MATLAB牛頓插值法例題與程序

1、題目一：多項(xiàng)式插值某氣象觀測站在8：00（AM）開始每隔10分鐘對天氣作如下觀測，用三次多項(xiàng)式插值函數(shù)（Newton）逼近如下曲線，插值節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如上表，并求出9點(diǎn)30分該地區(qū)的溫度（x=10）。x12345678y22.523.324.421.7025.228.524.825.4二、數(shù)學(xué)原理假設(shè)有n+1個不同的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的值（x，y），（x，y），插值多項(xiàng)式有如下形式： （1）其中系數(shù)（i=0,1,2n）為特定系數(shù)，可由插值樣條（i=0,1,2n）確定。根據(jù)均差的定義，把x看成a,b上的一點(diǎn),可得f(x)= f（）+f（）fx, = f+fx, （）fx, ，x= fx, ，x+ fx

2、, ，x(x-x)綜合以上式子，把后一式代入前一式，可得到： f(x)= f+f（）+ f（）（）+ fx, ，x（）(x-x)+ fx, ，x,= N（x）+其中N（x）= f+f（）+ f（）（）+ fx, ，x（）(x-x) （2）= f(x)- N（x）= fx, ，x, （3） =（）(x-x)Newton插值的系數(shù)（i=0,1,2n）可以用差商表示。一般有 （k=0,1,2，n ） （4）把（4）代入（1）得到滿足插值條件N（i=0,1,2，n）的n次Newton插值多項(xiàng)式N（x）=f（）+f（）+f（）（）+f（）（）（）.其中插值余項(xiàng)為： 介于之間。三、程序設(shè)計function

3、 y,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M) % y為對應(yīng)x的值，A為差商表，C為多項(xiàng)式系數(shù)，L為多項(xiàng)式% X為給定節(jié)點(diǎn)，Y為節(jié)點(diǎn)值，x為待求節(jié)點(diǎn)n=length(X); m=length(x); % n為X的長度for t=1:m z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y's=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1); end q1=abs(q1*(z-X(j-1);c1=c1*j; end C=A(n,n);q1=ab

4、s(q1*(z-X(n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);end y(k)= polyval(C, z); %輸出y值endL(k,:)=poly2sym(C); %輸出多項(xiàng)式>> syms M,X=1,3,5,7;Y=22.5,24.4,25.2,24.8;x=10;>> y,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M)y = 21.7313A = 22.5000 0 0 0 24.4000 0.9500 0 0 25.2000 0.4000 -0.1375 0 24.8

5、000 -0.2000 -0.1500 -0.0021C = -0.0021 -0.1187 1.4521 21.1688 L = - x3/480 - (19*x2)/160 + (697*x)/480 + 3387/1604、 結(jié)果分析和討論 對于不超過三次的插值多項(xiàng)式，x如果選取1,3,5,7這三個點(diǎn)能夠得到較好的三次插值多項(xiàng)式L=-0.0021x3-0.1187x2+1.4521x+21.1688。當(dāng)x=10時，也即9點(diǎn)30分時的溫度為21.7317度，結(jié)果分析知此值應(yīng)是偏小的。對于選取不同的插值節(jié)點(diǎn)，能夠得到不同的插值多項(xiàng)式，誤差也不盡相同。5、 完成題目的體會與收獲 對于牛頓插值法有