如何進行誤差計算

1、誤 差 一、直接測量和間接測量 在物化實驗中需對某些物理量進行測量，以便尋找出化學反應中的某些規(guī)律，測量又可分為直接測量和間接測量。直接測量是指實驗結(jié)果可直接用實驗數(shù)據(jù)表示。如用溫度計測量溫度，用米尺測量長度，用壓力計測量壓力等。另一類間接測量是指實驗結(jié)果不能直接用實驗數(shù)據(jù)表示，而必須由若干個直接測量的數(shù)據(jù)通過某種公式進行數(shù)學運算方可表示的實驗結(jié)果。如用凝固點降低法測溶質(zhì)的分子量，就必須通過測量質(zhì)量、體積和溫差這些直接測量的數(shù)據(jù)，再用冰點降低公式進行數(shù)學運算后，方可得到溶質(zhì)的分子量。 在直接測量過程中由于所使用的測量工具不準確，測量方法的不完善，都使得測量結(jié)果不準確，以致于偏離真實值，這就是誤

2、差。在間接測量中由于直接測量的結(jié)果有誤差，此誤差可傳遞到最后的結(jié)果中，也可使其偏離真實值。 由上所述，可知誤差存在于一切測量之中，所以討論誤差，了解其規(guī)律、性質(zhì)、來源和大小就非常有必要。實驗誤差的分析，對人們改進實驗，提高其精密度和準確度（精密度和準確度的意義在以后討論），甚至新的發(fā)現(xiàn)都具有重要的意義。 二、真值 真值是一個實際上不存在的值，它只是一個理論上的數(shù)值。例如，我們可取光在真空中的速度作為速度的計量標準，又如，可用理論安培作為電流的計量標準，其定義為：若在真空中有兩根截面無限小的相距2米的無限長平行導體，在其上流過一安的電流時，則在二導體間產(chǎn)生10-7牛頓米的相互作用力。這樣的參考標

3、準實際上是不存在的，它只存在于理論之中，因此這樣的真值是不可知的。但人類的認識總是在發(fā)展的，能夠無限地逐漸迫近真值。 由于真值是不可知的，所以一般國家（或國際上）都設立一個能維持不變的實物基礎和標準器。指定以它的數(shù)值作為參考標準。例如，以國家計量局的銫射束原子頻率標準中，銫原子的基態(tài)超精細能級躍遷頻率的平均值作為9，129，631，770赫。這樣的參考標準叫做指定值。 在實際工作中，我們不可能把所使用的儀器都一一地與國家或國際上的指定值相對比，所以通常是通過多級計量檢定網(wǎng)來進行一系列的逐級對比。在每一級的對比中，都把上一級的標準器的量值當作近似真值，而稱為實際值。 三、準確度和精密度 準確度是

4、指測量結(jié)果的正確性，即測得值與真值的偏離程度。精（密）度是指測量結(jié)果的可重復性及測得結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)（有效數(shù)字在以后討論）。我們說測量值與真值越接近，則準確度越高。測量值的重復性越好，有效數(shù)字越多，則精度越高。對準確度和精度的理解，可以用打靶的例子來說明：圖II(1) 準確度與精密度的示意圖 圖II(1)中（a）、（b）、（c）表示三個射手的成績。（a）表示準確度和精度都很高。（2 / 25b）則因能密集射中一個區(qū)域，就精度而言是很高的，但沒射中靶眼，所以準確度不高。（c）則不論是準確度還精度都很不好。在實際工作中，盡管測量的精度很高但準確度并不一定高。而準確度很高的測量要求其精度必定也很高

5、。 四、誤差的種類、來源及其對測量結(jié)果的影響和消除的方法 根據(jù)誤差的性質(zhì)，可把測量誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和過失誤差三類。 1、系統(tǒng)誤差 在相同條件下多次測量同一物理量時，測量誤差的絕對值（即大?。┖头柋３趾愣?，或在條件改變時，按某一確定規(guī)律而變的測量誤差，這種測量誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差的主要來源有： （1）儀器刻度不準或刻度的零點發(fā)生變動，樣品的純度不符合要求等。 （2）實驗控制條件不合格。如用毛細管粘度計測量液體的粘度時，恒溫槽的溫度偏高或偏低都會產(chǎn)生顯著的系統(tǒng)誤差。 （3）實驗者感官上的最小分辨力和某些固有習慣等引起的誤差。如讀數(shù)時恒偏高或恒偏低；在光學測量中用視覺確定終點和電

6、學測量中用聽覺確定終點時，實驗者本身所引進的系統(tǒng)誤差。 （4）實驗方法有缺點或采用了近似的計算公式。例如用凝固點降低法測出的分子量偏低于真值。 2、偶然誤差 在相同條件下多次重復測量同一物理量，每次測量結(jié)果都有些不同（在末位數(shù)字或末兩位數(shù)字上不相同），它們圍繞著某一數(shù)值上下無規(guī)則地變動。其誤差符號時正時負，其誤差絕對值時大時小。這種測量誤差稱為偶然誤差。 造成偶然誤差的原因大致來自： （1）實驗者對儀器最小分度值以下的估讀，很難每次嚴格相同。 （2）測量儀器的某些活動部件所指示的測量結(jié)果，在重復測量時很難每次完全相同。這種現(xiàn)象在使用年久或質(zhì)量較差的電學儀器時最為明顯。 （3）暫時無法控制的某些

