線性代數(shù)模擬試題

1、一、是非、選擇題（每小題一、是非、選擇題（每小題3分，共分，共15分）分）:. ,1成立成立則下列結(jié)論中則下列結(jié)論中階方陣階方陣均為均為與與設(shè)設(shè)nBA;, 0)det( )(OBOAABA 或或則則; 0det, 0det, 0)det( )( BAABB或或則則;, )(OBOAOABC 或或則則. 0det, 0det, )( BAOABD或或則則. ),1 , 1 , 1 , 1(),0 , 1 , 0 , 1(),1 , 1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 , 1(24321則它的極大無(wú)關(guān)組為則它的極大無(wú)關(guān)組為設(shè)設(shè) ; , )( ;, )(32121 BA模擬試題（一）模擬試題

2、（一）;, , )( ; , )(4321421 DC) ( )., 2 , 1(0,5) ( .,04) ( .,3)(2niaaAnAAxOAOAAniiijnn 則則正定正定階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣若若組線性無(wú)關(guān)組線性無(wú)關(guān)的列向量的列向量則則只有零解只有零解若齊次線性方程組若齊次線性方程組則則滿足滿足階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣若若二、填空題（每小題二、填空題（每小題3分，共分，共12分）分）:. 242),(1312121321的秩為的秩為二次型二次型xxxxxxxxxf 則則且且階方陣階方陣為為設(shè)設(shè), 2det,2 AnA. )31(det1 AA.2224, 4. , ,0002000

3、11132200233121232221是負(fù)定的是負(fù)定的二次型二次型時(shí)時(shí)取值為取值為當(dāng)當(dāng)則則相似相似與與已知矩陣已知矩陣xxxtxxxxftyxyBxA 三、（三、（10分）分）.),(),( 2121的全部特征值的全部特征值求矩陣求矩陣和和已知向量已知向量 TnnAbbbaaa 四、（四、（10分）分） 213345666213132321 X求解矩陣方程求解矩陣方程五、（五、（15分）分）組組取何實(shí)值時(shí)，線性方程取何實(shí)值時(shí)，線性方程 xxxxxxxx41433221.情況下求通解情況下求通解無(wú)解？在有無(wú)窮多解的無(wú)解？在有無(wú)窮多解的有唯一解，無(wú)窮多解，有唯一解，無(wú)窮多解，六、六、.（5分）分

4、）.:, 1det 不可逆不可逆證明證明為正交矩陣且為正交矩陣且設(shè)設(shè)AEAA .（5分）分）.)2( ; 0)1( :, 11 aAaaAn的每行元素之和為的每行元素之和為常數(shù)常數(shù)證明證明為常數(shù)為常數(shù)中每行元素之和中每行元素之和階可逆矩陣階可逆矩陣設(shè)設(shè)七、（七、（6分）分）.,1221AAn求求設(shè)設(shè) 八、（八、（12分）分）用正交變換化二次型用正交變換化二次型),(321xxxf.,844552323121232221并寫出所用的正交變換并寫出所用的正交變換形形為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)xxxxxxxxx 九、（九、（10分）分）:4的兩個(gè)基的兩個(gè)基已知四維向量空間已知四維向量空間 R);2 , 3 , 0

5、 , 0( ),1 , 2 , 0 , 0(),0 , 0 , 0 , 1( ),0 , 0 , 1, 1( )();1 , 0 , 0 , 0( ),1 , 3 , 0 , 0( ),2 , 1 , 2 , 0( ),1 , 2 , 1 , 1( )(43 214321 .)()2( ;)()()1( :),1 , 1, 3, 0()(下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)在基在基向量向量的過(guò)渡矩陣的過(guò)渡矩陣到基到基由基由基求求下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為在基在基且向量且向量 .100110111.,. 2. 4 ; 2, 0. 3 ;2)1(. 2 ; 21 ).( . 5 );( . 4 );( . 3 );( .

