立體幾何解題方法技巧

1、專題六立體幾何解題方法技巧一、內(nèi)容提要：立體幾何需要我們?nèi)ソ鉀Q的問題概括起來就是三個方面，證明位置關(guān)系、求距離和求角；具體內(nèi)容見下表：提主要內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容要位置兩條異面直線相互垂直、直線與平面平行、直兩條異面直線相互垂直、直線關(guān)線與平面斜交、 直線與平面垂直、 兩個平面斜交、與平面平行、直線與平面垂立兩個平面相互垂直直、兩個平面相互垂直系體幾兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到兩條異面直線的距離、 點(diǎn)到平距何平面的距離、兩個平面的距離面的距離離角兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、兩條異面直線所成的角、直線度二面角和平面所成的角、二面角二、主要解題方法：（一）位置關(guān)系1、兩條異面直線

2、相互垂直證明方法： 1 證明兩條異面直線所成角為90o； 2 證明兩條異面直線的方向量相互垂直2、直線和平面相互平行證明方法：1 證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；2 證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；3 證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。3、直線和平面垂直證明方法： 1 證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，2 證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；3 證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直證明方法： 1 證明這兩個平面所成二面角的平面角為90o； 2 證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；3 證明兩個平面的

3、法向量相互垂直。（二）求距離求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離， 直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點(diǎn)到這個平面的距離。1、兩條異面直線的距離求法： 1 如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度，線段長度的求法也可以用向量來幫助解決，求線段AB的長度，可以利用22AB(AM MN NB)來幫助解決，但是前提條件是我們要知道AM , MN , NB的模和每兩個向量所成的角。 d| AB·n|利用公式（其中 A、B2| n |分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，n 為這兩條異面直線的法向量）2、點(diǎn)到平面的距離求法： 1 “

4、一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。2 等體積法。3 向量法，利用公式 d| AB·n|n 這個平面的法向量）（其中 A 為已知點(diǎn)， B 為這個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，| n |（三）求角1、兩條異面直線所成的角求法： 1 先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；2 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是(0, ，向量所成的角范圍是 0, ，如果求出的是鈍角，要2注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。2、直線和平面所成的角求法： 1 “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。2 向量法，先求直線的方向量于平面的法向

5、量所成的角 ，那么所要求的角為或223、平面與平面所成的角求法： 1 “一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。2通過射影面積來求cosS射影然后找這個三角形在另外一個平面的（在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，S原射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cos ，注意到我們要求的角為 或 ）； 3 向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為 ，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為 或 。我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系， 找出各點(diǎn)的坐標(biāo)， 那么剩下的問

6、題基本上就可以解決了， 如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的方法了！三、注意的問題：1、我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。2、我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“ 是我們所要求的角”、“線段AB 的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。3、用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出 cos x，則這兩條異面直線所成的角為 a rccos|x|4、在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方

7、向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，22就用，若求出的鈍角，就用。225、求平面與平面所成角的時，若用第2 、 3 種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍 角還是銳 角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、已知三棱錐PABC中 PB底面 ABC，BCA90 ，PB=BC=CA=a， E是 PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F 在 PA上，且 3PF=FA.（ 1）求證：平面 PACPBC；（ 2）求平面 BEF與底面 ABC所成角（用一個反三角函數(shù)值表示）.2、如圖，四棱錐 P ABCD的底面是正方形 ,PA底面 ABCD，PA=AD=

8、2，點(diǎn) M、N分別在棱 PD、PC上，且 PC平面 AMN.（ 1）求證： AMPD；（ 2）求二面角 P AM N的大??；（ 3）求直線 CD與平面 AMN所成角的大小 .3、如圖，平面ABCD平面 ABEF， ABCD是正方形， ABEF是矩形，且 AF1AD a, G 是2EF 的中點(diǎn)，（ 1）求證平面 AGC平面 BGC；（ 2）求 GB與平面 AGC所成角的正弦值 .（ 3）求二面角 B AC G的大小 .4、如圖，在正方體ABCDA1 B1 C1D1 中， E 是棱 A1 D1 的中 點(diǎn)， H 為平面 EDB內(nèi)一點(diǎn)， HC 1 2m ,2m , m (m 0) 。（ 1）證明 HC

9、1 平面 EDB ；（ 2）求 BC1 與平面 EDB 所成的角；（ 3）若正方體的棱長為 a ，求三棱錐 A EDB 的體積。在 Rt BCM 中 , HO5 a ，在 RtEHO 中,.EH1a102tan EOHEH5HO即平面 BEF與底面 ABC所成二面角的大小為arctan5若利用面積射影法，指出HDB 是 EFB 在底面 ABC上的射影，并計(jì)算出其面積S射影1 a 2 7 分計(jì)算出 S EFB6a21616S射影1cos6S EFB6即平面 BEF與底面 ABC所成二面角的大小為arccos2、（ 1）證明： ABCD是正方形， CDAD，PA底面ABCD， PACD.CD平面P

10、ADAM平面 PAD， CDAM.PC平面AMN， PCAM.AM平面PCD.AMPD.（ 2）解： AM平面PCD（已證） .AMPM，AMNM. PMN為二 面角 P-AM-N 的平面角 .PN平面AMN， PNNM.在直角 PCD中， CD=2，PD=2 2 ， PC=23 . PA=AD，AMPD，M 為 PD的中點(diǎn)， PM=1 PD= 22由 RtPMNRtPCD，得 MN CD PM .PCcos( PMN )MNCD23 .PMN arccos 3 .PMPC2 333即二面角 P AM N 的大小為 arccos3 .33、（ 1）證明：正方形ABCDCBAB面 ABCD面 ABEF且 交于 AB，CB面 ABEFAG， GB面 ABEF，CBAG，CBBG又 AD=2a， AF= a ， ABEF是矩形， G是 EF的中點(diǎn)，AG=BG= 2a222CBG 而 AG面， AB=2a， AB =AG+BG， AGBG CGBG=BAG平面AGC，故平面 AGC平面BGC（ 2）解：如圖，由（）知面 AGC面 BGC，且交于 GC，在平面 BGC內(nèi)作 BHGC，垂足為 H，則 BH平面 AGC， BGH是 GB與平面 AGC所成的角在 RtCBG中 BHBC BGBC BG2 3 aCG