7、實驗條件的變化，也會引起測量結(jié)果不規(guī)則的變化。如許多物質(zhì)的物理化學性質(zhì)與溫度有關，實驗測定過程中，溫度必須控制恒定，但溫度恒定總有一定限度，在這個限度內(nèi)溫度仍然不規(guī)則地變動，導致測量結(jié)果也發(fā)生不規(guī)則變動。 3、過失誤差 由于實驗者的粗心，不正確操作或測量條件的突變引起的誤差，稱為過失誤差。例如用了有毛病的儀器，實驗者讀錯、記錯或算錯數(shù)據(jù)等都會引起過失誤差。 上述三類誤差都會影響測量結(jié)果。顯然，過失誤差在實驗工作中是不允許發(fā)生的，如果仔細專心地從事實驗，也是完全可以避免的。因此這里著重討論系統(tǒng)誤差和偶然誤差對測量結(jié)果的影響。為此，需要給出系統(tǒng)誤差和偶然誤差的嚴格定義： 設在相同的實驗條件下，對某

8、一物理量X進行等精度的獨立的n次的測量，得值 X1，X2，X3，Xi，Xn 則測定值的算術平均值為 (1) 當測量次數(shù)n趨于無窮（n¥）時，算術平均值的極限稱為測定值的數(shù)學期望X¥ (2) 測定值的數(shù)學期望X¥與測定值的真值X真之差被定義為系統(tǒng)誤差e，即 (3) n次測量中各次測定值Xi與測定值的數(shù)學期望X¥之差，被定義為偶然誤差di，即 di=XiX¥ (4)故有 edi=XiX真=DXi (5) 式中DXi為測量次數(shù)從1至n的各次測量誤差，它等于系統(tǒng)誤差和各次測定的偶然誤差di的代數(shù)和。 從上述定義不難了解，系統(tǒng)誤差越小，則測量結(jié)果越準確。

9、因此系統(tǒng)誤差e可以作為衡量測定值的數(shù)學期望與其真值偏離程度的尺度。偶然誤差di說明了各次測定值與其數(shù)學期望的離散程度。測量數(shù)據(jù)越離散，則測量的精密度越低，反之越高。DXi反映了系統(tǒng)誤差與偶然誤差的綜合影響，故它可作為衡量精確度的尺度。所以，一個精密測量結(jié)果可能不正確（未消除系統(tǒng)誤差），也可能正確（消除了系統(tǒng)誤差）。只有消除了系統(tǒng)誤差，精密測量才能獲得準確的結(jié)果。 消除系統(tǒng)誤差，通?？刹捎孟铝蟹椒ǎ?（）用標準樣品校正實驗者本身引進的系統(tǒng)誤差。 （）用標準樣品或標準儀器校正測量儀器引進的系統(tǒng)誤差。 （）純化樣品，校正樣品引進的系統(tǒng)誤差。 （）實驗條件，實驗方法，計算公式等引進的系統(tǒng)誤差，則比較難

10、以發(fā)覺，須仔細探索是哪些方面的因素不符合要求，才能采取相應措施設法消除之。 此外還可以用不同的儀器，不同的測量方法，不同的實驗者進行測量和對比，以檢出和消除這些系統(tǒng)誤差。圖II-(2) 正態(tài)分布誤差曲線圖 五、偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律和處理方法 1、偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律 如前所述，偶然誤差是一種不規(guī)則變動的微小差別，其絕對值時大時小，其符號時正時負。但是，在相同的實驗條件下，對同一物理量進行重復測量，則發(fā)現(xiàn)偶然誤差的大小和符號卻完全受某種誤差分布（一般指正態(tài)分布）的概率規(guī)律所支配，這種規(guī)律稱為誤差定律。偶然誤差的正態(tài)分布曲線如圖II(2)所示。圖中y(x)代表測定值的概率密度；s代表標準誤差，在相同條

11、件的測量中其數(shù)值恒定，它可作為偶然誤差大小的量度。 根據(jù)誤差定律，不難看出偶然誤差具有下述特點： （1）在一定的測量條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的界限； （2）絕對值相同的正、負誤差出現(xiàn)的機會相同； （3）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多； （4）以相等精度測量某一物理量時，其偶然誤差的算術平均值，隨著測量次數(shù)n的無限增加而趨近于零，即 (6) 因此，為了減小偶然誤差的影響，在實際測量中常常對被測的物理量進行多次重復的測量，以提高測量的精密度或重演性。 2、可靠值及其可靠程度 在等精度的多次重復測量中，由于每次測定值的大小不等，那么如何從一系列的測量數(shù)據(jù)X1，X2，X3，Xi