6、2 );(1 111 XbaotyxBBiniiTnnn四、四、三、三、二、二、對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)一、一、 模擬試題（一）參考答案模擬試題（一）參考答案.,)1 , 1, 1 , 1()0 , 1 , 0 , 1(, 3)(,1)3( ;, 3, 4)(,1(2) ;,1(1) 任意任意通解為通解為多解多解有無(wú)窮有無(wú)窮時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)無(wú)解無(wú)解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有唯一解有唯一解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)五、五、kkxrankABArankrankABArankTT ,32535032534513153252.)1(3)1(3)1(3)1(321 321321112 yyyxxxAnnnnnnnnn八、正交變換八、正交變換七、七、)( 略

7、略六、六、.6)6,6,(6,)(2 2130334100220021 )()(1 .10 232221 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為在基在基的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為到基到基由基由基九、九、化二次型為化二次型為 Cfyyy一、填空題（每小題一、填空題（每小題5分，共分，共20分）分）應(yīng)滿足應(yīng)滿足則則唯一線性表示唯一線性表示能由向量能由向量若向量若向量則則的伴隨矩陣為的伴隨矩陣為設(shè)設(shè)則則又設(shè)又設(shè)且且，按列分塊為按列分塊為階方陣階方陣設(shè)設(shè)kkkkkkAAABBAAA,)1 , 1 , 1(),1 ,1 , 1(),1 , 1 ,1(), 0(3. )(,3330220012. det),5 ,43 ,2(

8、, 5det),(3132121* 模擬試題（二）模擬試題（二）. , ,22224. 2322323121232221 bayyfxbxxxxaxxxxf則則經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形已知二次型已知二次型二、（二、（10分）分）:階行列式階行列式計(jì)算計(jì)算 nnnaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn 121121121121121三、（三、（10分）分）.,1500370000020024BBABAA求矩陣求矩陣且且設(shè)設(shè) 四、（四、（15分）分）.35 ,22 ,332 ;,:3213321232113213 設(shè)設(shè)的一個(gè)基的一個(gè)基已知三維向量空間已知三維向量空間R

9、., ),0 , 2, 1(,3;,2;,13213213213213321下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)在基在基求求下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為在基在基若向量若向量的過(guò)渡矩陣的過(guò)渡矩陣到基到基求由基求由基的一個(gè)基的一個(gè)基也是也是證明證明 R五、（五、（15分）分）線性方程組線性方程組取何值時(shí)取何值時(shí), xxxxxxxxx321321321)12()1()12()2()1()2(1)1()12(.?,在有無(wú)窮多解時(shí)求通解在有無(wú)窮多解時(shí)求通解無(wú)窮多解無(wú)窮多解無(wú)解無(wú)解有唯一解有唯一解六、（六、（10分）分）., 2rAAAnA的秩為的秩為又設(shè)又設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣且滿足階實(shí)對(duì)稱矩陣且滿足是是設(shè)設(shè) .),2det(. 2; 0

10、1. 1階單位矩陣階單位矩陣是是其中其中求行列式求行列式或或的特征值為的特征值為證明證明nEAEA 七、（分）七、（分）已知二次型已知二次型xxxxxxxtxtxtf323121232221444 ).(, 0 . 2 ;, . 1 出所用的正交變換出所用的正交變換寫寫為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形試用正交變換化二次型試用正交變換化二次型取取二次型是負(fù)定的二次型是負(fù)定的取何值時(shí)取何值時(shí) tt八、（八、（5分）分）.,),( 2是單位矩陣是單位矩陣其中其中為正定矩陣為正定矩陣試證試證即滿足即滿足是實(shí)反對(duì)稱矩陣是實(shí)反對(duì)稱矩陣已知已知EAEAAAT . 0. 4 ; 30. 3 ;212121031310061. 2 ;100. 1 bakk且且一、一、.7500310000420020 三、三、).1( ! 1 nkkkna二、二、模擬試題（二）參考答案模擬試題（二）參考答案).1, 0 , 1(,. 3 423736947 ,2 321321321 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為在基在基的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為到基到基由基由基四、四、 C.,)5 , 3, 3(011 ,1)3( ;,10)2( ;,10)1( 任意任意），（通解為通解為有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)無(wú)解無(wú)解時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)有唯一解有唯一解時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)五、五、kkxTT )( 略略六、六、.422316