cm處點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：此題如圖1所示，圖中，（設(shè)其方向和正z軸的方向一致）求空氣中的磁場(chǎng)的等效模型如圖2所示。圖中的而 372、有一截面為正方形

14、的鐵磁鐲環(huán)，均勻繞有匝導(dǎo)線，鐲環(huán)內(nèi)外半徑分別為和，高，求線圈的自感系數(shù)。解：做一個(gè)半徑為的圓，使此圓所在的平面在正方形鐵磁鐲環(huán)的兩個(gè)端面之間，且與端面平行，圓心在鐵磁鐲環(huán)的軸線上。設(shè)線圈的匝數(shù)為，根據(jù)安培環(huán)路定理，得 對(duì)于此題，在上述所做的圓上磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小處處相等，方向沿圓的切線方向，于是上述積分的結(jié)果為 即 ， 磁通為 線圈的磁鏈為 再由，得 373、如圖所示，求真空中：（1）、沿Z軸放置的無限長(zhǎng)直線電流和匝數(shù)為1000的矩形回路之間的互感；（2）、如矩形回路及其它長(zhǎng)度所標(biāo)尺寸的單位，不是米而是厘米，重新求互感。解：(1)、在，的半平面內(nèi) 設(shè)互感磁通的方向如圖中的所示，則 與線圈交鏈的總互

15、感磁鏈為 而 （2）、如圖中的尺寸的單位為厘米時(shí)381、求無限長(zhǎng)同軸電纜單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體之間區(qū)域內(nèi)所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體很薄，半徑為，內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體之間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為，電纜中的電流為。 解：設(shè)同軸電纜的橫截面及內(nèi)導(dǎo)體中電流的方向如圖所示，則內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為（取圓柱坐標(biāo)，使z軸和同軸電纜的軸線一致，其方向和的方向相同） ， 而 由 得 而 3 82、在題3 72的鐲環(huán)線圈中，通以電流。求磁場(chǎng)能量：（1）、用求解； （2）、用求解。解： 利用題3 72的一些結(jié)果，有 ， ， （1）、 （2）、 41、長(zhǎng)直導(dǎo)線中通過電流，一矩形導(dǎo)線框置于其近旁，兩邊與直導(dǎo)線平行，且與

16、直導(dǎo)線共面，如圖所示。（1）、設(shè)，求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（設(shè)框的尺寸遠(yuǎn)小于正弦電流的波長(zhǎng)）。（2）、設(shè)，線框環(huán)路以速度向右平行移動(dòng)，求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。（3）、設(shè)，且線框又向右平行移動(dòng)，再求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：取電動(dòng)勢(shì)和磁通的方向如圖所示，選柱坐標(biāo)且使z軸與線電流重合，方向與電流的方向一致。 （1）、線圈不動(dòng)，電流隨時(shí)間變化： 由于和符合右手螺旋關(guān)系，所以 （2）、電流不變，線圈運(yùn)動(dòng)： 取積分路徑的方向和電動(dòng)勢(shì)的方向一致，則 （3）、電流和線圈的位置都隨時(shí)間變化： 42、已知一種有損耗媒質(zhì)中的電流密度，若媒質(zhì)的，求位移電流密度。解：用相量表示電流密度，則 電場(chǎng)強(qiáng)度為 電位移相量為 而 所以 45、由圓形極

17、板構(gòu)成的平板電容器如圖所示，兩極板之間充滿電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、磁導(dǎo)率為的非理想介質(zhì)。把電容接到直流電源上，求該系統(tǒng)中的電流及電容器極板之間任意一點(diǎn)的坡印亭向量，并證明其中消耗的功率等于電源供給的功率。解：忽略邊緣效應(yīng)后有， 電容中任意一點(diǎn)的坡印亭矢量為：電流為： 電源提供的功率為：電容消耗的功率為：上式中的，和分別是電容器的外表面、介質(zhì)與上極板的分界面、介質(zhì)與下極板的分界面和電容器的外側(cè)面。由于在介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面處，導(dǎo)體一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度為0，所以47、已知空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 求相應(yīng)的和。解： 由 ，得 623、已知自由空間中電磁場(chǎng)的電場(chǎng)分量表達(dá)式為 這是一種什么性質(zhì)的場(chǎng)？試求出其頻率、波長(zhǎng)、

18、速度、相位常數(shù)、傳播方向及的表達(dá)式。解：此場(chǎng)為一種沿負(fù)z軸方向傳播的均勻平面波。， 624、某電臺(tái)發(fā)射的電磁波，在離電臺(tái)足夠遠(yuǎn)處可以認(rèn)為是平面波。設(shè)在某一點(diǎn)，某瞬間的電場(chǎng)強(qiáng)度為，求該點(diǎn)瞬間的磁場(chǎng)強(qiáng)度。若沿電磁波的傳播方向前行，到達(dá)另一點(diǎn)，問該點(diǎn)要遲多少時(shí)間才具有此的電場(chǎng)。解：空氣可以視為理想介質(zhì)，設(shè)電磁波沿方向傳播，因此 設(shè)電磁波傳播到點(diǎn)的時(shí)間為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 即 于是 根據(jù)理想介質(zhì)中磁場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，有 當(dāng)，時(shí)，有設(shè)電磁波傳播到點(diǎn)的時(shí)間為，點(diǎn)的坐標(biāo)為。依據(jù)題意可得即 將帶入上式，得 根據(jù)上式，可得 631、均勻平面波在海水中垂直向下傳播，已知，海水的，在處 求：（1）、海水中的波長(zhǎng)及相位速度；（2）、處，和的表達(dá)式；（3）、由表面到深處，每立方米海水中損耗的平均功率。解：由于，所以此時(shí)的海水為良導(dǎo)體。（1）、； （2）、 在處 （3）、 633、設(shè)一均勻平面電磁波在一良導(dǎo)體內(nèi)傳播，其傳播速度為光在自由空間波速的1且波長(zhǎng)為0.3mm，設(shè)煤質(zhì)的磁導(dǎo)率為，試決定該平面電磁波的頻率及良導(dǎo)體的電導(dǎo)率。 解： ，而在良導(dǎo)體中： ， 由上兩式得： 即 而 ， 78、已知傳輸線在時(shí)的分布參數(shù)為：；，。試求傳輸線的特性阻抗，衰減常數(shù)，相位常數(shù)，傳