12、，Xn中來確定被測物理量的可靠值呢？ 在只有偶然誤差的測量中，假設系統(tǒng)誤差已被消除，即 e=X¥X真=0于是得到 X真X¥= (7) 上式說明，在消除了系統(tǒng)誤差之后，測定值的數(shù)學期望X¥等于被測物理量的真值X真，這時測量結(jié)果不受偶然誤差的影響。 但是，在有限次測量時，我們無法求得測定值的數(shù)學期望X¥。然而，在大多數(shù)場合下，可以用測定值的算術平均值作為測量結(jié)果的可靠值。因為此時遠比各次測定的Xi值更逼近于真值X真。 顯然，并不完全等于，故我們希望知道這個可靠值的可靠程度如何，即與究竟可能相差多大?按照誤差定律，我們可以認為在絕大多數(shù)的情況下（概率為99.7

13、%）是落在 (8)的范圍內(nèi)。式中稱為平均值的標準誤差。 (9) 也就是說，我們以平均值標準誤差的3倍作為有限次測量結(jié)果（可靠值）的可靠程度。 實際應用（8）式來表示可靠值的可靠程度，有時嫌其麻煩。因為在物理化學實驗中，實際上測定某物理量的重復次數(shù)是很有限的；同時各次測量時實驗條件的控制也并非完全相同，故它的可靠程度比按誤差理論得出的結(jié)果還要差一些。所以在物理化學實驗數(shù)據(jù)的處理中，常常將上式簡化為： 若 n15 則 (10) 若 n5 則 (11)式中 (12)稱為平均誤差。 式（10），（11）應用起來很方便，它表明了測量結(jié)果的可靠程度。換言之，如果測定重復了15次或更多，那么X真值落在的范圍

14、內(nèi)；如果重復測定的次數(shù)只有5次以上，那么X真值落在的范圍內(nèi)。 3、測量的精密度 單次測量值與可靠值的偏差程度稱為測量的精密度。精密度一般常用三種不同方式來表示。 （1）用平均誤差a表示。 （2）用標準誤差s表示： (13) 是單次測量值與可靠值的標準誤差。它與式（9）的平均值標準誤差的關系是，的大小與測量次數(shù)n的平方根成反比。 （3）用或然誤差p表示： (14) 上面三種方式都可用來表示測量的精密度，但在數(shù)值上略有不同。 物理化學實驗中通常用平均誤差或標準誤差來表示測量的精密度。由于不能肯定離是偏高還是偏低，所以測量結(jié)果常用（或）來表示；（或）越小，表示測量的精密度越好。有時也用相對精密度相對

15、 相對= (15)來表示測量的精密度。 例題1 對某種樣品重復做10次色譜分析實驗，分別測得其峰高（毫米）列于表1，試計算它的平均誤差和標準誤差，正確表示峰高的測量結(jié)果。表 1n1142.15.1 26.012147.00.2 0.043146.21.0 1.004145.22.0 4.005143.83.4 11.566146.21.0 1.007147.30.1 0.018156.39.1 82.819145.91.3 1.6910151.84.6 21.261471.827.8149.38 算術平均值（可靠值）147.2mm 平均誤差 mm 標準誤差 mm 則峰高測量結(jié)果為mm 相對精密

16、度 4、測量的準確度 測量的準確度定義如下： (16) 由于在大多數(shù)物理化學實驗中正是我們要求測定的結(jié)果，因此準確度b通常很難算出。但一般可近似地用X標(標準值)來代替X真，所謂標準值的含義是指用其他更可靠的手段測出的值。大部分物理化學實驗所測的物理量，都有符合這種意義的標準值存在。則此時測量的準確度可近似地表為： (17) 必須指出，在實際工作中應注意準確度和精密度的區(qū)別，不要把兩者相互混淆。從兩者定義，我們不難得出下述結(jié)論： （1）一個精密度很好的測量結(jié)果，其準確度不一定很好，但準確度好的測量結(jié)果，卻必須精密度很好。 （2）通?？捎脺蚀_度來表征某一測量的系統(tǒng)誤差的大小，系統(tǒng)誤差小的實驗測量

17、稱為準確度高的測量；同樣，可用精密度來表征某一測量的偶然誤差的大小，偶然誤差小的實驗測量稱為精密度高的測量。 （3）當X標落在的范圍內(nèi)時，表明測量的系統(tǒng)誤差??；當X標落在的范圍外（若n15），即 此時測量的精密度可能符合要求，但測量的準確度差，說明測量的系統(tǒng)誤差大。 5、可靠程度的估計 雖然或的計算并不困難，也不算繁，但通常至少要測五個（即n不小于5），才能得到可靠值的可靠程度。而在大部分基礎物理化學實驗中，并不要求準確地求出可靠程度，而且一般只測一個（須知若要求測五個，則實驗工作量增大至五倍），此時，可按所用儀器的規(guī)格，估計出測量值的可靠程度。例如，大部分合格的容量玻璃儀器，按標準操作方法使

18、用時的精密度約0.2%（即）。下面是物理化學實驗常用儀器的估計精密度。 （1）容量儀器（用平均誤差來表示） 移液管 一等 二等 50mL ±0.05mL ±0.12mL 25mL ±0.04 ±0.10 10mL ±0.02 ±0.04 5mL ±0.01 ±0.03 2mL ±0.006 ±0.015 容量瓶 1L ±0.30 ±0.60 500mL ±0.15 ±0.30 250mL ±0.10 ±0.20 100mL ±

19、0.10 ±0.20 50mL ±0.05 ±0.10 25mL ±0.03 ±0.06 （2）重量儀器（用平均誤差表示）分析天平 一等 0.0001g 二等 0.0004g工業(yè)天平（或稱物理天平） 0.001g臺秤 稱量1kg 0.1g 稱量100g 0.01g （3）溫度計 一般取其最小分度值的1/10或1/5作為其精密度。例如1度刻度的溫度計的精密度估讀到±0.2°，1/10刻度的溫度計估讀到±0.02°。 （4）電表 新的電表，可按其說明書中所述準確度來估計，例如1.0級電表的準確度為其最大量程值

20、的1%；0.5級電表的準確度為其最大量程的0.5%。電表的精密度不可貿(mào)然認為就等于其最小分度值的1/5或1/10。電表新舊程度對電表精密度的影響也特別顯著，因此，電表測量結(jié)果的精密度最好每次測定。 六、怎樣使測量結(jié)果達到足夠的精確度 綜上所述，可知測定某一物理量時，應按下列次序進行： 1、儀器的選擇 按實驗要求，確定所用儀器的規(guī)格，儀器的精密度不能劣于實驗結(jié)果要求的精密度，但也不必過分優(yōu)于實驗結(jié)果要求的精密度。 2、校正實驗者和儀器、藥品可能引進的系統(tǒng)誤差 即校正儀器，純化藥品，并先用標準樣品測量。 3、縮小測量過程中的偶然誤差 測定某物理量X時，要在相同的實驗條件下連續(xù)重復測量多次，直到發(fā)現(xiàn)

21、這些數(shù)值圍繞某一數(shù)值上下規(guī)則地變動時，取這種情況下的這些數(shù)值的算術平均值 作為初步的測量結(jié)果。并求出其精密度 4、進一步校正系統(tǒng)誤差 將與標準值標準比較，若二者差值小于a（若是重復測15次或更多時的平均值）或1.73a（若是重復測5次時的平均值），測量結(jié)果就是對的，這時，我們在原則上無法判斷是否還存在其他系統(tǒng)誤差。如果認為所得結(jié)果的精密度已夠好的話，測定工作至此便告結(jié)束。 反之，若大于a（n15時）或1.73a（n5時），則說明測定過程中有“錯誤”或存在系統(tǒng)誤差?！板e誤”（稱個人的過失誤差）是實驗工作中不允許存在的。我們假定這里不存在“錯誤”，可以得出結(jié)論，這里的系統(tǒng)誤差應來源于實驗條件控制不

22、當或?qū)嶒灧椒ɑ蛴嬎愎奖旧碛袉栴}。于是需要進一步探索，反復試驗（例如改變實驗條件，改用其他實驗方法或計算公式等），找出癥結(jié)，直到標準a（或1.73a）為止。如果這種探索試驗并不能使標準a（或1.73a)，同時又能用其他辦法證明測定的條件、方法、公式等不存在系統(tǒng)誤差，那么可以懷疑標準本身存在系統(tǒng)誤差，再經(jīng)仔細證實后，老的標準值將為新的標準值所代替。 如果待測物質(zhì)的某個物理量暫時不存在標準值，那么原則上在測定前應先選一個已知物理量標準值的物質(zhì)進行測量，結(jié)果達到上述要求后，才能測定該待測物質(zhì)。 七、間接測量結(jié)果的誤差計算誤差的傳遞 前面幾節(jié)中所談的，主要是直接測定某物理量時的情況。在大多數(shù)物化實驗中

23、，實驗的最終結(jié)果是通過間接測定兩個或兩個以上的物理量并經(jīng)若干數(shù)學運算才能得到的。這種測量，稱為間接測量。下面討論怎樣確定間接測量結(jié)果的誤差以及最終結(jié)果的可靠程度。 1、平均誤差與相對平均誤差的傳遞 設某量y是從測量a1，a2，an等量而求得，即y為a1，a2，an的函數(shù)， y=f(a1，a2，an) (18) 現(xiàn)已知測定a1，a2，an時的平均誤差分別是Da1，Da2，Dan，要求y的平均誤差Dy是多少？ 將（18）式微分得 (19) 設Da1，Da2，Dan等都足夠小時，則（19）式可以改寫成： (20)這就是間接測量中計算最終結(jié)果的平均誤差的普遍公式。將（18）式兩邊取對數(shù)，再求微分，最后

24、將da1，da2，dan，dy等分別換成Da1，Da2，Dan，Dy則得 (21) ，分別是f對a1，a2，an的偏導數(shù)。 （20）（21）兩式是分別計算最終結(jié)果的平均誤差和相對平均誤差的普遍公式。下面介紹一些特殊情況下的結(jié)論，證明則從略。 （1）和或差的平均誤差等于各分量的平均誤差之和，即若 (22)則 (23) （2）乘積或商值的相對平均誤差等于乘式或除式中各因子的相對平均誤差之和，即若 (24) (25) （23），（25）式對于只包含簡單加、減、乘、除計算式的間接測量，應用頗為方便。如果計算式中還包含對數(shù)項、指數(shù)項、三角函數(shù)項等特殊函數(shù)，應直接用（20）、（21）兩式求得。 2、標準誤

25、差的傳遞 設 的標準誤差分別為，則y的標準誤差為： (26)其證明從略，（26）式是計算最終結(jié)果的標準誤差普遍公式。 下面是兩個特例： （1）設 則 (27) （2）設 (28)至于平均值的標準誤差的傳遞，與（26）式相似，只是用平均值的標準誤差代替各分量的標準誤差。 (29) 例題2 在氣體溫度實驗中，用理想氣體公式測定溫度T，今直接測量得P，V，n數(shù)據(jù)及其精密度如下： P=(6.67±0.01)×103 Pa V=1000.0±0.1 cm3 n=0.0100±0.0001 mol R=8.314 J·mol-1·K-1 K 由式

26、（25）可計算T的相對平均誤差： K T的精密度是80.2±1.0K 例題3 摩爾折射度，設苯的，間接測量的標準誤差計算如下： 由普遍公式（26）式得： 將 , 代入上式得： = 3、間接測量中最終結(jié)果的可靠程度 在有限次的測量中，的可靠程度本應以表示為妥。但的計算頗繁，所以在粗略近似中，認為可以用來代替，表示的可靠程度。當然，這種看法是不嚴格的，但因為在大多數(shù)情況下，算出的總比要大一些，所以作為初步評判最終結(jié)果的質(zhì)量依據(jù)還是有一定的價值的，在嚴格的工作中，則應按來判斷。 4、若干進行間接測量工作前應考慮的重要問題 （1）儀器的選擇 在前節(jié)直接測量工作中談到，選擇儀器的精密度應不劣于

27、實驗要求的精密度。在間接測量中，就涉及對各物理量的精密度應如何要求的問題。由（20），（21），（23），（25）等式可見，各分量的精密度應大致相同，最為合適，因為若某一分量的精密度很差，則最終結(jié)果的精密度主要由此分量的精密度所確定，這時，改進其他分量的精密度，并不能改善最終結(jié)果的精密度。 （2）測量過程中最有利條件的確定 測量的最有利條件是使測量誤差最小所需的條件，今以電橋測定電阻為例，予以說明如下： 用電橋測電阻時，電阻RX可由下式算出： 式中R是已知電阻，L是電阻線全長，l1，l2是電阻線兩臂之長，間接測量的平均誤差決定于直接測量l2，將上式取對數(shù)后微分，并將，換成， 因為L是常數(shù)，所以

28、為最大時，即當 或 ， 時，的相對平均誤差最小。 這就是用電橋測量電阻的最有利條件，在大多數(shù)物化實驗中，常?？梢杂妙愃频姆治鰜眍A先選定某些較佳的實驗條件。 5、間接測量的最終結(jié)果與標準值的比較 最終結(jié)果為，其精密度為，我們粗略可以認為標準值應落在的范圍中，如果確屬如此，結(jié)果便是正常的，如果比要大得很多，說明有較大的系統(tǒng)誤差存在，應設法找出這種系統(tǒng)誤差的根源。 從某種意義上講，我們常常希望在實驗結(jié)果中出現(xiàn)不是由于儀器刻度不準或藥品不純或主觀讀數(shù)不準等原因所造成的系統(tǒng)誤差，因為這正是我們對客觀世界認識到一個新的更高階段的重要標志。為了做到這一點，就需要在測定前仔細校正所有儀器，純化所用藥品，并改善

29、儀器本身的精密度和測定結(jié)果的精密度。 有效數(shù)字 在實驗科學中，數(shù)的用途有兩大類：一類是用來數(shù)“數(shù)目”的，例如點鈔票，無論誰來數(shù)，無論用什么方法，無論在什么時候數(shù)，都得同一數(shù)目。另一類是表示測量結(jié)果的，這一類數(shù)的末一位往往是估計得來的，因此具有一定的誤差。例如一滴定管的讀數(shù)為39.47，這個數(shù)說明十位數(shù)上為3，個位數(shù)上為9，十分位上為4，百分位上為7。我們知道在滴定管上能準確地讀出這個數(shù)的前三位。而末位數(shù)的7是實驗者估計出來的。因此不同的實驗者就有不同的估計，有人可能讀為39.46，有人可能讀為39.48。即末一位數(shù)可能有上下一個單位的出入。通常測量時，都能估計到最小刻度的十分之一。我們在讀取或

30、記錄一個數(shù)據(jù)時，只保留一位不準確的數(shù)字（即估計出來的數(shù)字），這位不準確的數(shù)字前均為準確的數(shù)字。我們稱此時所讀取或記錄的數(shù)字為有效數(shù)字。 關于數(shù)字0需要特別提一下，它可以是有效數(shù)字，也可以不是有效數(shù)字。如30.05和1.2010這兩個數(shù)字中，所有的0都是有效數(shù)字。前者為四位有效數(shù)字。后者為五位有效數(shù)字。而對于0.00123這個數(shù)來說，前面的三個0都不是有效數(shù)字，它們只表示小數(shù)點的位置，此數(shù)只有3位有效數(shù)字。其它象12000這樣的數(shù)，我們很難說0是有效數(shù)字或非有效數(shù)字。此時最好用指數(shù)表示，以10方次前面的數(shù)字代表有效數(shù)字。如12000寫為1.2×104，則表示有兩位有效數(shù)字。若寫為1.2

31、0×104，則表示有三位有效數(shù)字。 在數(shù)據(jù)處理中，常需要運算一些有效數(shù)字位數(shù)不等的數(shù)值?，F(xiàn)有一些常用的基本法則： 1、記錄測量數(shù)值時，只保留一位可疑數(shù)字； 2、除非另有規(guī)定，可疑數(shù)字表示末位（即可疑的數(shù)字）有±1個單位的誤差。或者它的下一位有±5個單位的誤差； 3、當有效數(shù)字的位數(shù)確定后，其余的數(shù)字應一律棄去。舍棄的辦法為：凡末位有效數(shù)字后邊的第一位數(shù)大于5，則在其前一位上增加1如12.36取三位有效數(shù)字，應記為12.4。若末位有效數(shù)字后邊的第一位數(shù)小于5，則棄去不計。如12.32取三位有效數(shù)字。應記為12.3。若末一位有效數(shù)字后邊的第一位數(shù)等于5時，如前一位為奇

32、數(shù)，則增加1，如前一位為偶數(shù)，則棄去不計。如將27.025與27.035取四位有效數(shù)字時，則分別為27.02與27.04； 4、計算有效數(shù)字時，若第一位有效數(shù)字等于或大于8，則有效數(shù)字可多計1位。例如9.13，實際上雖只有三位有效數(shù)字，但在計算時，可當作四位； 5、在加減計算中，各數(shù)所保留的小數(shù)點后的位數(shù)，應與所有數(shù)中，小數(shù)點后的位數(shù)最少的相同。例如將13.65，0.0082，1.632三個數(shù)目相加時，應寫為： 13.56+0.01+1.63=15.20 6、在乘除計算中，各因子保留的位數(shù)，應以有效數(shù)字位數(shù)最少的為標準，所得結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)應與有效數(shù)字位數(shù)最少的那個因子相同。例如將0.01

33、21，25.64，1.05782三個數(shù)相乘時，應寫為：0.0121×25.6×1.060.328 7、在對數(shù)計算中，所取對數(shù)的位數(shù)應與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同； 8、在所有的計算中，e，1/2等的有效數(shù)字位數(shù)，可以為無限，需要幾位就取幾位。 9、表示精確度時，只取一位有效數(shù)字已足夠，最多取兩位有效數(shù)字。物理化學實驗中的數(shù)據(jù)表達方法 實驗結(jié)果的表示方法主要有三種，即列表法、圖解法、數(shù)學方程法。現(xiàn)分述如下。 一、列表法 在物化實驗中，用表格來表示實驗結(jié)果是指將主變量X與應變量Y一個一個地對應著排列起來。以便從表格上能清楚而迅速地看出二者的關系。作表格時，應注意以下幾點： （1）表

34、格名稱 每一表格均應有一完全而簡明的名稱。 （2）行名與量綱 將表格分成若干行，每一變量，應占表格中一行。每一行的第一列寫上該行變量的名稱及量綱。 （3）有效數(shù)字 每一行所記數(shù)據(jù)，應注意其有效數(shù)字位數(shù)，并將小數(shù)點對齊。如果用指數(shù)來表示數(shù)據(jù)中小數(shù)點的位置，為簡便起見，可將指數(shù)放在行名旁，但此時指數(shù)上的正負號應易號。例如醋酸的電離常數(shù)1.75×10-5M，則該行行名可寫成：電離常數(shù)×105（M）。 （4）主變量的選擇 主變量的選擇有時有一定的伸縮性，通常選較簡單的，例如溫度、時間、距離等。主變量最好是均勻地等間隔地增加的，如果實際測量結(jié)果并不這樣，可以先將直接測定數(shù)據(jù)作圖，由圖

35、上讀出主變量是均勻等間隔地增加的一套新數(shù)據(jù)，再作表。 二、圖解法 （一）圖解法在物理化學實驗中的作用 圖解法可使實驗測得各數(shù)據(jù)間的相互關系表現(xiàn)得更為直觀，并可由此圖線較簡便地找出各函數(shù)的中間值，還可顯示最高或最低點或轉(zhuǎn)折點的特性，以及確定經(jīng)驗方程式中的常數(shù)，或利用圖形進而求取其他物理量?，F(xiàn)舉例說明。 1、表達變量間的定量依賴關系 將主變量作橫軸，應變量作縱軸，得一曲線，表示二變量間的定量依賴關系。在曲線所示的范圍內(nèi)，欲求對應于任意主變量值的應變量值，均可方便地從曲線上讀出。自制熱電偶的工作曲線（或稱校正曲線）即為一例。 2、求外推值 有時測定的直接對象不能或不易由實驗直接測定，在適當?shù)臈l件下，

36、?？捎米鲌D外推的方法獲得。所謂外推法，就是將測量數(shù)據(jù)間的函數(shù)關系外推至測量范圍以外，求測量范圍外的函數(shù)值。顯然，只有充分理由確信外推所得結(jié)果可靠時，外推法才有實際價值。因此，外推法常常只在下列情況下應用。 （1）在外推的那段范圍及其鄰近測量數(shù)據(jù)間的函數(shù)關系是線性關系或可認為是線性關系。 （2）外推的那段范圍離實際測量的那段范圍不能太遠。 （3）外推所得結(jié)果與已有正確經(jīng)驗不能有抵觸。 求外推值的具體實例有：強電解質(zhì)無限稀釋溶液的極限摩爾電導的值不能由實驗直接測定，因為無限稀的溶液本身就是一個極限的溶液；但可直接測定不同濃度的摩爾電導，直至最低濃度而仍可得準確當量電導值為止，然后作圖外推至濃度為零

37、，即得無限稀釋溶液的電導。 3、求函數(shù)的微商（圖解微分法） 作圖法不僅能表示測量數(shù)據(jù)間的定量函數(shù)關系，而且可從圖上求出各點函數(shù)的微商，而不必先求出函數(shù)關系的解析表示式，稱圖解微分法。具體做法是在所得曲線上選若干點，作出切線，計算出切線的斜率，即得該點函數(shù)的微商值。求函數(shù)的微商在物化實驗數(shù)據(jù)處理中是經(jīng)常遇到的，例如測定不同濃度溶液的表面張力后，計算溶液的表面吸附量時，則須求表面張力對溶液濃度的微商值。 4、求函數(shù)的極值點或轉(zhuǎn)折點 函數(shù)的極大、極小或轉(zhuǎn)折點，在圖形上表現(xiàn)得直觀且準確，因此，物化實驗數(shù)據(jù)處理中求函數(shù)的極值或轉(zhuǎn)折點時，幾乎無例外地均用作圖法。例如，二元恒沸混合物的最低或最高恒沸點及其組

38、成的測定，二元金屬混合物的相變點的確定等。 5、圖解法求函數(shù)的積分值 設圖形中的應變量是主變量的導數(shù)函數(shù)，則在不知道該導數(shù)函數(shù)解析表示式的情況下，亦能利用圖形求出定積分值，稱圖解積分，通常用此法求曲線下所包含的面積。 6、求測定數(shù)據(jù)間函數(shù)關系的解析表達式 如果我們找出測量數(shù)據(jù)間函數(shù)關系的解析表示式，則無論我們對客觀事物的認識深度或是對應用的方便而言，都將遠遠跨前一步。通常找尋這種解析表示式的途徑也是從作圖入手，即：作出測量結(jié)果的函數(shù)關系的圖形表述，分析圖形的類型，作變換，使圖形線性化，即得新函數(shù)和新變量間的線性關系 (1) 算出此直線的斜率m和截距b（詳見后）后，再換回原來的函數(shù)和變量，即得原

39、函數(shù)的解析表示式。實例如反應速度常數(shù)k與活化能E的關系式為指數(shù)函數(shù)關系， (2)可使兩邊均取對數(shù)令其直線化，即作和的圖，由直線斜率和截距分別可求出活化能E和碰撞頻率Z的數(shù)值。 （二）作圖術 圖解法獲得優(yōu)良結(jié)果的重要關鍵之一是作圖技術，以下介紹作圖術要點。 1、工具 在處理物化實驗數(shù)據(jù)時作圖所需工具主要有鉛筆、直尺、曲線板、曲線尺、圓規(guī)等。鉛筆一般以使用中等硬度（例如1H）的為宜，太硬或太軟的鉛筆、顏色筆、藍墨水鋼筆都不適于此處作圖。直尺和曲線板應選用透明的，作圖時才能全面觀察實驗點的分布情況，二者的邊均應平滑。圓規(guī)在這里主要作直徑1毫米左右的小圓用，最好使用專供繪制這種小圓用的“點圓規(guī)”。 2

40、、坐標紙 用得最多的是直角坐標紙。半對數(shù)坐標紙和對數(shù)¾¾對數(shù)坐標紙也常用到，前者二軸中有一軸是對數(shù)標尺，后者二軸均系對數(shù)標尺。將一組測量數(shù)據(jù)繪圖時，究竟使用什么形式的坐標紙，要嘗試后才能確定（以能獲得線性圖形的為佳）。 在表達三組分體系相圖時，則常用三角坐標紙。 3、坐標軸 用直角坐標紙作圖時，以主變量為橫軸，應變量（函數(shù)）為縱軸，坐標軸比例尺的選擇一般遵循下列原則。 （1）能表示出全部有效數(shù)字，使圖上讀出的各物理量的精密度與測量時的精密度一致。 （2）方便易讀，例如用坐標軸1厘米表示數(shù)量1、2或5都是適宜的，表示3或4就不好了，表示6、7、8、9在一般場合下是不妥的。 （

41、3）在前兩個條件滿足的前提下，還應考慮充分利用圖紙，即，若無必要，不必把坐標的原點作為變量的零點。曲線若系直線，或系近乎直線的曲線，則應被安置在圖紙的對角線鄰近。 比例尺選定后，要畫上坐標軸，在軸旁注明該軸變量的名稱及單位。在縱軸的左面和橫軸的下面每隔一定距離（例如5厘米間距）寫下該處變量應有的值，以便作圖及讀數(shù)，但不要將實驗值寫在軸旁。 4、代表點 代表點是指測得的各數(shù)據(jù)在圖上的點。代表點除了要表示測得數(shù)據(jù)的正確數(shù)值外，還要表示它的精密度。若縱軸與橫軸上兩測量值的精密度相近，可用點圓符號（如）表示代表點，圓心小點表示測得數(shù)據(jù)的正確值，圓的半徑表示精密度值。若同一圖紙上有數(shù)組不同的測量值，則各

42、組測量值可各用一種變形的點圓符號（如 ， ， ， ， ， 等）來表示代表點。 若縱、橫兩軸變量的精密度相差較大，則代表點須用矩形符號（ 或 ）來表示，此時矩形二邊的半長度表示二變量各自的精密度值，矩形的心是數(shù)據(jù)的正確數(shù)值。同一圖紙上有數(shù)組不同測量值時，可用變形矩形符號（如 ， ， ， 等）來表示不同組的代表點。 5、曲線 圖紙上作好代表點后，按代表點的分布情況，作一曲線，表示代表點的平均變動情況。因此，曲線不須全部通過各點，只要使各代表點均勻地分布在曲線兩側(cè)鄰近即可，或者更確切地說，是要使所有代表點離開曲線距離的平方和為最小，這就是“最小二乘法原理”（關于“最小二乘法原理”，后面還要談到）。所

43、以，繪制曲線時，毫無理由地不顧個別代表點離曲線很遠，一般所得曲線都不會是正確的，即使此時其他所有代表點都正好落在曲線上。遇到這種情況最好將此個別代表點的數(shù)據(jù)重新復測，如原測量確屬無誤，則應嚴格遵循上述正確原則繪線。 曲線的具體畫法：先用淡鉛筆輕輕地循各代表點的變動趨勢，手描一條曲線（這條曲線當然不會十分平滑），然后用曲線板逐段湊合手描線的曲率，作出光滑的曲線。這里要特別注意各段接合處的連續(xù)，做好這一點的關鍵有二，（a）不要將曲線板上的曲邊與手描線所有重合部分一次描完，一般每次只描半段或2/3段；（b）描線時用力要均勻，尤其在線段的起終點時，更應注意用力適當。 6、圖名與說明 曲線作好后，最后還

44、應在圖上注上圖名，說明坐標軸代表的物理量及比例尺，以及主要的測量條件（如溫度、壓力）。 最后，寫上姓名與實驗日期。 （三）圖解術 圖解術是指從已得圖形與曲線進一步計算與處理，以獲得所需結(jié)果的技術。由于物化實驗中許多情況下的實驗結(jié)果，都不能簡單地由上節(jié)所得圖形直接讀出，因此，圖解術的重要性并不亞于作圖術。目前常用的圖解術有：內(nèi)插、外推、計算直線的斜率與截距、圖解微分、圖解積分、曲線的直線化等。內(nèi)插、外推都比較簡單，其意義與注意點已在上節(jié)中提到，這里不再贅述，以下介紹后四種的內(nèi)容，茲分述如下： 1、計算直線的斜率與截距 設直線方程式為 (3) 其中m為斜率，b為截距。由解析幾何可知，此時欲求m、b

45、，僅須在直線上選兩個點（x1，y1），（x2，y2），將它們代入（3）式，得 (4)由（4）式，可得 (5) 為了減小誤差，所取兩點不宜相隔太近，所以通常在直線的兩個端點鄰近選此兩點。m，b也可利用使直線延長與y，x軸相交而求出，若y軸即為x0的軸，則直線與y軸相交點的y值，即為b。直線與x軸交角的正切值即為m。但通常很少用后一種方法。 在個別物化實驗中，斜率值對實驗最終結(jié)果的影響極大，例如用溶液法測定極性分子偶極矩的實驗中，介電常數(shù)濃度圖的直線斜率值對最終欲求的偶極矩值的影響極大，直線稍加傾斜，偶極矩值即能由壞變好，或由好變壞，在這種情況下，不是“巧妙”地湊出一根“好”直線，而是應該“嚴格”

46、地按前面作圖術中所談的原則，作出一根“正確”的直線來；或者設法改善介電常數(shù)測量的精密度，以求準斜率。另外，這里求出的斜率也有一定的誤差范圍，或者說，有一定的精密度，這個精密度的大小是與介電常數(shù)、濃度的測量精密度有關的。 2、圖解微分圖IV-(1) 鏡像法示意圖 圖解微分的中心問題是如何準確地在曲線上作切線。作切線的方法很多，但以鏡像法最簡便可靠，這里只介紹此法。 用一塊平面鏡垂直地放在圖紙上，如圖IV-(1)所示，并使鏡和圖紙的交線通過曲線上某點，以該點為軸旋轉(zhuǎn)平面鏡，使曲線在鏡中的像和圖上的曲線連續(xù)，不形成折線。然后沿鏡面作一直線，此直線可被認為是曲線在該點上的法線。再將此鏡面與另半段曲線同上法的找出該點的法線，如與前者不重迭可取此二